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1、2013年年4月月课例分析：课例分析：勾股定理的应用勾股定理的应用-运用方程思想解决问题运用方程思想解决问题XX大学附属实验中学大学附属实验中学 XXX一教学背景分析一教学背景分析 本节课是勾股定理的应用的第三节本节课是勾股定理的应用的第三节课，也是第课，也是第18.1节的最后一节课，在此节的最后一节课，在此之前，学生已学习了勾股定理的内容和之前，学生已学习了勾股定理的内容和证明方法，以及勾股定理的简单应用，证明方法，以及勾股定理的简单应用，本节课进一步运用方程思想解决有关勾本节课进一步运用方程思想解决有关勾股定理的问题股定理的问题. 一教学背景分析一教学背景分析 勾股定理是几何中最重要的定理
2、之一，勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质它也是直角三角形的一条重要性质.同时由勾同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法中数学中一种基本的数学思想方法.方程可以方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁起沟通已知量和未知量的桥梁.本节课为后续本节课为后续进一步学习运用方程思
3、想解决问题起着铺垫进一步学习运用方程思想解决问题起着铺垫作用作用. 知识技能：知识技能： 1.掌握勾股定理的内容，进一步利用勾掌握勾股定理的内容，进一步利用勾股定理解决问题；股定理解决问题；2.经历对几何图形的观察、分析，初步经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用掌握利用“割割”、“补补”图形构造直角图形构造直角三角形的方法；三角形的方法；3.会运用方程的思想解决与勾股定理有会运用方程的思想解决与勾股定理有关的问题关的问题.二教学目标二教学目标 数学思考数学思考:1.通过用代数式、方程等表述数量关系的通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；过程，体会模型的思想，
4、建立符号意识；2.在观察、实验、猜想、证明等数学活动在观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展演绎推理能力，清晰地表述自己中，发展演绎推理能力，清晰地表述自己的想法；的想法；3.学会独立思考，体会方程思想、数形结学会独立思考，体会方程思想、数形结合思想、转化思想、建模思想合思想、转化思想、建模思想.二教学目标二教学目标 问题解决：问题解决：1.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；实践能力
5、；2.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法；握分析问题和解决问题的一些基本方法；3.在与他人合作和交流过程中，能较好地理解在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论他人的思考方法和结论.二教学目标二教学目标 情感态度：情感态度： 1.在数学学习过程中，体验获得成功的乐在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；2.敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于敢于发表自己的想法
6、、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋，独立思考，合作交创新，养成认真勤奋，独立思考，合作交流，反思质疑等学习习惯，形成严谨求实流，反思质疑等学习习惯，形成严谨求实的科学态度的科学态度.二教学目标二教学目标 运用方程思想解决与勾股定理有关的问题运用方程思想解决与勾股定理有关的问题. 当几何图形中没有直角三角形时，当几何图形中没有直角三角形时，通过通过“割割”、“补补”图形构造直角三角图形构造直角三角形，利用勾股定理解决问题形，利用勾股定理解决问题.教学重点教学重点:教学难点教学难点:两条主线两条主线 ：1.运用方程思想解决有关勾股定理的问题运用方程思想解决有关勾股定理的问题. 三教学过程设计三教学
7、过程设计2.如何寻找或构造直角三角形如何寻找或构造直角三角形.一个一个Rt多个多个Rt无无Rt，无，无Rt无无Rt，有，有Rt无无Rt的综合应用的综合应用每道题目的五个环节每道题目的五个环节提出问题提出问题举出实例举出实例分析实例分析实例解决实例解决实例回答问题回答问题（一）复习（一）复习提问学生回答勾股定理内容，其他同学补充提问学生回答勾股定理内容，其他同学补充.教师强调：教师强调：勾股定理前提条件和结论勾股定理前提条件和结论.（二）例题（二）例题【问题问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？例例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正
8、方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 例例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 设计意图：设计意图： 1.能利用勾股定理解决简单的实际问题；能利用勾股定理解决简单的实际问题；2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；会模型的思想，建立符号意识；3.初步学会在具体的情
9、境中从数学的角度发现问题和初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；实际问题，增强应用意识，提高实践能力；4.本题是我国古代数学著作本题是我国古代数学著作九章算术九章算术中的问题，中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果.222x+x +5 =x+x=12+ =13解：设水深为x尺，则芦苇长为（1）尺，由勾股定理，得 （1）芦苇长：12 1 13答：水深12尺，芦苇长为尺.X+1X5CBDA 解决与勾股定理有关的实
10、际问题时，先要解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理求解定理求解.222x+x +5 =x+x=12+ =13解：设水深为x尺，则芦苇长为（1）尺，由勾股定理，得 （1）芦苇长：12 1 13答：水深12尺，芦苇长为尺.小结：小结：X+1X5CBDA 这是我国古代数学著作九章算术中的一个问题.原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺. 九章算术九章算术是中国
11、古代第一部数学专著，是算是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，九九章算术章算术在数学上还有其独到的成就，不仅最早提在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是法则。要注意的是九章算术九章算术没有作者，它是一没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最
