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1、本章的内容总结及知识结构图参考参考课堂精炼课堂精炼P22 “知识梳理知识梳理”图形图形性质性质判定判定等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形BACDABC两腰相等两腰相等等边对等角等边对等角三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形两边相等两边相等等角对等边等角对等边三边相等三边相等三角相等三角相等三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形三边相等三边相等三角相等三角相等有一个角是有一个角是6060的等腰的等腰三角形三角形等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等. .等腰三角形的其他性质：等腰三角形的其他性质：等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等. .等腰三角形两腰上的高
2、相等等腰三角形两腰上的高相等. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, ,(1)(1)如果如果ABD=ABC/2,ACE=ACB/2,ABD=ABC/2,ACE=ACB/2,那么那么BD=CEBD=CE吗吗? ? 如果如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢呢? ? 由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ?(2)(2)如果如果AD=AC/2,AE=AB/2,AD=AC/2,AE=AB/2,那么那么BD=CEBD=CE吗吗? ?如果如果AD=AC/3,AE=AB/3AD=AC/3,AE=AB/3呢呢? ? 由此你能得到一个什么
3、由此你能得到一个什么结论结论? ?(3)(3)你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？ACBDE等腰三角形的判定等腰三角形的判定（1 1）定义：）定义：（2 2）定理：）定理：有两个角相等的三角形是等腰三有两个角相等的三角形是等腰三角形（角形（等角对等边等角对等边）. .ACB在在ABCABC中中B BC C（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）. .w小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.w小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结
4、果，出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立从而证明便是的结论一定成立. .这种证明方法称为这种证明方法称为反证反证法法(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)w定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是的等腰三角形是等边三角形等边三角形. .在在ABCABC中中, ,AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0( (已知已知).).ABCABC是等边三角形是等边三角形( (有一个有一个角是角是600的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形角形).).ACB600定理定理: :三个角都相
5、等的三角形三个角都相等的三角形是等边三角形是等边三角形. .在在ABC,A=B=C.ABC,A=B=C. ABCABC是等边三角形是等边三角形. .ACB等边三角形的性质及判定：等边三角形的性质及判定：直角三角形复习直角三角形复习一、直角三角形的性质：一、直角三角形的性质：知识点回顾知识点回顾直角三角形：有一个角是直角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形1.直角三角形有一个角是直角；直角三角形有一个角是直角；2.直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两个锐角互余；5.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理勾股定理)3.直角三角
6、形中直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；角所对直角边是斜边的一半；熟记以下几组勾股数熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、174.逆命题逆命题:在直角三角形中在直角三角形中, 如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30；二、直角三角形的判定：二、直角三角形的判定：1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形有两个角是互余的三角形是直角三角形3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，若三角形中，较
7、小两边的平方和等于较大边的平方， 则这个三角形是直角三角形则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）（勾股定理的逆定理）二、直角三角形的判定：二、直角三角形的判定： 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:l定理定理: :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w 公理公理: :三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（SSSSSS）. .w 公理公理: :两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SASSAS）w 公理公理: :两角及其夹边对应相
8、等的两个三角形全等（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASAASA）w 推论推论: :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（等（AASAAS）. . 综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w 两边对应相等的两个直角三角形全等两边对应相等的两个直角三角形全等;w 切记切记!命题命题: :两边及其中一边的对角对应相等的两个三两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等角形不一定全等. .w即即(SSA)(
9、SSA)是一个假冒产品是一个假冒产品!二、拓展提高二、拓展提高1.1.已知一个等腰三角形腰上的已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为高与另一腰的夹角为45，顶，顶角的度数为角的度数为 . .2.2.等腰三角形中一腰上的中线把等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为三角形的周长分为21cm和和12cm两部分，则腰长为（两部分，则腰长为（ ）. .A.8cm B.14cm或或15cm C. 8cm或或14cm D.14cm45或或135DDCABABCDBACDxx2x已知，如图在等腰已知，如图在等腰ABC中，中，AB=AC，O是是底边底边BC的中点，的中点，ODAB于于D, , OEAC于
