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1、3.1 排列与组合3.1.1 排列问题问题 在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，需要准备多少种在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？不同的机票？ 分析：这个问题就是从北京、重庆、上海分析：这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出个民航站中，每次取出2个站，个站，按按照起点站在前，终点站在后的顺序排列照起点站在前，终点站在后的顺序排列，求，求不同的排列方法的总数不同的排列方法的总数。起点起点终点终点北京北京重庆重庆上海上海重庆重庆上海上海上海上海北京北京重庆重庆上海上海解：根据分步计数原理，共有解：根据分步计数原理，共有32=6（种）（种）第一步第
2、一步确定机票的起点确定机票的起点 ,有有3种不同方法；种不同方法；第二步第二步确定机票的终点，有确定机票的终点，有2种不同方法；种不同方法；1）将）将被取的对象被取的对象（如上面问题的民航站）叫做（如上面问题的民航站）叫做元素元素.2）上面的问题就是：）上面的问题就是：从从3个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取2个，按照个，按照一定的顺序一定的顺序排成一列，可以得到多少个排成一列，可以得到多少个不同的排列不同的排列.排列排列 一般的，从一般的，从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m (m n)个元素，按照个元素，按照一定的顺序排一定的顺序排成一列成一列，叫做，叫做从从n个不同元素中取出
3、个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列，其中，其中 mn时叫做时叫做选排列选排列； m=n时叫做时叫做全排列全排列. 两个排列相同两个排列相同：（1）两个排列的）两个排列的元素元素完全相同完全相同（2）排列的）排列的顺序顺序相同相同说明说明例例1 写出从写出从4个元素个元素 a,b,c,d 中任取中任取2个元素的所有排列。个元素的所有排列。 分析：首先任取分析：首先任取1个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取1个元素个元素放在右边。放在右边。解：所有排列为解：所有排列为 ab, ac ,ad , ba , bc , bd , ca , cb ,
4、cd ,da , db , dc.排列排列数数 从从n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m (m n)个元素的个元素的所有排列的个数所有排列的个数，叫做叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数，用，用符号符号 表示表示 . 1. 从从4个元素个元素 a,b,c,d 中任中任取取1个元素的排列数可以表示为个元素的排列数可以表示为 _. 2. 从从4个元素个元素 a,b,c,d 中任中任取取2个个元素的排列数可以表示为元素的排列数可以表示为 _. 3. 从从4个元素个元素 a,b,c,d 中任取中任取2个元素的排列个元素的排列数为数为_.4. mnP14P244
5、312P 24P?mnP 12练习练习排列数公式排列数公式研究研究mnP假定有假定有n个元素，顺序排列的个元素，顺序排列的m个空位个空位第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位第一第一步，从步，从 n 个元素中任选个元素中任选1个元素，填到第个元素，填到第1个空位，有个空位，有 n 种种方方法；法；第二步第二步，从剩余的从剩余的 n-1 个个元素中任选元素中任选1个元素，填到个元素，填到第第2个个空位，空位，有有_种方法种方法；第三步第三步，从从剩余的剩余的 _个个元素中任选元素中任选1个元素，填到个元素，填到第第3个个空位，空位，有有_种方法种方法；第第m步步，从从_个个元素中任选元素中任选
6、1个元素，填到个元素，填到第第m个个空位，空位，有有_种种方方法法；根据根据分步计数原理分步计数原理，全部填满空位的方法总数为，全部填满空位的方法总数为分步计数分步计数原理原理nn-1n-2n-m+1.n- (m-1)n-m+1121n nnnm由此可得，从由此可得，从n个不同元素中任取个不同元素中任取m (m n)个元素的个元素的排列数排列数 为为mnP 121mnn nnnmP其中，其中， 且且 ，该公式叫做，该公式叫做排列数公式排列数公式*,m nNmnn-1n-2n-2排列排列数公式数公式 121mnn nnnmP当当 m = n 时，由公式得时，由公式得123 2 1nnn nnP
7、由由1到到n的正整数的连乘积的正整数的连乘积，叫做，叫做n的阶乘的阶乘，记作，记作!n即即!123 2 1nn nn !nnnP当当 m n 时，时，121mnn nnnmP1212 12 1n nnnmnmnm!nnm即即!mnnnmP例例2 计算计算 和和 解：解：25P44P255 420P 444!4 3 2 124P 练习：练习： 计算计算 （1） （2）（3） （4） （5） （6） 56_P 38_P 55_P 152_P 212_P 47_P 课后练习课后练习3.1.11.填空填空(1) 已知已知 ，那么，那么n=_;(2) 用用1,2,3,4,5,6这六个数组成没有重复数字的
8、四位数，共有这六个数组成没有重复数字的四位数，共有_个个. 256nP 8466 5 4 3360P 例例3 小华准备从小华准备从7本世界名著中任选本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙本，分别送给甲、乙、丙3位同学，位同学，每人每人1本，本， 共有多少种选法？共有多少种选法？解：解：3776 5210P 课后练习课后练习3.1.12. 在在A,B,C,D四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？ 分析一分析一：因为百位上的数字不能为：因为百位上的数字不能为0，所以分成，所以分成两步两步考虑问题考虑问题. 第一第一步步先排百位上的
9、先排百位上的数字，有数字，有 种方法；种方法； 第二第二步步从剩余的数字中任取两个从剩余的数字中任取两个排列，有排列，有 种方法种方法.例例4 用用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的可以组成多少个没有重复数字的3位数位数 ？解法一：由分步计数原理可得三位数的个数为解法一：由分步计数原理可得三位数的个数为 125555 4100P P 15P25P例例4 用用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的可以组成多少个没有重复数字的3位数位数 ？分析二分析二：组成三位数的数字中，可能含组成三位数的数字中，可能含0，也可能不含，也可能不含0，所以分成，所以分成两类两类考虑问题考
