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1、两角和与差的正弦、正切【第一学时】【学习目标】1能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式2能利用公式解决简单的化简求值问题【学习重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【学习过程】一、初试身手1cos 17sin 13sin 17cos 13的值为( )A BCD以上都不对2函数ysin xcos x的最小正周期是( )ABC2D43已知为锐角，sin ，是第四象限角，cos()，则sin()_.二、合作探究1.利用公式化简求值【例1】（1）( )A BC D（2）求sin 157cos 67cos 23sin 67的值；（3）求sin(75)
2、cos(45)cos(15)的值思路探究（1）化简求值应注意公式的逆用（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值（1）C sin 30.（2）解：原式sin(18023)cos 67cos 23sin 67sin 23cos 67cos 23sin 67sin(2367)sin 901（3）sin(75)cos(45)cos(15)sin(1560)cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15)0.
3、2.给值(式)求值【例2】设，若cos ，sin ，求sin()的值思路探究应用公式注意角的范围求出所给角的正弦值解因为，cos ，所以sin ，因为，sin ，所以cos .所以sin()sin cos cos sin .1(变结论)若条件不变，试求sin()cos()的值解 sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 12(变条件)若将角的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？解 因为，cos ，所以sin .因为为第三象限，所以cos .所以sin()sin cos cos sin 0.3.辅助角公式的应用探究问题（1）函数ysin xcos
4、 x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？提示 不对因为sin xcos xsin，所以函数的最大值为.（2）函数y3sin x4cos x的最大值等于多少？提示 因为y3sin x4cos x5，令cos ，sin ，则y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数y的最大值为5（3）如何推导asin xbcos xsin(x)公式？提示 asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)【例3】设函数f(x)
5、sin xsin.（1）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；（2）不画图，说明函数yf(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变化得到思路探究辅助角公式转化成“一角一函数”的形式将所给函数展开与合并解（1）f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xsin ，当sin 1时，f(x)min，此时x2k(kZ)，所以x2k(kZ)所以f(x)的最小值为，x的集合为.（2）将ysin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得ysin x的图象；然后将ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(
6、x)sin的图象. 【母题探究】(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？解 由本例解析知函数可化为f(x)sin，当2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)时，函数为增函数；当2kx2k，即2kx2k(kZ)时，函数为减函数所以函数f(x)的单调增区间为(kZ)，函数f(x)的单调减区间为(kZ)【学习小结】1两角和与差的正弦公式（1）S：sin()sin_cos_cos_sin_.（2）S：sin()sin_cos_cos_sin_.2辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .【精炼反馈】1若cos ，是第三象限的角，则si
7、n( )A BC DA cos ，为第三象限角，sin ，由两角和的正弦公式得sin sin cos cos sin .2函数f(x)sin xcos的值域为( )A2,2 BC1,1 DB f(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f(x)的值域为，故选B3sin 155cos 35cos 25cos 235_. 原式sin 25cos 35cos 25sin 35sin(2535)sin 60.4已知，均为锐角，sin ，cos ，求.解 ，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos co
8、s sin ，.【第二学时】 【学习目标】1能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式2掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等【学习重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【学习过程】一、初试身手1(2019全国卷)tan 255( )A2B2 C2 D22( )A BC D3设tan ，tan ，且角，为锐角，则的值是_二、合作探究1.利用公式化简求值【例1】求下列各式的值：（1）tan 15；（2）；（3）tan 23tan 37tan 23tan 37.思路探究把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活
9、用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的解（1）tan 15tan(4530)2.（2）tan(3075)tan(45)tan 451（3）tan(2337)tan 60，tan 23tan 37(1tan 23tan 37)，原式(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.2.条件求值(角)问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.（1）求tan()的值；（2）求2的值思路探究先由任意角的三角函数定义求出cos ，cos ，再求sin ，sin ，
10、从而求出tan ，tan ，然后利用T求tan()，最后利用2()，求tan(2)进而得到2的值解由条件得cos ，cos ，为锐角，sin ，sin ，tan 7，tan .（1）tan()3（2）tan(2)tan()1，为锐角，02，2.3.公式的变形应用探究问题（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？提示根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等（2）在ABC中，tan(AB)与tan C有何关系？提示根据三角形内角和定理可得ABC，ABC，tan(AB)tan(C)tan C【例3】已知ABC中，tan Btan Cta
11、n Btan C，且tan Atan B1tan Atan B，判断ABC的形状思路探究.解由tan Atan(BC)tan(BC).而0A180，A120.由tan Ctan(AB)，而0C180，C30，B30.ABC是顶角为120的等腰三角形 (变条件)例题中把条件改为“tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan B1tan Atan B”，结果如何？解 由tan Atan (BC)tan (BC).又0A180，所以A60.由tan Ctan (AB).又0C180，所以C60，所以B60.所以ABC是等边三角形【学习小结】1两角和的正切公式T：tan() .2两角差的正切公式T：tan() .【精炼反馈】1设角的终边过点(2,3)，则tan( )ABC5D5A 由于角的终边过点(2,3)，因此tan ，故tan，选A2tan 10tan 20(tan 10tan 20)等于( )AB1C DB 原式tan 10tan 20tan 30(1tan 10tan 20)tan 10tan 201tan 10tan 2013计算_.1 tan 4514已知tan()，tan，求tan的值解 ()，tantan.11/11学科网（北京）股份有限公司