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1、考点12 基本不等式知识理解一 基本不等式公式二 几个重要结论(1)2(2)2(ab0)(3) (a0，b0)三利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)考向分析考向一 公式的直接运用【例1(2020辽宁高三期中)已知，那么的最小值是( )A1B2C4D5【答案】C【解析】根据题意，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4；故选：C.【方法总结】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项
2、必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方【举一反三】1(2020河北高三月考)已知正数，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】因为.当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为12，故答案为：122(必修5P99例1(2)改编)若x0，y0，且xy18，则的最大值为 。【答案】9【解析】因为xy18，所以9，当且仅当xy9时，等号成立3(必修5P100练习T1改编)设a0，则9a
3、的最小值为()A4 B5C6 D7【答案】6【解析】因为a0，所以9a2 6，当且仅当9a，即a时，9a取得最小值6.考向二 配凑型【例2】(1)(2020全国高三专题练习)当时，则的最大值为( )ABCD(2)(2020全国高三专题练习)函数的最小值是( )ABCD(3)(2020四川省阆中东风中学校高三月考)若正数a，b满足，且，则的最小值为( )A4B6C9D16(4)(2021全国高三专题练习)已知f(x)，则f(x)在上的最小值为( )ABC1D0【答案】(1)D(2)D(3)C(4)D【解析】(1)，当，即时等号成立，即最大值为，故选：D.（2） 因为，所以，当且仅当，即时等号成立
4、.所以函数的最小值是.故选：D.(3)由，可得，所以当且仅当，即时等号成立.故选：C(4)f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号又1，所以f(x)在上的最小值是0.故选：D【方法总结】1. 一般两个因式相加时，两个因式未知数部分（不含系数）成为倒数关系2. 一般两个因式相乘时，两个因式因式部分成相反数（含系数）关系【举一反三】1(2020全国高三专题练习)设，则函数的最大值为( )A2BCD【答案】D【解析】，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D2(2020全国高三专题练习)已知，则的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】，若，则，时等号成立；若，则，时等号成立的取
5、值范围为，故选：A.3若，则取最大值时的值是 。【答案】【解析】，由基本不等式得，当且仅当，即，时取等号，取最大值时的值是4若，都是正数，且，则的最大值为 。【答案】4【解析】由题意，可知：，当且仅当即时取等号；考向三 条件型【例3】(1)(2020全国高三专题练习)已知，且，则的最小值为( )ABCD(2)(2020全国高三专题练习)若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )ABC5D6【答案】(1)B(2)C【解析】(1)，且，当且仅当，即时等号成立，的最小值为.故选：B(2)由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C【方法总结】问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知
6、数部分配成分式分母相同【举一反三】1(2020东莞市东华高级中学高三月考)已知，则的最小值是( )AB4CD3【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：D2(2020河北沧州市高三期中)若，则的最小值为( )A2B6C9D3【答案】D【解析】因为，所以当且仅当，即，时取等号.故选：D.3(2020全国高三专题练习)已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】由题意得，因为，为正实数，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.4(2020河津中学高三月考)设，为正实数，满足，则目标函数的最小值为( )A4B32C16D0【答案】C【解析】由，为正实数，满
7、足，可得， 所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为为故选：C考向四 换元型【例4】(2020通榆县第一中学校高三月考)已知正数x，y满足，则的最小值为( )A4B5C6D8【答案】B【解析】由题意，得，法一：，当且仅当，即，时，的最小值为5 法二：由，得，则，当且仅当，即，时，的最小值为5故选：B【举一反三】1(2021天津市)已知，则的最小值为( )AB8C9D【答案】C【解析】由可得，可得则 当且仅当，即时取得等号.故选：C2(2020重庆市江津中学校高三期中)已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】由得，所以当且仅当，即且时取得等号.故答案为：3若正实数，满足，则的最小值为_.【答
8、案】【解析】由可得当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：考向五 求参数【例5】(2020全国高三专题练习)已知，若不等式恒成立，则m的最大值为( )A10B12C16D9【答案】D【解析】由已知，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，所以故选：D【举一反三】1(2020全国高三专题练习)若，则恒成立的一个充分条件是( )ABCD【答案】B【解析】因为，由基本不等式，当且仅当即时，取等号，要使得恒成立，则，所以恒成立的一个充分条件是故选：B2(2020河北高三月考)已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】，(当且仅当，即时取等号)，故选：D3(202