10、于E. .（1 1）OD与与OE有什么数量关系；有什么数量关系；ADCBEO三、合作探究三、合作探究M（2 2）若）若BM是一腰上的高，是一腰上的高， BM与与OD，OE有什么数量关系，有什么数量关系， 请说明理由请说明理由. .例例1 1. .已知：如图，已知：如图， A=90A=90，B=15B=15，BD=DC.BD=DC.请说明请说明AC= BDAC= BD的理由的理由. .ABCD21A AE EB BC CD D A B C D7cm2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为都是直角三角形，其中最大
11、的正方形的边长为7cm,则则正方形正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。49线段垂直平行线的定理线段垂直平行线的定理 线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的任意一点任意一点到这条线段两到这条线段两个端点的个端点的距离相等距离相等. .MNAB, CA=CB(已知已知)PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）到这条线段两个端点的距离相等）12CBAMNP线段垂直平行线的逆定理线段垂直平行线的逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. . AB=AC
12、(已知已知)点点A在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 角的平分线的性质定理：角的平分线的性质定理：ABO12PEDCOP平分平分AOBPDOA,PEOB,PD=PE （在角的平分线上的点到（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）这个角两边的距离相等） ABO12PED C在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线
13、上的点，在这个角的平分线上. .角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：OP平分平分AOBPDOA,PEOB,PD=PE. （在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）距离相等的点，在这个角的平分线上）. 例题例题1 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1）钝角三角形有两个内角是锐角）钝角三角形有两个内角是锐角.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如何写出一个命题的逆命题？如何写出一个命题的逆命题？解：（解：（1）如
14、果一个三角形的两个内角是锐角，）如果一个三角形的两个内角是锐角， 那么这个三角形是钝角三角形那么这个三角形是钝角三角形. 这个逆命题是这个逆命题是假命题假命题. （2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形的一半，那么这个三角形是直角三角形. 这个逆命题是这个逆命题是真命题真命题. 如何证明一个命如何证明一个命题是假命题？题是假命题？如何证明一个命如何证明一个命题是真命题？题是真命题？举反例举反例1.画图；画图；2.写已知，求证；写已知，求证；3.证证明明探索研究探索研究:1.如图如图:107国道国道OA和和3
15、20国道国道OB在某市在某市相交于点相交于点O,在在AOB的内部有工厂的内部有工厂C和和D,现要修建一个货站现要修建一个货站P,使使P到到OA、OB的距的距离相等且离相等且PC=PD,用尺规作出货站用尺规作出货站P的位的位置置(不写作法不写作法,保留作图痕迹保留作图痕迹,写出结论写出结论)BO107国道国道A320国道国道CD1、已知：如图、已知：如图CB与与AD相交于点相交于点O，AB/CD，OA=OB，求证：三角形求证：三角形DOC是等腰三角形是等腰三角形COABD拓展提升拓展提升2、等腰三角形有一个内角是、等腰三角形有一个内角是40度，则它其余的度，则它其余的两个角的度数是两个角的度数是
16、_3、等腰三角形有一个内角是、等腰三角形有一个内角是100度，则它其余的度，则它其余的两个角的度数是两个角的度数是_4、等腰三角形有一边是、等腰三角形有一边是4厘米，另一边长是厘米，另一边长是9，则它的周长是则它的周长是_5、已知已知: :等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, ,腰长为腰长为2a.2a.则它的腰上的高是则它的腰上的高是_6、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的底角是则它的底角是_7、在、在ABC与与DCB 中，已知中，已知AB=CD，要使，要使ABO DCO，请你补充条件，请你补充条件_AODCB8、在、在ABC中
17、，中，O是是ABC内的一点，且内的一点，且OB=OC，1=2，3=4，证明：证明：AOBCAOCDB9、在、在ABC中，已知中，已知ABC与与ACB的平分的平分线相交于点线相交于点F，过点，过点F作作DE/BC，交，交AB于点于点D，交交AC于点于点E，若，若BD+CE=9，则线段，则线段DE的长为的长为多少？多少？AEDFCB1、请将下面证明中的每一步理由填在、请将下面证明中的每一步理由填在括号内：括号内： 已知：如图，已知：如图，D，E，F分别是分别是BC，CA，AB上的点，上的点，DEBA，DFCA证明：证明：DEBA （已知）（已知）FDE=BFD（ 两直线平两直线平 行，内错角相等）
18、行，内错角相等）DFCA（ 已知），已知），BFD=A （两直线平行，（两直线平行，同位角相等）同位角相等）FDE=A（等量代换）（等量代换） 2.已知：如图，已知：如图，AD/CB,AD=CB. 求证求证:ABC CDA.证明：证明：ADBC（已知）（已知） 2=3（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）在在ABC和和CDA中，中， CB=AD（已知）（已知） 3=2（已证）（已证） AC=CA（公共边相等）（公共边相等） ABC CDA（边角边）（边角边） 3.已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,点点D,E分别在分别在AC、AB上上,且且ABD=ACE，BD与与CE
19、相交于点相交于点O。求证求证：（1）OB=OC;(2)BE=CD证明证明（1）AB=AC（已知）（已知） ABC=ACB（等边对等角）（等边对等角） ABD = ACE（已知）（已知） ABC- ABD =ACB- ACE（等式性质）（等式性质） 即即DBC= ECB OB=OC（等角对等边）（等角对等边）3.已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,点点D,E分别在分别在AC、AB上上,且且ABD=ACE，BD与与CE相交于点相交于点O。求证求证：（1）OB=OC;(2)BE=CD（2） AB=AC（已知）（已知） ABC=ACB（等边对等角）（等边对等角）在在EBC和和DCB中：中： ABC=ACB（已证）（已证） BC=CB（公共边相等）（公共边相等） DBC= ECB（1中已证）中已证） EBC DCB（角边角）（角边角） BE=CD（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）4、已知：如图，、已知：如图，BD，CE是是ABC的高，且的高，且BDCE.求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形.证明：当以证明：当以AB为底边，为底边，CE为高时，为高时，SABC为：为：ABCE1/2当以当以AC为底边，为底边，BD为高时，为高时，SABC为：为：ACBD1/2ABCE1/2=ACBD1/2BD=CEAB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形