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1、二次函数的应用二次函数的应用本课内容本节内容1.5 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是的跨度是4.9m，水面宽，水面宽4m时，拱顶离水面时，拱顶离水面2m，若想若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能建立函数模型来解决这个问题吗？能建立函数模型来解决这个问题吗？动脑筋动脑筋 拱桥的纵截面是抛物线拱桥的纵截面是抛物线的一部分的一部分，应当是某，应当是某个二次函数的图象个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型因此可以建立二次函数模型来刻画来刻画. 为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的
2、对称为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为轴为y轴，建立直角坐标系，如轴，建立直角坐标系，如下下图图所示所示. 由于顶由于顶点坐标是点坐标是( (0，0) )，因此这个二次函数的形式为，因此这个二次函数的形式为y=ax2. 已知水面宽已知水面宽4m时，拱顶离水面高时，拱顶离水面高2m ，因此，因此点点A( (2，- -2) )在抛物线上在抛物线上. 由此得出由此得出 - -2 = a 22， 1=.2a- -解得解得 这样我们可以了解到水面宽度变化时，拱顶这样我们可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化离水面高度怎样变化. 因此因此这个函数的表达式是这个函数的表达式是 ，其中，其中
3、| |x| |是是水面宽度的一半，水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数是拱顶离水面高度的相反数. 21=2yx- - 由于拱桥的跨度为由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量，因此自变量x的的取值范围是：取值范围是：- -2.45x2.45.想一想，当水面宽想一想，当水面宽4.6m时，拱顶离水面几米？时，拱顶离水面几米？ 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？什么？实际问实际问题题实际问实际问实际问题的解题的解建立二次建立二次函数模型函数模型利用二次函数的利用二次函数的图象和性质求解图象和性质求解 如图所示，用如图所示，用8m长的铝材做成一个
4、日字形窗框长的铝材做成一个日字形窗框. . 试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积 S( (m2) )最大？最大面积是多少？最大？最大面积是多少？( (假设铝材的宽度不计假设铝材的宽度不计) ) 由于做窗框的铝材长度已确定，而由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积窗框的面积S随矩形一边长的变化而变化随矩形一边长的变化而变化. . 因此，因此，设窗框的宽为设窗框的宽为xm，则高为则高为 ，其中其中0 x . 8 3 m2x- -83动脑筋动脑筋 这时高为这时高为 48 33= 2 m .2( )( )- -窗框的透光面积窗框的透光面积28 33
5、8= =+40 0）的图象与性质出发，的图象与性质出发，得出二次函数得出二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与的图象与性质，探究过程如下：性质，探究过程如下：1.y=ax2 （a0）的图象与性质的图象与性质y=- -ax2 （a0）的图象与性质的图象与性质y=a（x- -h）2 （a0）的图象与性质的图象与性质y=ax2+bx+c的图象与性质的图象与性质y=a（x- -h）2 +k （a0）的图象与性质的图象与性质沿沿x 轴翻折轴翻折 当当k0 时，时，向上平移向上平移k 个单位个单位当当k0 时，时，向下平移向下平移k 个单位个单位写成一般形式写成一般形式 当当h0 时，时，向右平移向
6、右平移h个单位个单位当当h0 时，时，向左平移向左平移h个单位个单位 由于从二次函数由于从二次函数y=ax2 （a0）的图象经过轴反的图象经过轴反射和平移可得出二次函数射和平移可得出二次函数y=ax2+bx+c的图象，而轴的图象，而轴反射和平移都不改变图形的形状和大小，因此二次反射和平移都不改变图形的形状和大小，因此二次函数函数y=ax2+bx+c的图象都是抛物线的图象都是抛物线. .2. 二次函数的图象都是轴对称图形二次函数的图象都是轴对称图形. . 抛物线抛物线 y=ax2+bx+c （a0）关于直线关于直线 对称对称. .2bx=a- -3. 结合图象讨论函数性质是数形结合地研究函数结合
7、图象讨论函数性质是数形结合地研究函数 的重要方法，本章我们需认真体会这种方法的的重要方法，本章我们需认真体会这种方法的 作用与价值作用与价值.5. 利用二次函数解决实际问题时，自变量的取值范利用二次函数解决实际问题时，自变量的取值范 围要结合具体问题来确定围要结合具体问题来确定.对于现实生活中的许多问题，我们可以通过建立对于现实生活中的许多问题，我们可以通过建立二次函数模型来解决二次函数模型来解决.在此过程中，我们需体会函在此过程中，我们需体会函数模型在反映现实世界的运动变化中的作用，体数模型在反映现实世界的运动变化中的作用，体会模型是沟通数学与现实的有效桥梁会模型是沟通数学与现实的有效桥梁.4.结结 束束