立体几何之外接球与内切球.docx

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1、立体几何之外接球与内切球一、墙角模型 ( 补形为长方体 )三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径例1. (2019 理 I12 题改)在正三棱锥 S - ABC 中， M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA = 2 3 , 则正三棱锥 S ABC 外接球的 表面积是 .变式1. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的 高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 .变式2.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均 为 3，则其外接球的体积是 .变式3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积 分别为 6、4、3，那么它的外接球的表面积是 .变式4. 已知三棱锥 A

2、 - BCD ，CD 平面 ABC ， RTABC 的两直角边 AB = 5,BC = 3, 该三棱锥 外接球表面积为 50 , 则三棱锥的体积为 .二、对棱相等模型 ( 补形为长方体 )例2. 在三棱锥 A BCD 中，AB = CD = 2 ,AD = BC = 3,AC = BD = 4, 则三棱锥 A BCD 外接球 的表面积为 .变式5.正四面体的各条棱长都为 2 ，则该正面体 外接球的体积为 .例3. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三 角形 ( 正四面体的截面 )的面积是 .三、汉堡模型例4.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧

3、棱垂直 于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的体积为 . 1 例5. 直三棱柱 ABC - A1B1 C1 的各顶点都在同一 球面上，若 AB =AC = AA1 = 2,BAC = 120，则 此球的表面积等于 .例6. 在直三棱柱 ABC A1B1 C1 中，AB = 4,AC = 6,A = ,AA1 = 4 则直三棱柱 ABC A1B1 C1 的外接球的表面积为 .四、投影模型如图 5, 若球内两条弦垂直，且其中一条弦为该弦所 在外接圆直径，则斜边一定是球的直径 .如图 6，7，8 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 三棱锥 P A

4、BC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶 点P 点也是圆锥的顶点 P 的射影是 ABC 的外 心.(正棱锥顶点投影也是外心)例7. 在 四 面体 S - ABC 中，SA 平 面 ABC ， BAC = 120 ,SA = AC = 2 ,AB = 1 , 则该四面体 的外接球的表面积为 .变式6. 已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上 ,ABC 是边长为1 的正三角形 ,SC 为球 O 的直径 , 且 SC = 2，则此棱锥的体积为 .变式7. 已知三棱锥外接球表面积为 50 ,PA AB ,PA AC ,AB = 3 ,AC = 4 ,BC = 5 , 则 PA =.例

5、8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的 高 为 1 ，底 面 边 长 为 2 3 ，则 该 球 的表 面积 为.变式8. 正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2 ，各顶点都在同一个球面上，则此球的体 积为 .2 变式9. 在三棱锥 P ABC 中，PA = PB = PC = 3 , 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三 棱锥外接球的体积为 .变式10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的 球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆 上，则该正三棱锥的体积是 .变式11. 已知 O 的直径PQ = 4,A,B,C 是球 O 球面 上的三点，ABC 是正

6、三角形，且 APQ = BPQ = CPQ = 300 , 则三棱锥 P ABC 的体积 为.变式12. 设 A ,B ,C ,D 是一个半径为 4 的球面上的 四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 , 则该 三棱锥D -ABC 体积最大值为 .变式13. 球 O 的球面上有四点 S,A,B,C, 其中 O,A ,B,C 四点共面，ABC 是边长为 2 的正三角形，面 SAB 面 ABC , 则棱锥 S ABC 的体积的最大 值为 .例9.(阿巴阿巴)正三角形 ABC 的边长为 2，将它 沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 1，此时 四面体 ABCD 外接球表面积为 .

7、( 若改为 BDC = 90 或 120 呢 )五、切瓜模型 ( 两个平面互相垂直，实 际也是投影模型 )例10. 三 棱 锥 P ABC 中 ，平 面 PAC 平 面 ABC，PAC 边长为2 的正三角形，AB BC，则 三棱锥P ABC 外接球的半径为 .变式14. 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC，AC = 2，PA = PC = 3，AB BC，则三棱 锥P ABC 外接球的半径为 .变式15. 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC，AC = 2，PA PC，AB BC，则三棱锥P ABC 外接球的半径为 .3 3 , 积为 .余弦值为 - 3 则四面体

8、 S - ABC 外接球的表面六、矩形模型 ( 斜边相同 , 可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 )(两等斜边直角三角形也有等同效果.)例11. 在矩形 ABCD 中，AB = 4 ，BC = 3 ，沿 AC将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D，则 四面体ABCD 的外接球的体积为 .变式16. 在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，沿BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 ；该三棱锥体积 最大值为 .例12. 在三棱锥 P - ABC 中，PA = 2 3 ,PC = 2 , AB = 7 , BC = 3 , ABC =

