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1、第第8讲一元二次方程及其应用讲一元二次方程及其应用1定义：只含有_一个未知数_，并且未知数的最高次数是_2_，这样的整式方程叫做一元二次方程一般形式：_ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0)_，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项2解法：基本思路是通过“降次”将它化为两个一元一次方程(1)直接开平方法：适合于(xa)2b(b0)或(axb)2(cxd)2形式的方程(2)因式分解法：基本思想把方程化成ab0的形式，得a0或b0.方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解第1 1课时一元二次方程 (4)配方法：一般步骤化二次项系数为1；把常数项移到
2、方程的另一边；在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把方程整理成(xa)2b的形式；运用直接开平方解方程3一元二次方程的根的判别式关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式为b24ac.注意：根的判别式“b24ac”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；使用时，必须将一元二次方程转化一般式ax2bxc0，以便确定a、b、c的值一般步骤将方程化成ax2bxc0(a0)的形式；确定a，b，c的值；若b24ac0，则代入求根公式，得x1，x2；若b24ac0，则方程无实数根1(2011兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是配方法：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)把常数项移到
3、等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方( C )2(2013黄冈)已知一元二次方程x26xC0有一个根为2，则另一根为A2 B3 C4 D8( C )3(2012宜宾)将代数式x26x2化成(xp)2q的形式为A(x3)211 B(x3)27 C(x3)211 D(x2)24( B )4(2013新疆)方程x25x0的解是Ax10，x25 Bx5 Cx10，x25 Dx0( C )5(2013温州)方程x22x10的解是 转化的思想：一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)
4、，通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”【解析】(1)；(2)x14，x22.还可以设函数yx22x8，根据图象得出函数y与x轴的交点坐标，就可以求x的值；(3)四种方法都可以解 【归纳】一元二次方程的概念以及解法通过阅读，揭示根与系数的关系，并进行运用，利用整体思想，代数式变形，最后代数式求值 类型一一元二次方程的有关概念 例例1(2013牡丹江)若关于x的一元二次方程为ax2bx50(a0)的解是x1，则2013ab的值是()A2018 B2008 C2014 D2012【思路分析】将x1代入到ax2bx50中求得ab的值，然后求代数式的值即可
5、【答案】x1是一元二次方程ax2bx50的一个根，a12b150，ab5，2013ab2013(ab)2013(5)2018.故选A. 【解后感悟】此题主要是一元二次方程的解，解题的关键是利用方程解的概念，将方程的解代入原方程，采用整体的思想方法，再解关于待定系数的方程，即可求得代数式ab的值 2(2013兰州)用配方法解方程x22x10时，配方后得到的方程为A(x1)20 B(x1)20 C(x1)22 D(x1)22 ( D )【解析】把方程x22x10的常数项移到等号的右边，得到x22x1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x22x111，配方得(x1)22. 类型二一元二次方程
6、的解法 例2解方程：(1)(2013广州)x210 x90. (2)(2013兰州)x23x10. 【答案】(1)x210 x90，(x1)(x9)0,x10，x90，x11，x29.(2)关于x的方程x23x10的二次项系数a1，一次项系数b3，常数项c1，则 1(2013黔西南州)已知x1是一元二次方程x2axb0的一个根，则代数式a2b22ab的值是 _1_【解析】x1是一元二次方程x2axb0的一个根，12ab0，ab1，a2b22ab(ab)2(1)21. 3解方程：(1)(2013山西)(2x1)2x(3x2)7； (2)(2011聊城)解方程：x(x2)x20. 【答案】(1)在
7、解一元二次方程时一定要把方程变为一般形式后，然后根据直接开方法、配方法、因式分解法及求根公式法求解原方程可化为：4x24x13x22x7x26x80(x3)21x31x12x24(2)把方程左边因式分解，得(x2)(x1)0，从而，得x20，或x10 x12，x21 类型三一元二次方程解的相关问题 例3(2013泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是() Ax23x10 Bx210 Cx22x10 Dx22x30 【思路分析】A.x23x10，b24ac(3)241150，方程有两个不相等的实数根；同理，在方程x210，x22x10，x22x30中，b24ac40无实数根、b2
8、4ac0有两个相等的实数根、b24ac80无实数根 【答案】A【解后感悟】在一元二次方程ax2bxc0中，需要把握根的三种存在情况：b24ac0，方程有实数根(两个或一个)；b24ac0，无实数根 【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法一般没有特别要求的不用配方法解题关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程 4(2013张家界)若关于x的一元二次方程kx24x30有实根，则k的非负整数值是 【解析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，1612k0，且k0，解得：k，则k的非负整数值为1. 类型四
9、与几何相关的综合问题 例4方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_【思路分析】求出方程的解，分为两种情况：当等腰三角形的三边是3，3，6时，当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可 _1_【答案】 x29x180，(x3)(x6)0，x30，x60，x13，x26. 当等腰三角形的三边是3，3，6时，336，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是36615， 故答案为：15.【解后感悟】本题关键是确定三角形的三边的长度,用的数学思想是分类
10、讨论思想。要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 6(2012黔西南州)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x210 x210的解，则第三边的长为A7 B3 C7或3 D无法确定 ( A )【解析】解一元二次方程x210 x210，得x13。x27.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4x8.所以第三边的长x7.【阅读理解题】【试题】(2011张家界)阅读材料： 【感悟】本题通过阅读，要从本质上理解公式，然后按照问题给出的结构，结合公式进行有效运算 忽视一元二次方程ax2bxc0(a0)中“a0”【试题】已知关于x的一元二次方程(m1)x2x10有实数根，则m的取值范围是_ 【分析】错误答案m.错因是漏掉m10的条件