《导数的几何意义(优质课比赛)ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的几何意义(优质课比赛)ppt课件.ppt（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3.1.3导数的几何意义导数的几何意义 xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即： 000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或表示“平均变化率”xy一、复习一、复习1、导数的定义、导数的定义其中：其中： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的的割线割线）的斜率。）的斜率。 0000,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道 导数表示函数在处的瞬时变化率 反映了函数在附近的变化情况 那么 导数的几何意义是什么呢P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .图图 1 2 3 4
2、?,.什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 yxo)(xfy P相切相交再来一次PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.?同同过过的的切切线线定定义义有有什什么么不不此此处处切切线线定定义义与与以以前前学学切线切线Pl 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线
3、的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。例。不能不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。直线叫做圆的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。数来定义曲线的切线。 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可
4、能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy00 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以： 0 xf 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x
5、0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义例例1:2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用202lim2xxxx （1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得
6、到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结小结:练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程
7、是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx 练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.12)1 () 1 (lim0 xxffx, 12)1()1(lim)(0 xxffxfx是是可可导导函函数数且且解解： 01(1)(1)lim1,21 (1)xffxx. 2) 1 ( f故所求的斜率为故所求的斜率为-2.导数的几何意义的应用导数的几何
8、意义的应用0(1)(1)lim2,(1) 1xfxfxxoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,.,.以以直直代代曲曲想想方方法法这这是是微微积积分分中中重重要要的的思思附附近近的的曲曲线线点点这这替替近近似似代代切切线线我我们们用用曲曲线线上上某某点点处处的的
9、这这里里近近似似代代替替无无理理数数用用有有理理数数如如例例刻刻画画复复杂杂的的对对象象数数学学上上常常用用简简单单的的对对象象14163 .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh21
10、0 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图hto3t4t 附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，
11、即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt 结论：根据导数的几何意义，结论：根据导数的几何意义， 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；是下降的，即函数在这点附近是单调递减； 当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。当某点处导数等于零时，说明是函数的
12、最值点。 80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .图图 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到精确到率率物浓度的瞬时变化物浓度的瞬时变化血管中药血管中药时时估计估计根据图象根据图象函数图象函数图象变化的变化的单位单位随时间随时间位位单单物浓度物浓度表示人体血管中药表示人体血管中药它它如图如图例例 ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf .在此点处的切线的斜率
13、曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411 .,.,.41804180 ft所以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. tft药物浓度的瞬时变化率二、函数的导数：二、函数的导数： )()(xfxyyxf需指明自变量时记作或记作：）的导函数（简称为导数我们称它为,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxfxyyxf即： 的函数，便是一个变化时，这样，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个
14、时，当到：的导数的过程中可以看从求函数xxfx xfxx 35f5x13f3x 56f6x确定的值；32f2x157xxxf002（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的
15、导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。 弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx