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1、精选优质文档-倾情为你奉上第7讲不等式的恒成立与存在性问题1.(2017镇江高三期末)已知函数f(x)=x2-kx+4,对任意x1,3,不等式f(x)0恒成立,则实数k的最大值为.2.若对任意x(0,+),y(0,+),(m-1)x+my22xy恒成立,则实数m的最小值为.3.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知不等式(ax+3)(x2-b)0对任意x(0,+)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为.4.(2018徐州铜山高三第三次模拟)当00,关于x的不等式NN,M-N的最小值为1,则ab的最小值为.6.(2018江苏海安高级中学阶段检测)记数列an的前n项和为Sn,若
2、不等式an2+Sn2n2ma12对任意等差数列an及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为.7.已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若xR,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x-1,1,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x-1,1,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.8.对于定义在区间D上的函数f(x),若存在正整数k,使不等式1kf(x)k恒成立,则称f(x)为D(k)型函数.(1)设函数f(x)=a|x|,定义域D=-3,-11,3.若f(x)是D(3)型函数,求实数a的取值范围;(2)设函数g(x)=ex-x2-x,定义域D=(0,2),判断g(x)是
3、不是D(2)型函数,并给出证明.(参考数据:7e20,y0)时等号成立,m2,即m的最小值为2.3.答案-2,8解析当b0时,由(ax+3)(x2-b)0得到ax+30在x(0,+)上恒成立,则a不存在;当b0时,由(ax+3)(x2-b)0,可设f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,又函数f(x)、g(x)的大致图象如图所示,那么由题意可知:a0,-3a=b,再由a,b是整数得到a=-1,b=9或a=-3,b=1.因此a+b=8或-2.故a+b的取值集合为-2,8.4.答案00可得log2a3x-4x2-x,即x2-(3log2a+1)x+4log2a0在R上有解,则=(3log2a+1)
4、2-16log2a0,解得log2a19或log2a1,则00在(0,1)上恒成立,所以f(x)在(0,1)上单调递增.f(0)=a-1b+1,f(1)=3a-23b+2,f(x)在(0,1)上的值域为a-1b+1,3a-23b+2.Nf(x)1时,f(x)在x-1,1上单调递增,则f(x)min=f(-1)=3-3a0,a1,舍去;当-1a1时,f(x)min=f(-a)=-a2-a+20,-2a1,则-1a1;当a-1时,f(x)在x-1,1上单调递减,则f(x)min=f(1)=a+30,a-3,则-3a-1.综上可得实数a的取值范围是-3,1.(3)x-1,1,f(x)0恒成立,则f(
5、x)max0,x-1,1.当a0时,f(x)max=f(1)=a+30,a-3,则a0;当a0时,f(x)max=f(-1)=3-3a0,a1,则a0.综上可得实数a的取值范围是R.8.解析(1)因为f(x)=a|x|是D(3)型函数,所以13a|x|3在-3,-11,3上恒成立,即13|x|a3|x|在-3,-11,3恒成立.又|x|的取值范围为1,3,所以a(13|x|)max=13,所以a取值范围为13,1.(2)g(x)是D(2)型函数.证明如下:先证明g(x)2.记h(x)=x2+x+2ex,0x2,所以h(x)=-(x2-x+1)ex=-x-122+34exh(2)=8e21,所以
6、x2+x+2ex1,即ex-x2-x2,所以g(x)12.记r(x)=x2+x+12ex,0x2,所以r(x)=-x2-x-12ex.令r(x)=0,得x=1+32(0,2),记x0=1+32,则x0+12=x02.当0x0,当x0x2时,r(x)12,只要证r(x)1,只要证r(x)max1,即证2x02ex01,即证(2x0)2ex0,即证2ln2+2lnx01时,有lnx1,所以p(x)=1x-12-12x2=-(x-1)22x20,所以p(x)在(1,+)上为减函数,所以p(x)p(1)=0,即lnxx2-12x得证.所以2ln222-122=12,2lnx02x02-12x0=x0-1x0,故要证明(*)式,只需证明12+x0-1x0x0,即证x02,而x0=1+3212.由得12g(x)2,结论获证.专心-专注-专业