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1、弧度制弧度制1.弧度制的概念2.角度制与弧度制的互化3.角度制与弧度制的比较【基础知识精讲【基础知识精讲】1.弧度制的概念(1)定义我们把弧长等于半径时的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制.(2)定义的基础根据圆心角定理，对于任何一个圆心角，所对弧长与半径的比是一个仅与角的大小有关的常数.因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以作为度量角的标准.(3)意义在角度制中，角度是一个量，而在弧度制中，弧度数表示弧长与半径的比值，是一个实数.这样在角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系.即：每一个角都有唯一的一个实数
2、(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.在弧度制中，弧长公式l=r，扇形面积公式S扇 lr= r2.其形式特别简单，因而使用起来十分方便.21212.角度制与弧度制的互化360=2(弧度) 180=(弧度)1= 弧度0.01745弧度1弧度=( )57.30=5718.3.角度制与弧度制的比较(1)度量单位不同，弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度，以这两种为单位量度的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.(2)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式.如45= (弧度)弧度二字通常可以
3、省略不写.(3)弧度制是十进位制，角度制是60进位制.(4)弧度制表示角时不要与角度制混用. 1804180【重点难点解析【重点难点解析】本节的重点是掌握角的各种表示及角度制和弧度制的换算.学习时可先观察实例，由此认识角的概念的推广的必要性和实际意义；认真学习弧度的定义，掌握角度制和弧度制的换算公式，达到熟练掌握例例1 (1)把-1480写成+2k(kZ)的形式，其中02. (2)若4，0)，且与(1)中终边相同，求.分析：分析：利用互化公式将-1480化为弧度制即可.根据的范围及=+2k，即可求出.解：解：(1)因为-1480=- =-8-=-10+.又因为与终边相同，所以=+2k= +2k
4、,kZ.又因为-4，0，所以1= -2=- ,2= -4=- 97491691692916920例例2 集合A=, nZ=2n ，nZ，集合B= ， nZ=n+ ,nZ，则集合A与B的关系如何.2n3232n2分析：分析：交换集合的形式，找出两个集合中元素的异、同.解：解：= ,nZ=2n ，nZ，= nZ=2k,kZ=2k ,kZ，比较集合A、B的元素，集合B的元素都是集合A的元素，但集合A中有的元素，如=(2k+1)却不是B中的元素，所以B A.2n3232n32例例3 已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6.(1)求 的弧长；(2)求弧形OAB的面积.AB分析：分析：将圆心角用弧度表
5、示，然后利用弧长公式、扇形面积公式，三角形面积公式可得解.解：解：(1)=120= ,r=6 l= 弧长= 6=4(2)S扇形OAB= lr= 46=12 SABO= r2sin = 6 )=9 =12-9 3221233AB2121322123ABOOABOABSSS扇形弓形【难题巧解点拨【难题巧解点拨】例例1 已知+ ，- ，求2-的范围.343分析：分析：欲求2-的范围，一般考虑建立相应的不等式再解之，因此多直接从两已知不等式出发，运用不等式四则运算法则先导出的范围和的范围，最后再导出2-的范围，但由于同向不等式相加时不是同解变形，因此所求结果误差太大.为了解决这一问题，应尽量少进行此类
6、运算.为此，可先利用待定系数法用A(+)+B(-)表示2-，最后再利用条件导出所求范围.解：解：设2-=A(+)+B(-)表示2-=(A+B)+(A-B)比较与的系数 所以A= ，B= .所以2-= (+)+ (-).而 (+) ，- (-)- 所以-2- .12BABA21232123221322323226评析评析 此题易犯如下错误解法因为+ ，- 两同向不等式相加得02再由第二个已知不等式得 -将第一个已知不等式与相加得： 2 即 ，所以- 2- 与相加得- 2- 这种错误解法所得范围比上述正确解法所得范围大得多，其原因是多两次向不等式相加运算.343334376733267367例例2
7、 设是第一象限的角，试确定 所在的角限.2解：2k2k+ (kZ).k k+ (kZ).当k=2n(nZ)，则2n 2n+ ,这时 在第一象限.当k=2n+1(nZ)，则2n+ 2n+ (kZ),这时 在第三象限.2244522224说明：说明：(1)设i(i=1,2,3,4)是第i象限的角，用上面同样的方法可确定 所在的象限，分布情况如上图.(2)若已知角所在的象限，如何确定 (n1,nZ)的终边所在象限呢?在直角坐标系中，画一个单位圆，并将圆周角分成4n等分，即将每个象限分为n等分，然后从第一象限开始，按逆时针顺序将每一等分依次标上1、2、3、4，1、2、3、4，1、2、3、4，直到第四象
8、限标完为止.这样就得到/n的终边图.如上图是n=6时/6的终边图.2ian【课本难题解答【课本难题解答】课本第12页练习第10题，答案：弧度数为1.2第13页习题4.2第12题，答案64；13题：答案约57.3cm，14题：答案14cm【命题趋势分析【命题趋势分析】熟练地进行角度制与弧度制的换算，应用弧长公式与扇形面积公式解决问题，多以选择题填空题的形式出现. 【典型热点考题【典型热点考题】例例1 sin(- )的值是( )A. B.- C. D.- 61921232321解：解：- =-4+ sin(- )=sin(-4+ )=sin = .应选A.注意：本题主要考查用弧度表示的终边相同角的
9、关系，以及诱导公式(下一节将学)，同时考查了三角函数运算能力.61965216196565例例2 若是第四角限角，则-是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解法解法1：为第四象限角2k- 2k,(kZ).-2k-2k+ ,(kZ).-2k+-2k+ ,(kZ).-是第三象限角.应选C.注意：本题主要考查象限角，及有关象限角的范围.同时也考查了不等式的基本性质.象限角和象限角的范围是数学中重要的基础知识，一定要掌握好.解法解法2：角与角-的终边关于x轴对称，又角的终边在第四象限.角-终边在第一象限，又角-与-的终边关于原点对称，角-的终边在第三象限.应选C.2232
10、【生活实际运用【生活实际运用】蒸汽机飞轮的直径为1.2m，以300周/分的速度作逆时针旋转，求：(1)飞轮每1秒转过的弧度数；(2)轮周上一点每1秒所转过的弧长.解：解：(1)因为蒸汽机的飞轮每分钟转300周，故每秒钟应转 =5周，因此飞轮每1秒转过的弧度数为 10.(2)由弧长公式l=r=10 =6(米)轮周上一点每1秒所转过的弧长为6米.6030022 . 1【知识验证实验【知识验证实验】1.在一般的时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?解：解：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)到分针与时针第一次重合，设时针转过x弧度，则分针走过2+x弧度.因为时针走1
11、弧度相当于经过 小时= 分，分针走一弧度相当于经过 分，故有 x= (2+x)， 所以x= .因此到分针时针第一次重合，分针转过角的弧度数是 +2= .6360301121124360301122.已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?分析：分析：要求扇形的面积的最大值，就应建立扇形面积的目标函数，而建立目标函数时，可以将半径r选作自变量.解：解：设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l+2r=30 l=30-2r从而S= lr= (30-2r)r=-r2+15r=-(r- )2+ 当半径r= cm时，扇形面积的最大值是
12、cm ，这时= =2弧度212154225r12121542252 另解：【知识探究学习【知识探究学习】如图，已知一长为 dm，宽1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角.问点A走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积.3解：解： 所对的圆半径是2,圆心角为 ， 所对圆半径是1，圆心角是 ， 所对的圆半径是 ，圆心角是 ，所以走过的路程是3段圆弧之和， 即2 +1 + + = (dm);3段弧所对的扇形的总面积是 2+ + = (dm2)21AA32AA336329471AA2213322223321212213【同步达纲练习【同步达
13、纲练习】一、选择题一、选择题1.、是第一象限内角，则是sinsin的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是( )A.- B. C.- D. 32323. 5弧度的角所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限DCD4.与- 终边相同的角中，最小的正确是( )A. B. C. D.- 373733355.若是第四象限的角，则-是( )A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四角限的角6.若和的终边关于y轴对称，则必有( )A.+= B.+=(2k+1)(kZ)C.+=2
14、k(kZ) D.+=2k+ (kZ)22CCB7.已知1的圆心角所对的弧长为1米，这个圆的半径是( )A.60米B.57.3米 C.57米D.75米8.Sin tan +cos sin 的值等于( )A. B.-1 C.1D.29.一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这扇形的面积为( ) A.2R B.2 C. R D.R36421422122BCD10.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A.2cmB.4cm C.2cmD.4cm11.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这扇形中所含弓形的面积是( ) A. R B. R2sin C. D.(2-si
15、n2)R12.集合M=xx= + ,kZ，N=xx= + ,kZ则( ) A.M=NB.M N C.M ND.MN=22sin22122R2k44k22222222DAC二、填空题二、填空题1.与 终边在同一条直线上的角的集合可表示为 .2.设角的终边与 的终边关于y轴对称，且(-2,2)，则= .3.在角集合M= +k,kZ中,终边位于-4到-2之间的角为 .4.弦长为2cm，含120角的弓形面积等于 .5.若两个角的差为1，它们的和为1弧度，则这两个角的弧度数分别为 .6. 的度数为 .7.地球赤道的半径为6370km，那么赤道上1的弧长等于 .8.直径为10cm的滑轮上有一条长为6cm的
