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1、中考总复习三：中考总复习三：几何初步几何初步初三数学（一）直线的定义代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线， . . 如下图（二）直线的两种表示方法（1）用表示直线上的任意两 点的大写字母来表示AB（2）用一个小写字母表示a（三）直线的性质过两点 一条直线，即两点 一条直线直线有且只有有且只有确定确定向两方无限延伸向两方无限延伸直线可以直线可以（四）直线和点的两种位置关系（1）点在直线上A（2）点在直线外B（五）同一平面内两条直线的位置关系（1）相交，即两条直线只有一个公共点（2）平行，即两条直线没有公共点射线、线段（一）（一）射线的定义：直线上 叫做射线.射线只向 无限延伸.（二）（
2、二）射线的表示方法：（1）用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；OA（2）用一个小写字母表示射线，如射线a.a一点和它一旁的部分一方（三）（三）线段的定义：直线上 叫做线段，两个点叫做线段的 .（四）线段的表示方法：（1）用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母（2）用一个小写字母表示，如线段a.ABa两点和它们之间的部分端点（五）（五）线段的性质：所有连接两点的线中，线段 (即两点之间，线段 ).（六）（六）线段的中点:线段上一点把线段分成 的两条线段，这个点叫做线段的中点.（七）（七）两点的距离：连接两点
3、间的 ，叫做两点的距离.最短最短相等线段的长度角（一）（一）角的概念：（1）定义一：有公共端点的两条 组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的 ，两条射线分别叫做角的 .O（2）定义二：一条射线绕着 从一个位置 到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.AB射线顶点边端点旋转（二）（二）角的表示方法：（1）用三个大写字母来表示，注意将 顶点字母写在中间，如AOB； AOB（2）用一个大写字母来表示，注意 顶点处只有一个角用此法，如AA.（3）用一个数字或希腊字母 来表示，如1，1（1）按大小分类： 角：小
4、于直角的角(0 90) 角：平角的一半或90的角( =90) 角：大于直角而小于平角的角(90 180)（三）（三）角的分类：（2）平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置 成 时，所成的角叫做平角，平角等于 . （3）周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置 时，所成的角叫做周角，周角等于 . 锐直钝一条直线180360（4）互为余角：如果两个角的和是一个 ，那么 这两个角叫做互为余角.（5）互为补角：如果两个角的和是一个 ， 那么这两个角叫做互为补角.1212直角平角（四）（四）角的度量：（1）度量单位：度、分、秒；（2）角度单位间的换算：1= ，1= ；（3）1平角=
5、 ，1周角= ，1直角= .（五）（五）角的性质：同角或等角的余角 ，同角或等角的补角 . （六）（六）角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个 的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.606018036090相等相等相等相交线（一）对顶角（一）对顶角（1）定义：如果两个角有一个 ， 而且一个角的两边分别是另一角两边的 ，那么这两个角叫对顶角.12（2）性质：对顶角 .（二）邻补角（二）邻补角（1）定义：有一条 ，而且另一边 的两个角叫做邻补角.（2）性质：邻补角 .公共顶点反向延长线相等公共边互为反向延长线互补（三）垂线（三）垂线（1）两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一
6、 个角是 时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点 叫做 .垂直用符号“”来表示（2）垂线的定义:互相 的两条直线中，其中的一条叫做 另一条的垂线，如直线a垂直于直线b，垂足为O， 则记为ab，垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.（3）垂线的性质：过一点 一条直线与已知直线垂直.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短.简单说成： 最短.（4）点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离.直角垂足垂直有且只有垂线段垂线段垂线段的长度（四）同位角、内错角、同旁内角（四）同位角、内错角、同旁内角（1）基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八
7、个角，简称三线八角，如右图所示：1和 、2和 、3和 、4和 是同位角；1和 、2和 是内错角；1和 、2和 是同旁内角.（2）特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交 构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上， 另一条边分别在两条直线(被截线)上.87656556平行线（一）（一）平行线定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线.平行用符号“”来表示，.如直线a与b平行，记作ab.在几何证明中，“”的左、右两边也可能是射线或线段.（二）（二）平行公理及推论：（1）经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线 ，那么这两条直线也互相
8、.即：如果ba，ca，那么bc.永不相交有且只有平行（三）（三）性质：（1）平行线永远不相交；（2）两直线平行，同位角 ；（3）两直线平行，内错角 ；（4）两直线平行，同旁内角 ；（5）如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若bc，ba，则ca.acb相等相等互补（四）（四）判定方法：（1）定义（2）平行公理的的推论（3）同位角 ，两直线平行；（4）内错角 ，两直线平行；（5）同旁内角 ，两直线平行；（6） 于同一条直线的两条直线平行.相等相等互补平行命题、定理、证明（一）（一）命题：（1）定义：判断一件事情的语句叫命题.（2）命题的结构：题设+结论=
9、命题（3）命题的表达形式：如果那么；若则；（4）命题的分类：真命题和假命题（5）逆命题：原命题的题设是逆命题的结论， 原命题的结论是逆命题的题设.（二）（二）公理、定理：（1）公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断 其他命题真假依据的真命题叫做公理.（2）定理：经过推理证实的真命题叫做定理.（三）（三）证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明. 1（1）（2010江苏宿迁）江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有_个点. （2）下列语句正确的是( )A. 延长直线AB B. 延长射线OAC. 延长线段AB 到C，使A
10、C=BCD. 延长线段AB 到C，使AC=3AB举一反三举一反三【变式1】下列语句正确的是( )A如果PA=PB，那么P是线段AB的中点 B线段有一个端点C直线AB大于射线AB D反向延长射线OP(O为端点)答案：答案：16073考点：考点：直线、射线、线段的性质.解析：解析：选项A中直线是向两方无限延伸的，不能延长，所以A错；选项B中射线是向一方无限延伸的，而延长射线OA就是指由O向A延长，射线只能反向延长，所以B错；选项C中AC只能大于BC，线段延长应有方向，而且要符合实际意义，所以C错.所以选D.解析：解析：在只用几何语言表达而没有图形的情况下，要注意图形的不同情形，象A中往往容易考虑不
11、到P、A、B三点可能不在同一直线上，要注意线段的中点首先应为线段上一点，而误选A；线段有两个端点，所以B错；直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，所以直线与射线都无法度量长度，不能比较大小，所以C错.答案选D. 2(1)数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( ) A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b (2)已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为( )A.3：4 B.2：3 C.3：5 D.1：2举一反三举一反三【变式1】如图，点A、B、C在直线 上，则图中共有_条线段. 考点：考点：数轴上两点间的距离和线段的加
12、减.思路点拨：思路点拨：本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.解：解：(1)中数轴上两点间的距离公式为：a-b或b-a.(2)如图，因为CA=3AB，所以CB=4AB，则线段CA与线段CB之比为3AB:4AB=3:4. 答案：答案：(1)C；(2)A总结升华：总结升华：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.答案：答案：3【变式2】有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？ 【变式3】已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D
13、是AB中点，则线段CD=_.解：解：线段有10条；车票需要210=20种.总结升华：总结升华：在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.思路点拨：思路点拨：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念. 解：解：如图，AB=8cm AC=2AB AC=28=16cmD是AB中点 AD=8 =4cm CD=AC-AD=16-4=12cm 3下列说法正确的是( ) A角的两边可以度量.B角是由有公共端点的两条射线构成的图形.C平角的两边可以看成直线.D一条直线可以看成是一个平