12、先进的应用本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。系。例例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 注意：注意： 1.本题的突破口是找到直角三角形本题的突破口是找到直角三角形;2.题目中题目中“把这根芦苇拉向水池一边的中点把这根芦苇拉向水池一边的中点”从从图中看不出来，可以给学生画一个俯视图或者图中看不出来，可以给学生画一个俯视图或者立体图形立体图形;
13、3.介绍本题是我国古代数学著作介绍本题是我国古代数学著作九章算术九章算术中的中的一个问题一个问题.它是我国古人在勾股定理应用研究方面的它是我国古人在勾股定理应用研究方面的成果，要让学生充满民族自豪感成果，要让学生充满民族自豪感.【问题问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.?E?C?D?A?B?C例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在
14、同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.?E?C?D?A?B?C设计意图：设计意图：1.能从有多个直角三角形的较复杂的图形中找到可能从有多个直角三角形的较复杂的图形中找到可列勾股定理求解的直角三角形列勾股定理求解的直角三角形.即：能从复杂图形即：能从复杂图形中寻找出基本图形中寻找出基本图形;2.学会独立思考，体会方程思想、数形结合思想、学会独立思考，体会方程思想、数形结合思想、转化思想（在动、静的转化中找出不变量）转化思想（在动、静的转化中找出不变量）;3.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法
15、的多样性，掌握分析问的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法题和解决问题的一些基本方法.例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.方法一222/ /13231= 2t+-x=xx=55.ABCDADBCBCDBDBC DBCDBC DBEDEDE 解： 四边形为矩形沿折叠得到设DE为x，则BE=x，AE=8-x,在RABE中，由勾股定理得，4（8）答：长为方法二方法二4904=90904= 5ABCDCDABACBCDBDBC DBCDBC DC DCDCCAEBC EDACABC DA
16、EBC EDBEDE 解： 四边形为矩形，沿折叠得到，在和中222t+-x=xx=55.DE设DE为x，则BE=x，AE=8-x,在RABE中，由勾股定理得，4（8 ）答：长为例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.?E?C?D?A?B?C1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解数），在这个三角形中利用勾股定理求解. 2.解决折叠问题的关
17、键：在动、静的转化中找出不变量解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.小结： 例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.?E?C?D?A?B?C注意： 1.基本图形：基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形平行、角平分线、等腰三角形”知二推一知二推一 2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好在图中标出相等的线段和角在图中标出相等的线段和角.例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 【问题问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没
18、有如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？直角，怎么利用勾股定理求解？?A?B?C设计意图：设计意图： 经历对几何图形的观察、分析，初步掌握经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想殊与一般的转化思想;例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 2222222222214(16)63633 31116 3 324 32224 3.ABCADCDBCDBCDSAB CD解：作CDAB于D，设DB=x， 则AD=16-x，由勾股定理得， ACxx
19、x答： ABC的面积为方法一：DABC例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 方法二： 222222222214(16) =6=14(16)6 +=0=3解：作CDAB于D，设DB=x，CD=y，则AD=16-x，由勾股定理得，xy （1）xy（2）（1） （2），得xxx2222=36=27=3 3=3 312116 3 324 3224 3.ABCSAB CD把x代入（2）得，3yyy或y（舍去） 答： ABC的面积为DABC例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 小结小结： 1.题目中既没有直角三角形
20、，也没有直角，可题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直角三角形角三角形; 2. “斜化直斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解即：斜三角形化为直角三角形求解. DABC例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 注意： 1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程本题可选择列方程或方程组求解，当列方程组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要舍去负值；当列方程求解舍去负值；当列方程求解CD时，最好写时，最好写“ ”，可以省去后面的讨论，可以
21、省去后面的讨论;CD 2.本题也可以过本题也可以过A或或B作对边的高作对边的高. DABC1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一块四边形的土地，其中，求这块土地的面积.【问题问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？怎么利用勾股定理求解？?D?C?B?A设计意图：设计意图： 1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一块四边形的土地，其中，求这块土地的面积.【问题问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？?D?C?B?A1.经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用经历对几何图
