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1、1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 问题提出问题提出t57301p2问题问题1.1.根据正弦函数和余弦函数的图象，根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？你能说出它们具有哪些性质？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx正余弦函数的性质正余弦函数的性质.4.21定义域和值域定义域和值域.Rxxcosy ，yy奇偶性奇偶性正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数奇函数奇函数偶函数偶函数关于原点对称关于原点对称定义域定义域Rxxsin)sin( xxcos)co
2、s( 判断下列函数的奇偶性)225sin()() 1 (xxfxxxxxf2244sincoscossin)()2( 解：)225sin()() 1 (xxf.2cosRxx，)2cos()(xxf且x2cos)(xf.)225sin()(是偶函数xxfxxxxxxxf222222sincos)cos)(sincos(sin)()2(xxxx2222sincoscossin.0Rx，0)(xf且，)(xf)(0)(xfxf.)(既是奇函数又是偶函数xf1sin1cos) 3(2xxy. 1例例1sin1cos) 3(2xxy解：解：函数的定义域是1sin0sin1xx即，22|Zkkxx，定义
3、域关于原点不对称.数原函数非奇函数非偶函1sin1cos2xxy错解：1sin1sin12xx1sin1xxsinxxsin)sin(又.原函数是奇函数注意：注意：求函数定义域首先应考察函数的定义域是否关于原点求函数定义域首先应考察函数的定义域是否关于原点 对称这一必要条件对称这一必要条件.cosRxxy，yy为其对称中心为其对称中心称，即称，即是奇函数，关于原点对是奇函数，关于原点对)0 , 0(sin xy 的对称中心的对称中心均为均为xyZkksin)(0 ,( 的对称中心的对称中心均为均为xyZkkcos)(0 ,2( 为其对称轴为其对称轴轴对称，即轴对称，即是偶函数，关于是偶函数，关
4、于0cos xyxy的对称轴的对称轴均为均为xyZkkxsin)(2 的对称轴的对称轴均为均为xyZkkxcos)( 对称性对称性和对称轴：和对称轴：求下列函数的对称中心求下列函数的对称中心例例 . 21sin)1( xyxy2cos)3( )4sin()2( xy周期函数的概念周期函数的概念 思考思考1 1：观察上图观察上图, , 正弦曲线每相隔正弦曲线每相隔 个个单位重复出现单位重复出现. .y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx2sin(2 ) sin ()x kx k Z诱导公式诱导公式其理论依据是什么？其理论依据是什么？当自变量当自变量x x的值增加
5、的值增加22的整数倍时，函的整数倍时，函数值重复出现数值重复出现. .数学上，用周期性这个概数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种念来定量地刻画这种“周而复始周而复始”的变的变化规律化规律思考2：设设f(x)=sinxf(x)=sinx，则，则 可以怎样表示？可以怎样表示？sin(2) sinxkx f(x+2k)=f(x) 这就是说：当自变量这就是说：当自变量x x的值增加到的值增加到x+2kx+2k时，函数值重复出现时，函数值重复出现. . 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期 ( (其中其中kzkz且且k0)k0).思考思考3 3：把函
6、数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？【周期函数的定义【周期函数的定义】对于函数对于函数f(xf(x) )，如，如果存在一个果存在一个非零常数非零常数T T，使得当，使得当x x取定义取定义域内的每一个值域内的每一个值时，都有时，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常就叫做周期函数，非零常数数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期. . 思考思考4 4：周期函数的周期是否唯一？正弦周期函数的周期是否唯一？正弦函数函数y=sinxy=sinx的周期有哪些？的周期有哪些？ 答：答：周期函数的
7、周期不止一个周期函数的周期不止一个. . 22，44，66，都是正弦函数都是正弦函数的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数2k(kz2k(kz且且k0)k0)都是它的周期都是它的周期. .【周期函数的定义【周期函数的定义】对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常非零常数数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个
8、函就叫做这个函数的周期数的周期. . 【最小正周期【最小正周期】 如果在周期函数如果在周期函数f(xf(x) )的的所有周期中存在一个最小的正数所有周期中存在一个最小的正数, , 则这则这个最小正数叫做个最小正数叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. .今后本书中所涉及到的周期，如果不加特今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期别说明，一般都是指函数的最小正周期. .【周期函数的定义【周期函数的定义】对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常数非零常数T T，使得当使得当x x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，