16、弦，P是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后，点P转过的弧长等于 .3574358=k+ ,kZ 3 或- 5852 - ,- 41349( - )cm9433 , 360180360180288 85km 100cm三、解答题三、解答题1.航海罗盘的圆周被成32等份，把每一等份所对的圆心角的在小分别用度与弧度表示出来.2.设半径为R的扇形的圆心角为，当用弧度表示时，用R、表示扇形面积S.3.炮兵习惯于把周角的 作为度量角的单位，称为密位，1及1弧度等于多少密位?4.在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少度?扇形面积是多少?6000111.25
17、, 16S= R212350密位，971密位 21-2, (-2)r2 【素质优化训练【素质优化训练】1.对于相等的圆心角，在大小不同的圆里，它们所对弧的长度和它们的弧度数相等吗?为什么?2.半径为1的圆内，1弧度的圆心角所对的弦长和弧长各等于多少?弧的长度不等，弧度数相等 2sin ,121 【典型例题分析【典型例题分析】例例1 （1）用弧度为单位,写出终边落在一、三象限角平分线上的角的集合；思路分析：思路分析：本题不过是把上节的相应问题用弧度制表示解：解：（1）解法一：解法一：在0到2范围内，终边在一、三象限角平分 线上的角有两个,即 所有与 角终边相同的角构成集合终边在一、三象限角平分线
18、上角的集合解法二：解法二：终边在一、三象限角平分线上的角可以看到是 的角绕逆时针或顺时针方向旋转的整数倍得到，这些角的集合可写为而所有与 角终边相同的角构成集合4Zk ,k|S24145Zk ,k|S2452.Zk ,k12421SSSZn,n|4Zn ,n|S4454和4（2）将与角的终边相同的角的集合S写成的形式点评：点评：（1）中的解法一侧重于“数”，解法二侧重于“形”，解这类问题要注意数形结合,2636030330ZkkS,26|例例2 扇形AOB的周长为8cm（1）若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB思路分析：思路分析：由于扇形
19、的周长和面积都由扇形的半径和弧长确定，故可根据已知条件先确定半径和弧长，再求其他元素 .lR,lR,321821由已知. 6, 12, 32211lRlR或解得由 可得 或6Rl32（2）扇形的面积当且仅当R2时，S取得最大值4，这时 可求出：点评：点评：公式 中， 的单位必须是弧度，由此公式求出圆心角只能是弧度数的绝对值428Rl.Rl2Rl.RRRlRS4R0 42 2821212.sinsinRAB,142220又例例3 在RtABC中，C为直角顶点，ACb，以A为圆心，AC为半径画弧交AB于D设角A的弧度数为 （1）分别求出ACD、扇形CAD、ABC的面积；（2）证明 20 xx20t
20、ansinxxxx思路分析：思路分析：第（1）问容易求出，第（2）问由三个图形的面积大小关系，可以推出解：解：（1）如图42，ADACb, bx，BCbtanx， ,sin21sin212xbxADACSACD. xtanbBCACS, xbbxbSABCCAD2221212121 扇形点评：点评：我们在初中阶段学习的锐角三角函数，是用几何方法来定义的，把三角函数和几何图象联系起来，是学习和研究三角函数的重要方法 ,2ABCCADACDSSS扇形.xxtanxxsin, xtanbxbxsinb20212121222即例例4 集合 ，则（）（A） （B） （C） （D） （1993年，全国）Z
21、kkxxNZkkxxM,24,42NM NM NM NM 错解：错解：题设的两个集合均可以看成角的集合，由于它们的表示形式不同，故 ，选（D）点评：点评：终边相同的角的集合可以形式不同，为 易知本题应选（C）正解：正解：画出两个集合中对应角的终边，知M中的角对应的终边在四个象限的角平分线上，N中的角的终边在x、y轴及四个象限的角平分线上，故选（C）NMZn ,nxxZn ,nxxZk ,kxxN42224【同步达纲练习【同步达纲练习】1选择题选择题（1）与 角终边相同的最小正角是 （）（A） （B）（C） （D）（2）在下列表示中，正确的是 （）（A）终边在y轴上的角的集合是（B）终边在直线y
22、x上的角的集合是（C）与 角的终边相同的角的集合是（D）终边在直线yx上的角的集合是5945525354Zkk,22Zkk,43Zkk,3Zkk,42DB（3）设集合 ， 则M、N之间的关系是 （）（A） （B）（C） （D）2填空题填空题（5）在（）在（0，2）内，与角）内，与角 终边相同的角是终边相同的角是_（6）扇形的圆心角是）扇形的圆心角是 ，半径为，半径为 ，它的弧长为，它的弧长为_，面积为面积为_ZkkM,12ZkkN,14NM NM NM NM ._,rad_度9203184729872cm5C 36037 -402cm25cm2710 3解答题解答题（7）自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角是多少度，合多少弧度？（8）直角坐标平面上有一个以点（2，0）为圆心，1为半径的圆，角的终边和这个圆有公共点，求的集合（9）已知 ，角的7倍的终边和角的终边重合，求（10）圆心角为 的扇形，它的弧长是，求这个扇形内切圆的203半径864，4.8因自行车大小链轮的齿数与它们转过的角度数成反比 .,2626 Zkkk2求解结合0,Zk2k列出方程735,34,32,3(10)1先由弧长公式求出扇形半径R=3，设扇形内切圆半径为r，过内切圆圆心的扇形半径平分扇形圆心角，且内切圆圆心到扇形半径距离为r；于是有 ，解得r=1rr6sin3