14、角. 4已知OC平分AOB，则下列各式:(1)AOC= AOB；(2)AOC=COB；(3)AOB=2AOC，其中正确的是( ) A.只有(1) B.只有(1)(2) C.只有(2)(3) D.(1)(2)(3)考点：考点：角的定义解析：解析：角的两边是射线，不能度量，所以A错；平角的两边也是射线，不能是直线，所以C错；了解直线和平角两者之间的区别，角有顶点，所以D错.故选B.思路点拨：思路点拨：角平分线定义的的三种表达形式.答案：答案：D 5（1）（2010山东德州）山东德州）如图，直线ABCD，A70，C40，则E等于（ ） （A）30（B）40 （C）60（D）70（2）已知 与 互余，
15、且 =40，则 的补角为_度.考点：考点：平行线的性质、三角形外角定理.答案：答案：A考点：考点：角互余和互补定义.思路点拨：思路点拨：本题考查互余、互补两角的定义，互余、互补只与两角度数和有关，与角的位置无关.解：解： 与 互余， + =90； =40， =90- =90-40=50. 的补角=180-50=130.举一反三举一反三【变式1】如图，已知COE=BOD=AOC=90，则图中互余的角有_对，互补的角有_对. 考点：考点：互为余角和互为补角的定义.思路点拨：思路点拨：在本题目中，当图中角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等
16、的性质解决问题，注意要不重不漏.解：解：互余的角有：COD和DOE、COD和BOC、AOB和DOE、AOB和BOC，共4对；互补的角有：EOD和AOD、BOC和AOD、AOB和BOE、COD和BOE、AOC和COE、AOC和BOD、COE和BOD，共7对.【变式2】已知：如图，ACBC，垂足为C，BCD是B的余角.求证：ACD=B. 证明：ACBC(已知)ACB=90( )BCD是DCA的余角( )BCD是B的余角(已知)ACD=B( )思路点拨：思路点拨：会根据所给的语句写出正确的根据.会用所学的定理、公理、推论等真命题概括几何语言.答案：答案：垂直定义；余角定义，同角的余角相等. 6(1)
17、已知1=4327，则1的余角是_，补角是_； (2)18.32=18( )( )，21642=_.考点：考点：掌握角的单位之间的换算关系. 1=60，1=60.举一反三举一反三【变式1】计算. 考点：考点：掌握角的单位之间的换算关系. 1=60，1=60.解：解：(1) 1的余角=90-4327=8960-4327=4633；1的补角=180-4327=17960-4327=13633；(2) 0.32=0.3260=19.2 0.2=0.260=12 所以 18.32=181912；42=0.7 所以21642=216.7.考点：考点：会计算角之间的和、差、倍、分，注意相邻单位之间是60进制
18、的，相同单位互相加减.解：解： =6870=6910 =623+253=186+75=18715 =6780-3733=3047 =69603=2320 7（1）（2010内蒙呼和浩特）内蒙呼和浩特）8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为_ （2）时钟在1点30分时，时针与分针的夹角为_度.举一反三举一反三【变式1】某火车站的时钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯？答案：答案：75解析：解析：时钟上时针和分针是实际生活中常见的角，分针1小时旋转360度，1分钟旋转6度；时针1小时旋转30度，1分
19、钟旋转0.5度.在相同时间下，分针旋转的角度是时针的12倍.钟表上1和6的夹角为150，过了半小时，时针转了15，所以1点30分时，时针与分针的夹角为150-15=135.解析：解析：9时35分20秒时，时针与分针的夹角间的小格数为 个小格，中间有12个分钟刻度处，而每一个分钟刻度处有一只小彩灯，所以它们之间有12个小彩灯. 8表示O点南偏东15方向和北偏东25方向的两条射线组成的角等于_度. 考点：考点：方位角. 举一反三举一反三【变式1】如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48，甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西_度.
20、 解析：解析：如图，南北方向上的线与OA、OB的夹角分别为25和15，所以AOB=180-25-15=140考点：考点：方位角在实际中的应用思路点拨：思路点拨：结合图形，在求方位角时，掌握甲和乙之间方向相反的规律，甲观察乙是北偏东48，乙观察甲就是南偏西48.答案：答案：48. 9如图，OAOB，BOC=40，OD平分AOC，则BOD=_. 举一反三举一反三【变式1】用一副三角板画角，不能画出的角的度数是( )A.15 B.75 C.145 D.165思路点拨：思路点拨：通过观察图形，找出各角之间的联系，关键是看清角所在的位置，结合图形进行计算.解：解：OAOB， AOB=90，BOC=40，