10、虑问题. 第第一类为一类为3位数字中位数字中含含0 由于由于百位上的数字不能为百位上的数字不能为0，所以只能将，所以只能将0放在个位或十位放在个位或十位，有，有 种种方法方法；然后；然后在在从从 “1,2,3,4,5”五个数字中，任选五个数字中，任选2个数字，放到剩余的个数字，放到剩余的2个数位上个数位上有有 种种方法方法. 由由分步计数原理分步计数原理知这类知这类3位数的位数的个数个数 25P1225=2 5 4=40P P 第二类为第二类为3位数字中不含位数字中不含0， 从从“1,2,3,4,5”五个数中任选三个数字放到五个数中任选三个数字放到3个位数上，这类个位数上，这类3位数的个数为位
11、数的个数为解：由分类计数原理可得，所求解：由分类计数原理可得，所求3位数的个数为位数的个数为12P35P123255+=2 5 4+5 4 3=40+60=100P PP 课后练习课后练习3.1.13. 用用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有这五个数字，组成没有重复数字重复数字的三位数，其中偶数有的三位数，其中偶数有多少个多少个 ？ 3.1.2 组合问题问题 在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，有多少种不同的在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？ 分析：这个问题，是从分析：这个问
12、题，是从3个不同的元素中任取出个不同的元素中任取出2个，个，不管是怎样的顺序总认为是一组不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组求一共有多少个不同的组.飞机票价飞机票价北京北京重庆（重庆重庆（重庆北京）北京）解：共有解：共有3组组.北京北京上海（上海上海（上海北京）北京）重庆重庆上海（上海上海（上海重庆）重庆）组合组合 一般的，从一般的，从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m (m n)个个不同不同的元素的元素，组成一组组成一组，叫做叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个不同元素的一个个不同元素的一个组合组合.排列与组合的区别排列与组合的区别 排列的定义：一般的，从排列
13、的定义：一般的，从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m (m n)个元素，按照一定个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列从从n个不同元素取个不同元素取m (m n)个元素的一个个元素的一个组合组合，与，与m个元素排列的顺序个元素排列的顺序无关无关；从从n个不同元素取个不同元素取m (m n)个元素的一个个元素的一个排列排列，与，与m个元素排列的顺序个元素排列的顺序有关有关 .组合数组合数 一般的，从一般的，从n个不同元素个不同元素中取中取m (m n)个不同的元素的个不同的元素的所有组合的个数所有组合
14、的个数，叫做叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个不同元素个不同元素的的组合数，组合数，用符号用符号 表示表示.mnC组合数的计算组合数的计算-研究研究例如：计算例如：计算用两种不同的方法来计算用两种不同的方法来计算方法方法一：一：方法二：方法二：从从4个不同的元素中取个不同的元素中取3个不同元素的一个排列个不同元素的一个排列，可以，可以分两步分两步完成完成第一第一步步，从，从4个不同的元素中取个不同的元素中取3个元素个元素组成一组组成一组，有，有 种取法；种取法；第二第二步步，对每一组中的，对每一组中的3个不同元素进行个不同元素进行全排列全排列，根据分步计数原理根据分步计数原理所以所
15、以 34C34P344 3 224P 33443!PC33443!PC 34C组合数的计算公式组合数的计算公式 一般的，从一般的，从n个不同元素个不同元素中取中取m (m n)个不同的元素的个不同的元素的组合数组合数为为121!mmnnmmn nnnmPCPm所以公式还可以写作所以公式还可以写作 由于由于!mnnPnm!mnnCmnm其中，其中， 且且 ，该公式叫做，该公式叫做组合数公式组合数公式*,m nNmn例例5 计算计算 和和 解：解：25C44C2255225 4102!PCP4444441PCP练习：计算练习：计算(1)(2)(3)(4)46_;C 05_;C 111_;C1011
16、_;C说明：说明：（1）（2）1nnC 01nC 组合数的性质组合数的性质性质性质1mn mnnCCmn 利用这个性质，利用这个性质，当当 时，可以通过计算比较简单时，可以通过计算比较简单 的得到的的得到的 值，值，如如2nm n mnCmnC1820 182202020CCC1820C20 191902!性质性质211mmmnnnCCCmn性质性质2反映出组合数公式中反映出组合数公式中m与与n之间存在的联系之间存在的联系.1、计算下列各数、计算下列各数(1)(2)(3)(4)27_;C 45_;C 38_;C 1012_;C课后课后练习练习3.1.23.1.2例例6 圆周上有圆周上有10个点
17、，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以画多少个？画多少个？ 解：可以画出的圆内接三角形个数为解：可以画出的圆内接三角形个数为分析：因为只要选出三个点，三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以求分析：因为只要选出三个点，三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以求得是得是从从10个不同元素中任取个不同元素中任取3个不同元素的组合数个不同元素的组合数.33101010 9 81203!3 2 1PC 即即可以画出可以画出120个圆内接三角形个圆内接三角形.课后课后练习练习3.1.23.1.22、6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？3、从、从3、5、7、11这四这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？4、学校开设了、学校开设了6门任意选修课，要求每个学生门任意选修课，要求每个学生从从中选学中选学3门，共有多少种不同的门，共有多少种不同的选法？选法？5、现有、现有3张参观券，要在张参观券，要在5人中选出人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？人去参观，共有多少种不同的选法？