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1、第一章第一章 二次函数二次函数 用用8m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是透光面积最大？最大透光面积是 多少？多少？解：设矩形窗框的面积为解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，由题意得，xxy238xx423238)34(232x，最大面积为窗框的透光面积最大。时，窗框的长为当窗框的宽2384734mmmx )380(x变式变式:图中窗户边框的上半部分是由四个全等图中窗户边框的上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作扇
2、形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为一个窗户边框的材料总长为6米，那么如何米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大使透光面积最大(结果精确到结果精确到0.01m2)?x 运用二次函数求实际问题中的最大值或运用二次函数求实际问题中的最大值或 最小值解题的一般步骤是怎样的？最小值解题的一般步骤是怎样的？ 首先应当求出函数解析式和自变更量的取值范围。首先应当求出函数解析式和自变更量的取值范围。 然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：注意：有此求得的最有此求得的最大值或最小值对
3、应的字大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量变量的值必须在自变量的取值范围内。的取值范围内。 某网络玩具引进一批进价为20元/件的玩具如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件，根据销售经验提高销售单价会导致销售量下降，即销售单价每上涨1元，月销售量终相应减少10件当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？当x=4时，即销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润为1960元。解：设每件商品的单价上涨解：设每件商品的单价上涨x元，一个月内获取的元，一个月内获取的商品总利润为商品总利润为y元；每月减少的销售量为元；每月减少的销售量为10 x件，件，实际销售量为（实际销售量为
4、（180-10 x）件，单价利润为）件，单价利润为（30+x-20）元则：）元则： y=（10+x）（）（180-10 x） 即即y=-10 x2+80 x+1800（x 18） 将上式进行配方得：将上式进行配方得：y=-10（x-4）2+1960：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤的一般步骤 : :求出函数解析式和自变量的取值范围求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须
5、在自变量的取值范围内须在自变量的取值范围内 。 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克千克，放养在塘内，此时市场价为每千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放元，但是，放养一天需各种费用支出养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有元，且平均每天还有10千千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克千克20元（放养期间蟹的重量不变）元（放养期间蟹的重量不变）.设设x天后每千克活蟹市场价为天后每
6、千克活蟹市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的函的函数关系式数关系式.如果放养如果放养x天将活蟹一次性出售，并记天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹千克蟹的销售总额为的销售总额为Q元，写出元，写出Q关于关于x的函数关系式。的函数关系式。 该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润润，（利润=销售总额销售总额-收购成本收购成本-费用）？最大利润是费用）？最大利润是多少？多少？解：由题意知解：由题意知:P=30+x. 由题意知：死蟹的销售额为由题意知：死蟹的销售额为200 x元，元，活蟹的销售额为（活蟹的销售额为（30+x）（）（1000
7、-10 x)元元。 Q=(30+x)(1000-10 x)+200 x= - -10 x2+900 x+30000设总利润为设总利润为W=Q-30000-400 x=-10 x2+500 x =-10(x-25)2+6250当当x=25时，总利润最大，最大利润为时，总利润最大，最大利润为6250元。元。x(元元)152030y(件件)252010 若日销售量若日销售量 y 是销售价是销售价 x 的一次函数。的一次函数。 （1）求出日销售量）求出日销售量 y（件）与销售价（件）与销售价 x（元）的函元）的函数关系式；（数关系式；（6分）分） （2）要使每日的销售利润）要使每日的销售利润最大最大，
8、每件产品的销售价，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）分） 1. 某产品每件成本某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售元，试销阶段每件产品的销售价价 x（元）与产品的日销售量（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下（件）之间的关系如下表：表：（2）设每件产品的销售价应定为）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润元，所获销售利润为为 w 元。则元。则 产品的销售价应定为产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利元，此时每日获得最大销售利润为润为225元。元。15252020kbkb则则解得：解得：k=
9、1，b40。1分5分6分7分10分12分 （1）设此一次函数解析式为）设此一次函数解析式为 。bkxy22525 40050401022xxxxxw所以一次函数解析为所以一次函数解析为 。40 xy2（包头中考）将一条长为（包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是则这两个正方形面积之和的最小值是 cm25 .12225或3.某商店购进一种单价为某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出元售出，那么每月可售出5
10、00个，据销售经验，售价每个，据销售经验，售价每提高提高1元，销售量相应减少元，销售量相应减少10个个. (1)假设销售单价提高假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的元，那么销售每个篮球所获得的利润是利润是_元，这种篮球每月的销售量是元，这种篮球每月的销售量是 个个(用用x的代数式表示的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润元是否为每月销售篮球的最大利润?x+10500500 10 x10 x如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?80008000元不是每月最大利润，最大月利润为元不是每月最大利润，最大月利润为90009000元，元
11、，此时篮球的售价为此时篮球的售价为7070元元. .4.（荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为（荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，元，据市场调查，销售单价是据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售元，平均每天就可以多售出出100件件.（1）假设每件商品降低）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品元，商店每天销售这种小商品的利润是的利润是y元，请你写出元，请你写出y与与x之间的函数关系式，并注之间的函数关系式，并注明明x的取值范围；的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时
12、，商店每天销售这）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润润=销售收入购进成本销售收入购进成本）解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100 x）,y=100 x2+600 x+5500 （0 x11 ）（2）y=100 x2+600 x+5500 （0 x11 ）配方得y=100（x3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元.即降价为3元时，利润最大.所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.5. 春节期间某水库养殖
13、场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1x20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？ 解：解：（1 1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10
14、kg10kg； （2 2）由题意，得）由题意，得2xy20(950 10 x)(5)(950 10 x)52x40 x14250 F（3 3）-2-20 0，y=-2xy=-2x2 2+40 x+14250=-2+40 x+14250=-2（x-10 x-10）2 2+14450+14450，又又1x201x20且且x x为整数，为整数，当当1x101x10时，时，y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；当当10 x2010 x20时，时，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；当当x=10 x=10时即在第时即在第1010天，天，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为1445014450 业精于勤，荒于嬉。业精于勤，荒于嬉。