9、都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数的周就叫做这个函数的周期期. . 【最小正周期【最小正周期】如果在周期函数如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中存在一个最的所有周期中存在一个最小的正数小的正数, , 则这个则这个最小正数最小正数叫做叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. . 答：答：正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx有最小正周期，有最小正周期，且且最小正周期最小正周期T=2T=2思考思考5 5：我们知道：我们知道 22，44，66，都是都是y=sinxy
10、=sinx的周期的周期, ,那么那么函数函数y=sinxy=sinx有最小正有最小正周期吗？若有，那么最小正周期周期吗？若有，那么最小正周期T T等于多少？等于多少？ 正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx是周期函数，是周期函数，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是它的周期，最小正周期都是它的周期，最小正周期 T=T=22 余弦函数余弦函数y=cosxy=cosx是周期函数，是周期函数，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是周期，最小正周期都是周期，最小正周期 T=T=22思考思考6 6：就周期性而言，对正弦函数有就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？什么结论？对余弦函数呢？y
11、 y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222 2 2 2 22 22 2 2y=cosxy=cosx二：二：周期概念的拓展周期概念的拓展 思考思考1 1：判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确思考思考2 2：周期函数的定义域有什么特点？周期函数的定义域有什么特点？ 函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( )函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( )函数f(x)=sinx（x3k）是周期函数( )函数f(x)=sinx，x0，10是周期函数( )例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期： y=3cosx,xR;y=3cosx,xR;
12、y=sin2x,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xRy=2sin( - ),xR; ; 2x6 3cos(x+2)=3cos(x+2)= 由周期函数的定义可知，原由周期函数的定义可知，原函数的周期为函数的周期为22【解【解】3cosx3cosxy=sin2x,xR;y=sin2x,xR; sin2(x+)=sin2(x+)= 由周期函数的定义可知，原由周期函数的定义可知，原函数的周期为函数的周期为sin2xsin2xsin(2x+2)sin(2x+2)= =解：解：y=2sin( - ),xRy=2sin( - ),xR; ; 由周期函数的定义可知，原函数由周期函数的定
13、义可知，原函数的周期为的周期为446)4(21sin2x)621sin(2x2)621sin(2x2x6解：解：一般地，函数一般地，函数y=Asin(x+y=Asin(x+) ) (A(A0 0， 0 0) )的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? |2T 由上例知函数由上例知函数y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T= 2T= 2； 函数函数y=sin2xy=sin2x的周期的周期 T=T=； 函数函数y=2sin( - )y=2sin( - )的周期的周期 T=4T=4想一想：以上这些函数的周期与解析式想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？中哪些量有关吗？ 2x6自变
14、量的系数的绝对值T2 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试判断，试判断f(xf(x) )是否为周是否为周期函数？期函数？分析由已知有：分析由已知有：f(xf(x2)= -f(x2)= -f(x) ) f(x+4)= f(x+4)= 即即 f(xf(x4)=f(x4)=f(x) )由周期函数的定义知，由周期函数的定义知，f(x)是周期函数是周期函数.f(xf(x) )=-f(x=-f(x)=)=-f(x-f(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2= 如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有
15、周期中存在存在一个最小的一个最小的正数正数, 则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期 对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T T，使得当，使得当x x取取定义域内的每一个值时，都有定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期. . 归归 纳纳 整整 理理 1.1.说说周期函数的定义说说周期函数的定义. .3.3.什么叫周期函数的最小正周期？什么叫周期函数的最小正周期？ 2.2.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，检验它是否为周期函数，一般以定义为依据，检验它是否是否存在存在非非零常数零常数T T，对定义域内任一实数，对定义域内任一实数x x，f(xf(xT)=f(xT)=f(x) )恒成立恒成立. . 4.4.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )和和y=Acos(x+y=Acos(x+) (A) (A0)0)的最小的最小 正周期正周期 T=T=2这个公式，解题时可以直接应用这个公式，解题时可以直接应用练习：练习：1 1，2 2，3.3.