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1、多项式的因式分解多项式的因式分解本课内容本节内容3.11. 21等于等于3乘哪个整数？乘哪个整数？说一说说一说21=372. x2- -1等于等于x+1乘哪个多项式？乘哪个多项式？因为因为( (x+1)()(x- -1) )=x2- -1, ,所以所以 x2- -1=( (x+1)()(x- -1) ). 对于整数对于整数21与与3，有整数，有整数7使得使得21=37，我们把我们把3叫做叫做21的一个的一个因数因数 类似地，对于多项式类似地，对于多项式x2- -1与与x+1，有整式的，有整式的乘法有多项式乘法有多项式x- -1使得使得x2- -1=( (x+1)()(x- -1) )成立成立，
2、我们把多项式我们把多项式x+1叫做叫做x2- -1的一个的一个因式因式. 同理，同理，7也是也是21的一个因数的一个因数 同理，同理，x- -1也是也是x2- -1的一个因式的一个因式.议一议：议一议：你能尝试把你能尝试把 化成几个化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴整式的乘积的形式吗？与同伴交流一下吧！交流一下吧！aa 3aa 312aaa) 1(2aa=a(a+1)(a-1) 一般地，对于两个多项式一般地，对于两个多项式f与与g，如果有，如果有多项式多项式h使得使得f=gh，那么我们把，那么我们把g叫做叫做f的一的一个个因式因式. 此时，此时，h也是也是f的一个因式的一个因式. 把把x2-
3、-1写成写成( (x+1)()(x- -1) )的形式叫做把的形式叫做把这个这个多项式因式分解多项式因式分解. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解因式分解.x2- -1=( (x+1)()(x- -1) )想一想想一想:分解因式与整式乘法有什分解因式与整式乘法有什么关系么关系?二者是互逆的过程二者是互逆的过程为什么要把一个多项式因式分解呢为什么要把一个多项式因式分解呢？ 每一个大于每一个大于1的正整数都能表示成若干个素的正整数都能表示成若干个素（质质）数数的乘积的形式的乘积的形式例如例
4、如12 = 223， 30 = 235 . . 有了有了式和式和式，就容易求出式，就容易求出12和和30的最的最大公因数为大公因数为23 =6 ， 进而很容易把分数进而很容易把分数 约分：分子与分母同约分：分子与分母同除以除以6，得，得1230 122= .53012 = 223，30 = 235 . 同样地，每一个多项式可以表示成若干个最同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁解决架起了桥梁 例如，以后我们要学习的分式的约分，解一例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式
5、进行因式分解元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解. .1. 求求4，6，14 的最大公因数的最大公因数. 答：因为答：因为4=22 6=23 14=27练习练习所以所以最大公因数是最大公因数是2.举举例例 例例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么因式分解，哪些不是，为什么？（1） a2 + 2ab + b2 = ( (a+b) )2；（2） m2 + m - - 4 = ( (m+3)()(m- -2) )+ 2 .解解 是是. 因为从左边到右边是把多项式因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式表示成了多项
6、式a+b与与a+b 的积的形式的积的形式.（1） a2 + 2ab + b2 = ( (a+b) )2（2） m2 + m - - 4 = ( (m+3)()(m- -2) )+ 2 .解解 不是不是. 因为因为( (m+3)()( m- -2) )+2不是几个不是几个 多项式乘积的形式多项式乘积的形式.2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解， 哪些不是，为什么哪些不是，为什么？（1） ( (x+1)()(x+2) )= x2+3x+2 ；（2） 2x2y + 4xy2= 2xy( (x+2y) ) ；答：是答：是因式分解因式分解.（3）
7、x2- -2 =( (x+1)()( x- -1) )- -1 ；（4） 4a2- -4a+1=( (2a- -1) )2 .答：是答：是因式分解因式分解.解解 不是不是. 解解 不是不是. 1因为因为x2 +3x+2不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.因为因为(x+1)(x-1)-1不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.练习练习例例2 检验下列因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确. . （1） x2 + xy = x( (x+y) ) ； （2） a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) ； （3） 2m2 - -n2 = ( (
8、2m- -n) )( (2m+n) ) .分析分析 检验因式分解是否正确，只检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等与左边的多项式是否相等.解解 因为因为( (a- -2)()(a- -3) ) = a2- -5a+6， 所以因式分解所以因式分解a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) )正确正确.（1） x2 + xy = x( (x+y) )解解 因为因为x( ( x + y ) ) = x2 + xy ， 所以因式分解所以因式分解 x2 + xy = x( (x + y) )正确正确.（2） a
9、2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) （3） 2m2 - -n2 = ( (2m- -n) )( (2m+n) ) .解解 因为因为( (2m- -n)()(2m+n) )= 4m2- -n22m2- -n2， 所以因式分解所以因式分解2m2- -n2=( (2m- -n)()(2m+n) )不正确不正确.3. 检验下列因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确.（1） - -2a2 + 4a = - -2a( (a+2) ) ；（2） x3+ x2+ x = x( (x2+ x) ) ；解解 因为因为- -2a( (a+2) )= - -4a2- -4a- -2a2+4a ， 所以因式分解所以因式分解- -2a2+4a= - -2a( (a+2) )不正确不正确.（3） m2+ 3m+ 2 = ( (m+1)()(m+2) ) .解解 因为因为x( (x2+x) )=x3+x2x3+x2+x， 所以因式分解所以因式分解x3+x2+x=x( (x2+x) )不正确不正确.解解 因为因为( (m+1)()(m+2) )=m2+3m+2， 所以因式分解所以因式分解m2+3m+2=( (m+1)()(m+2) )正确正确.练习练习结结 束束