9、 90，则三棱锥 P - ABC 外接球的表面积为 .七、折叠模型例13. 三 棱 锥 P ABC 中 ，平 面 PAC 平 面 ABC ， PAC 和 ABC 均为边长为 2 的正三角 形，则三棱锥P ABC 外接球的半径为 .变式17. 在边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD = 60，沿对角线 BD 折叠二面角 A - BD - C 为 120 , 的四面体 ABCD，则该四面体的外接球表面积为.变式18. 在三棱锥 S - ABC 中，SB = SA = AB = BC = AC = 4,SC = 2 6 , 则三棱锥 S - ABC 外接 球的表面积为 .变式19. 在直角梯

10、形中，AB CD,A = 90 , C = 45 ,AB = AD = 1, 沿对角线 BD 折叠成四面体 A - BCD ，使面 A BD 平面 BCD ，若四面体 A - BCD 的顶点都在同一球面上，则该球的半径为.变式20. 在四面体 S - ABC 中，AB BC ,AB = BC = 2 ,SA = SC = 2, 且二面角 S - AC - B 的4 2. 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点 ,PA 平面 ABCD, 四边形 ABCD 是边长为 23 正方形 . 若PA = 2, 则 OAB 的面积为 .八、内切球法 1：相似比 法 2：r = 例14. 1 棱长为

11、 a 的正四面体内切球表面积是 . 2 正四棱锥 S - ABCD 的底面边长为 2， 侧棱长为 3，其内切球半径为 .变式21.四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是边长 为 6 的正方形，且 PA = PB = PC = PD ，若一个 半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱 锥的高是 .九、同步练习1. 已知正三棱锥 P - ABC, 点 P,A,B,C 都在半径 为 3 的球面上 , 若PA,PB,PC 两两互相垂直 , 则 球心到截面ABC 的距离为 .3. 正三棱柱 ABC - A1B1 C1 内接于半径为 2 的球， 若 ABC 的边 长 为 2 2 ，则正三棱

12、柱 的体积 为.4. 点 A,B,C,D 在同一个球的球面上，AB = BC = 2 ,AC = 2, 若四面体 ABCD 体积的最大值为 ， 则这个球的表面积为 .5. 在三棱锥P - ABC 中，AB =AC = 1,AB AC ,PA 平面 ABC, 且直线PA 与平面PBC 所成角 的正切值为 ，则三棱锥 P - ABC 外接球表面积 为 .6. 已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球 面上，SC 是球 O 的直径，若平 面 SCA 平 面 SCB ,SA = AC ,SB = BC , 三棱锥 S - ABC 的体 积为 9，则球 O 的表面积为 .7. 三棱锥 A

13、- BCD 中 ,CD 平面 ABC，在 ABC 中 AB = 5，AC = 3，BAC = 90 , 若三棱锥的体 积为 10，则该三棱锥的外接球的表面积为 .8. 已知点 M，N，P，Q 在同一个球面上，且 MN = 3，NP = 4，MP = 5，则该球的表面积是 ，则 四面体MNPQ 体积的最大值为 .9. 已知四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，点 O 在四面体 ABCD 内部，BC = OA，AB = AC = AD过点 A 作平面 截球 O 得到圆面 O ，若圆 O 的面积的最大值为 16 ，且 BCD 为等边三角形， 则四面体ABCD 的表面积为 .5 十、阿巴阿巴10.

14、如图，平面四边形 ACBD 中，AB BC，AB DA，AB = AD = 1，BC = 2 ，现将 ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PA AC，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为 11. 如图所示，在三棱锥 P - ABC 中，AB BC， AB = 3，BC = 2，点 P 在平面ABC 内的投影 D 恰 好落在 AB 上，且 AD = 1，PD = 2，则三棱锥 P - ABC 外接球的表面积为 .12. 已知在四面体 ABCD 中，AB = AD = BC = CD = BD = 2，平面 ABD 平面 BDC，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 .1

15、3. 如图，平面四边形 ACBD 中，AB BC，AB DA，AB = AD = 1，BC = 2 ，现将 ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PA AC，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为 .14. 已知A，B，C，D 四点均在半径为R(R 为常数 ) 的球 O 的球面上运动，且 AB = AC = ，AB AC，AD BC，若四面体 ABCD 的体积的最大值 为 ，则球 O 的表面积为 .15.九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形 的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底 面的四棱锥如图，在堑堵 ABC - A1B1 C1 中，AC BC ，AA 1 = 2 ，当阳马 B - ACC1 A 1 体积为 时，堑堵 ABC - A 1 B1 C1的外接球的体积的最小值为 .16. 在三棱锥 V - ABC 中，面 VAC 面 ABC ， VA = AC = 2，VA AC，BA BC，则三棱锥 V- ABC 的外接球的表面积是 .17. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰 长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则该几何体外接球的体积为 .本文参照的付雨楼、段永建两位老师的资料改编阿巴阿巴6