9、0江苏淮安市高三期中)已知x0，y0，且x+3y=xy，若t2tx+3y恒成立，则实数t的取值范围是_.【答案】【解析】因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，因为恒成立，即，解得.所以实数t的取值范围是.故答案为：.4(2020全国高三专题练习)若对任意，恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立，.故答案为：.强化练习1(2020全国高三专题练习)已知，则的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】函数的定义域为，若，当且仅当，即时取等号；若，当且仅当，即时取等号；的取值范围为.故选：A.2(2020福建福州市高三期中)已知，则的最小值为( )A36B16C8D4【答
10、案】C【解析】，当且仅当时即时等号成立，故的最小值为8.故选：C.3(2021全国高三专题练习)已知点在直线上，则的最小值为( )ABCD【答案】C【解析】因为点在直线上，所以，因为所以，当且仅当，即时取等号，故选：C4(2020河北张家口市高三月考)已知，则的最小值是( )A6B8C4D9【答案】D【解析】则当且仅当，即时取等号故选:D.5(2020河南郑州市高三月考)已知正实数，满足，则的最小值为( )A32B34C36D38【答案】A【解析】由，且，得，当且仅当，即时，取等号，此时，则的最小值为32故选：A.6(2020全国高三专题练习)已知，且，则的最小值为( )ABCD【答案】A【解
11、析】，当且仅当，等号成立，所以最小值为，故选：A.7(2020山东菏泽市高三期中)若正实数，满足，则下列选项中正确的是( )A有最大值B有最小值C有最小值4D有最小值【答案】C【解析】当且仅当时等号成立，即，故A错误；B中，若，有，即最小值不为，错误；C中，正确；D中，若，有，即最小值不为，错误；故选：C8(多选)(2020江苏南通市高三期中)设正实数，满足，则下列说法正确的是( )A的最小值为4B的最大值为C的最小值为D的最小值为【答案】ABD【解析】因为所以，当且仅当，即时等号成立，故A正确因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确因为，所以的最大值为，故C错误因为所以D正确故选：ABD
12、9(多选)(2020福清西山学校高三期中)若，且，则( )A有最大值64B有最小值64C有最小值18D有最小值16【答案】BC【解析】因为，所以，即 ，所以，有最小值64，故选项B正确，选项A不正确，所以有最小值18，故选项C正确，选项D 不正确，故选：BC10(2020全国高三专题练习)在中，点是线段上任意一点(不包含端点)，若，则的最小值是( )A4B9C8D13【答案】B【解析】因为点是线段上任意一点(不包含端点)，所以，则，因为，所以，所以因为，所以，则，当且仅当，时，等号成立故选：B11(2020全国高三专题练习)已知，则的最小值为( )ABCD【答案】D【解析】，由基本不等式可得，
13、且当，即，时等号成立，因此，的最小值为.故选：D.12(2020全国高三专题练习)若正实数满足，则的最小值为( )A1B2C3D4【答案】A【解析】由题意，正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，即，所以，即的最小值为1.故选：A.13(2020深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，且，则，当且仅当时，上式取得等号，若恒成立，则，解得故答案为：14(2020河北衡水市衡水中学高三月考)已知正实数、满足，则的最小值为_.【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.15(2020山东日照市日照一中高三月考)已知
14、，则的最小值为_.【答案】9【解析】由得：；,(当且仅当，即时取等号)，的最小值为9.故答案为:916(2020江苏镇江市高三期中)已知，且，则的最小值为_.【答案】4【解析】，因为，所以，当且仅当时，取到最小值故答案为：417(2020广东佛山市高三月考)已知，且，求的最小值为_.【答案】【解析】，且，(当且仅当，即时取等号)，.故答案为：.18(2020大荔县大荔中学高三月考)已知正数满足，则的最小值为_.【答案】25【解析】正数满足，当且仅当，即时等号成立，的最小值为25.故答案为：25.19(2020全国高三专题练习)已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，
15、则的最小值为_.【答案】【解析】A、B、P是直线上三个相异的点，即，所以，当且仅当，即，时取等号，故答案为：.20(2020湖北省鄂州高中高三月考)已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】由，得，则，当且仅当，时等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.21(2020福建高三期中)已知向量，若，则的最小值为_【答案】8【解析】由，所以即，即，且，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为：故答案为：.22(2020辽宁葫芦岛市高三月考)正实数a，b满足3a+2b9，则的最小值为_.【答案】3【解析】因为3a+2b9，所以，当且仅当a1，b3时取等号.故答案为：323(2020全国高三专题练习(理)已
16、知实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】令，则，且仅当即时取等号故答案为：24(2020河西区天津实验中学高三月考)是等腰直角三角形，点D满足，点E是BD所在直线上一点.如果，则的最小值_.【答案】【解析】由知，D在边CA的延长线上，且A为CD的中点，因为点E是BD所在直线上一点，且，当且仅当时“”成立，故答案为：.25(2020任丘市第一中学高三月考)已知向量，若，则的最小值为_【答案】【解析】因为，所以，即，整理得：，又因为，所以，解得：.所以当且仅当，即时等号成立.故答案为：.26(2020全国高三专题练习)已知，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_【答案】5【解析】，当且仅当，即时，取等号，因为不等式对恒成立，所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，令，.故答案为：5