21、AOC=AOB+BOC=90+40=130，OD平分平分AOC， COD= AOC= 130=65，BOD=COD-BOC=65-40=25.思路点拨：思路点拨：了解一副三角板中各角的度数，总结规律：用一副三角板画角，能画出的角都是15的整数倍.答案：答案：C【变式2】以AOB的顶点O为端点作射线OC，使AOC:BOC=5:4.(1)若AOB=18，求AOC与BOC的度数；(2)若AOB=m，求AOC与BOC的度数.思路点拨：思路点拨：当题目中包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况进行分类 ，要做到无遗漏、无重复.答案：答案：(1)第一种情形:OC在AOB的外部，可设AOC=5x，BO
22、C=4x，则AOB=AOC-BOC=x， 即x=18.AOC=90，BOC=72.第二种情形:OC在AOB的内部，可设AOC=5x，BOC=4x，则AOB=AOC+BOC=9x，9x=18，即x=2.AOC=10，BOC=8. (2)AOC=5m，BOC=4m.或AOC= m，BOC= m 10只用无刻度直尺就能作出的是( ) A.延长线段AB至C，使BC=AB； B.过直线 上一点A作 的垂线C.作已知角的平分线； D.从点O再经过点P作射线OP 11已知线段MN，画一条线段AC=MN 的步骤是: 第一步:_，第二步:_，AC就是所要画的线段. 举一反三：举一反三：【变式1】如图所示，请把线
23、段AB四等分，简述步骤. 解析：解析：A中直尺应有刻度或利用尺规作图，B、C是尺规作图，但还需要圆规.应选D.考点：考点：这是尺规作图作一条线段等于已知线段的步骤，必须掌握.答案答案: 第一步:作射线AP；第二步:在射线AP上，以A为圆心，以MN为长为半径截取AC=MN.考点考点：作线段AB的垂直平分线的方法.作法：作法：步骤:(1)作AB的垂直平分线MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分线EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分线GH交AB于O3，则O1、O2、O3即为线段AB的四等分点. 12如图所示，在图中作出点C，使得C是MON平分线上的点，且AC=OA， 并简述步骤. 思路点
24、拨：思路点拨：用尺规作图作已知角的平分线，再用圆规截取AC=OA.作法作法: 作法如下:(1)作MON的平分线OB；(2)以A点为圆心，以OA为半径画弧交OB于C，连结AC，则C点即为所求. 总结升华：总结升华：用尺规作图中直尺只起到画线(直线、射线、线段)的作用.而不能用来量取.举一反三：举一反三：【变式1】如图所示，已知AOB和两点M、N，画一点P，使得点P到AOB的两边距离相等，且PM=PN，简述步骤. 考点考点：角平分线定理和垂直平分线定理.作法作法:(1)作AOB的平分线OC；(2)连结MN，并作MN的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求. 13（1）（2010
25、湖北襄樊）湖北襄樊）如图1，已知直线AB/CD，BE平分ABC，交CD于D，CDE=150，则C的度数为（ ） A150 B130 C120 D100 图1（2）如图，ADBC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_对. 答案：答案：C思路点拨：思路点拨：两直线平行，内错角相等；两直线相交，所得的对顶角相等.解析解析：ADBC OAD=OCB，ODA=OBC，不要忽略对顶角相等：AOB=COD，AOD=BOC，故应填4对. 14（1）如图所示，下列条件中，不能判断 的是( ) A.1=3 B.2=3 C.4=5 D.2+4=180 （2）（2010福建宁德）福建宁德）如图，把一块直角三角板的直
26、角顶点放在直尺的一边上，如果1=35，那么2是_ 考点：考点：平行线的判定.解析：解析：根据平行线的判定，A中1和3是内错角；C中4和5是同位角；D中2和4是同旁内角.不难得到：2=3不能判断 .应选B.考点：考点：平行线的性质.答案：答案：55举一反三：举一反三：【变式1】(1)如图，若ABCD，则A、E、D之间的关系是( ). A.A+E+D=180 B.A-E+D=180C.A+E-D=180 D.A+E+D=270(2)如图所示， ，1=120，2=100，则3=( ). A.20 B.40 C.50 D.60考点：考点：平行线的性质思路点拨：思路点拨：通过观察图形，可作出一条辅助线，
27、从而把问题化难为易. (1) (2)解析：解析：(1)如(1)图，过E作EFAB，则也平行于CD，A+AEF=180 FED=D A+AEF=A+AED-D=180，故选，故选C.(2)如如(2)图，过图，过O作作 ，则，则OB也平行于也平行于 ，1+BOC=180， 3=AOB，BOC=180-1=180-120=60， 3=AOB=2-BOC =100-60=40. 15（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( ) A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.相交 （2）(2010重庆市重庆市)如图，点B是ADC的边AD的延长线上一点，DEBC，若 C50，BDE60，则CDB
