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1、3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算3.1.53.1.5空间向量运算的空间向量运算的 坐标表示坐标表示第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何复习巩固复习巩固若三个向量若三个向量a，b，c不共面不共面，则对空间，则对空间 任一向量任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组 x，y，z ，使得使得pxaybzc. .其中其中 a，b，c 叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a，b，c都叫做都叫做基向量基向量. .1.空间向量基本定理空间向量基本定理:x xy yz zO Oe2 2e1 1e3 3p若若pxe1 1ye2 2ze3 3，则，则把把x，y，z称称为向量为向量
2、p在单位正交基底在单位正交基底e1 1，e2 2，e3 3下下的坐标，的坐标，记作记作p( (x，y，z). ). 2.空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示:练习：如图，在空间四边形练习：如图，在空间四边形OABCOABC中，中，OAOA8 8，ABAB6 6，ACAC4 4，BCBC5 5，OACOAC4545，OABOAB6060，求，求OAOA与与BCBC的夹角的的夹角的余弦值余弦值. .O OA AB BC C24 16 232 2cos,8 55| |OA BCOA BCOABC 8 86 64 45 5探究（一）：探究（一）：向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示 设设 i，j，k
3、为单位正交基底，向量为单位正交基底，向量 a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2) ) a - b(x(x1 1-x-x2 2，y y1 1-y-y2 2，z z1 1-z-z2 2) ) 设设 i，j，k 为单位正交基底，向量为单位正交基底，向量 a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). a(x(x1 1，yy1 1，zz1 1) ) abx x1 1x x2 2y y1 1y
4、 y2 2z z1 1z z2 2 x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 0 0/abrr设向量设向量 a( (x1，y1，z1) )， b ( (x2，y2，z2). ). abl=rr121212,xx yy zzlll=abrr0a b圩=rr222111| |axyz=+rcos,| | | |a ba bab =rrrrurr121 21 2222222111222x xy yzzxyzxyz+=+若（ ， ， ）111axyz=r若点若点A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，点，点B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2)
5、)(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1，z z2 2z z1 1) )， A Buuu r若，A PPBl=uuu ruuu r121212(,)111xxyyzzPllllll+222212121()()()A Bdxxyyzz=-+-+-已知A( ， ， ）,111xyz1(1)则点A( ， ， ）关于xoy平面的对称()-点A， ，;111111xyzyxz1(2)则点A( ， ， ）关于yoz平面的对称点A(， ，-);111111xyzxyz1(3)则点A( ， ， ）关于xoz平面的对称-点A( ，);111111xyxzyz已知A( ， ， ）,111xyz4(4
6、)则点A( ， ， ）关于x轴的对称点A，)-;-(，111111xxyzyz5(5)则点A( ， ， ）关于y轴-的对称点A， ，);-(111111xzzyyx6(6)则点A(， ）关于z轴的对称点A (，)。，- ，-111111xxzyzy例例1 1 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，点点E E、F F分别是分别是A A1 1B B1 1，C C1 1D D1 1的一个四的一个四等分点，求异面直线等分点，求异面直线BEBE与与DFDF所成角的所成角的余弦值余弦值. .例题讲解例题讲解x xy yz zE EA AB BC
7、 CA A1 1F FB B1 1C C1 1D D1 1D D15cos,17B E D F=uuu r uuu r例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，点点E E、F F分别是分别是BBBB1 1，B B1 1D D1 1的中点，的中点， 求证：求证：EFAEFA1 1D.D.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1D DF1.1.空间向量的坐标运算是在空间向量的坐标运算是在空间向量基空间向量基本定理和空间向量的坐标表示的基础上本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起
8、来的理论，建立起来的理论，它与平面向量的坐标它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点体运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面向现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算量是二维坐标运算. . 小结作业小结作业2.2.求空间向量的坐标有几何法、差向量求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的起点在原法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和终点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，即点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法置不确定，一般用待定系数法. .3.3.对立体几何中的某些证明或计算问题，对立体几何中的某些证明或计算问题，如果如果图形中有三条互相垂直的直线，可图形中有三条互相垂直的直线，可以建立空间直角坐标系以建立空间直角坐标系，利用，利用 向量的向量的坐标运算求解坐标运算求解. .作业：作业：P97P97练习：练习：1 1，2 2，3.3.学海学海第第5课时课时P98P98：6-10.6-10.