28、的度数等于（ ） A70 B100 C110 D120 答案：答案：选B.考点：考点：平行线的性质和判定.思路点拨：思路点拨：利用平行线的性质和判定，结合角平分线的定义解决问题.如图，ab，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即1=2，所以同位角的平分线互相平行.思路点拨：思路点拨：由DEBC，得CDEC50，所以CDB=CDE+BDE=110 答案答案：C举一反三：举一反三：【变式1】如图，CD平分ACB，DEBC，AED=80，求EDC的度数. 思路点拨思路点拨：由平行线的性质和角平分线定义求出结果.解解：DEBC， AED=80ACB=AED=80 EDC=DCBCD平分ACBDCB
29、= ACB =40EDC=DCB.【变式2】如图，已知ABCD ，DAB=DCB，AE平分DAB，且交BC于E，CF平分DCB，且交AD于F.求证: AEFC. 思路点拨思路点拨：这类问题可由题设出发找结论，也可由结论出发找题设.证明：证明：ABCD ABC+BCD=180DAB=BCD ABC+DAB=180ADBC DAE=BEAAE平分DAB，CF平分DCBDAE= DAB，FCB= BCDDAE=FCB BEA =FCBAEFC.【变式3】已知：如图，CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，并且1+2=90，求证：DAAB. 思路点拨思路点拨：这考查学生整体考虑问题的能力，可以从已知
30、推出结论，也可以从结论入手，找出和已知相对应的条件.证明：证明：CE平分BCD，DE平分CDA1= ADC，2= BCD1+2=90ADC+BCD=180 ADBC A+B=180CBAB B=90 A=180-B=180-90=90 DAAB.【变式4】求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.思路点拨思路点拨:考查学生解决这种证明题要先根据题意画出图形，再改写成已知、求证的几何语言形式的命题.已知：如图，ABCD，EG、FR分别是BEF、EFC的平分线.求证：EGFR. 证明：证明：ABCD(已知)BEF=EFC(两直线平行，内错角相等)EG、FR分别是BEF、EFC的平
31、分线(已知)21=BEF，22=EFC(角平分线定义)21=22(等量代换)1=2(等式性质)EGFR(内错角相等，两直线平行) 16（1）（2010浙江温州）浙江温州）下列命题中，属于假命题的是( ) A三角形三个内角的和等于l80B两直线平行，同位角相等C矩形的对角线相等 D相等的角是对顶角（2）判断下列语句是不是命题延长线段AB( )两条直线相交，只有一交点( )画线段AB的中点( )若|x|=2，则x=2( )角平分线是一条射线( )举一反三：举一反三：【变式1】下列语句不是命题的是( )A.两点之间，线段最短 B.不平行的两条直线有一个交点C.x与y的和等于0吗？D.对顶角不相等.答
32、案答案：D思路点拨思路点拨：本题考查学生理解命题的概念，判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.解析：解析：两个语句都没有作出判断.答案：答案：不是 是 不是 是 是.解析解析:理解命题概念，C答案虽然是句子，但没有作出判断，D答案是假命题 但也是命题.故选C. 17下列命题中真命题是( ) A.两个锐角之和为钝角 B.两个锐角之和为锐角C.钝角大于它的补角 D.锐角小于它的余角举一反三：举一反三：【变式1】命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位角相等.其中假命题有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨思路点
33、拨：命题分为真命题、假命题.正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.解析：解析：A、B中两个锐角之和可能是锐角、直角和钝角；D中的锐角不一定小于它的余角，如50 的余角是40.应选C解析：解析：中，应掌握相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等；中只有两平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等.故是假命题.应选B. 18分别写出下列各命题的题设和结论. (1)如果ab，bc，那么ac；(2)同旁内角互补，两直线平行.举一反三：举一反三：【变式1】分别把下列命题写成“如果，那么”的形式.(1)两点确定一条直线； (2)等角的补角相等； (3)内错角相等.思路点拨思路点拨：命题分为题设和结论两部分，可以写成“如果，那么” 的形式.答案：答案：(1)题设：ab，bc，结论：ac；(2)题设：两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补， 结论：这两条直线平行.答案：答案：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等.(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.