22、形的观察、分析，初步掌握利用“补补”图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想化思想;2.题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生的计算能力的计算能力.1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一块四边形的土地，其中，求这块土地的面积.?D?C?B?A1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一块四边形的土地，其中，求这块土地的面积.小结：小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角，题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑可以考虑“补补”出直角三角形求解出直角三角形求解.实际
23、上，实际上，本题利用本题利用“割割”也有多种做法也有多种做法.?D?C?B?A 小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角，题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑可以考虑“补补”出直角三角形求解出直角三角形求解.实际上，实际上，本题利用本题利用“割割”也有多种做法也有多种做法.1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一块四边形的土地，其中，求这块土地的面积.注意： 1.本题的解法很多，但是解法上却有的简单，本题的解法很多，但是解法上却有的简单，有的复杂，要选择好方法有的复杂，要选择好方法; 2.注意不要跳步注意不要跳步.不能直接用结论：不能直接用结论：“含有含有30的直角三角形
24、的三边的比为：的直角三角形的三边的比为： ”;如：要求如：要求CE，需先求，需先求DE，再由勾股定理求，再由勾股定理求CE. 1 32： ：?D?C?B?A【问题5】如果将勾股定理中如果将勾股定理中“直角三角形直角三角形”改改为为“斜三角形斜三角形”， 的关系会是怎样呢？的关系会是怎样呢？222abc与思考题：思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则 ，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论. 222=abc222abc与思考题：在思考题：在ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若C=90，如图，
25、如图，根据勾股定理，则，根据勾股定理，则 ，若，若ABC不是直角三角形，如图不是直角三角形，如图和图和图，请你类比勾股定，请你类比勾股定理，试猜想理，试猜想 的关系，并证明你的结论的关系，并证明你的结论. 222=abc222abc与设计意图：设计意图： 1.从证明方法角度看，通过利用从证明方法角度看，通过利用“割割”、“补补”图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的结论，它是本节课所学知识的综合应用；的结论，它是本节课所学知识的综合应用； 2.从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字母，结论具有普遍性，
26、它也是本章第母，结论具有普遍性，它也是本章第18.1小节勾股小节勾股定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想.思考题：在思考题：在ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若C=90，如图，如图，根据勾股定理，则，根据勾股定理，则 ，若，若ABC不是直角三角形，如图不是直角三角形，如图和图和图，请你类比勾股定，请你类比勾股定理，试猜想理，试猜想 的关系，并证明你的结论的关系，并证明你的结论. 222=abc222abc与小结：小结： 若若ABC是锐角三角形，则有是锐角三角形，则有 ，若若ABC是钝角三角形，是钝角三角形，C为钝角，则有为钝角，则有 .2
27、22abc222abc. 思考题：在思考题：在ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若C=90，如图，如图，根据勾股定理，则，根据勾股定理，则 ，若，若ABC不是直角三角形，如图不是直角三角形，如图和图和图，请你类比勾股定，请你类比勾股定理，试猜想理，试猜想 的关系，并证明你的结论的关系，并证明你的结论. 222=abc222abc与. 注意：注意： 锐角三角形和钝角三角形都要过点锐角三角形和钝角三角形都要过点A或点或点B作作高，才能得出结论高，才能得出结论. （三）总结（三）总结1.本节课学习了哪些知识？本节课学习了哪些知识？2.本节课涉及了哪些思想方法？本节课涉及了哪些思想方法？
28、设计意图：设计意图： 从本节课所学的知识和思想方法两从本节课所学的知识和思想方法两方面总结方面总结. 1.本节课学习了哪些知识？本节课学习了哪些知识？（1）解决与勾股定理有关的实际问题）解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数角三角形，再设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理求解；量关系，最后根据勾股定理求解；（2）如果一道题目中有多个直角三角）如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用一个未知数表示出三形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），条边的直角三角形（边也可
29、为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解在这个三角形中利用勾股定理求解. “斜斜化直化直”即：斜三角形化为直角三角形求即：斜三角形化为直角三角形求解解.1.本节课学习了哪些知识？本节课学习了哪些知识？（3）解决折叠问题的关键：在动、静的转）解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量；化中找出不变量；（4）题目中既没有直角三角形，也没有直）题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直角三角形；构造直角三角形；（5）题目中没有直角三角形，但存在直角，题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑可以考虑“补补”出直角三角形求
30、解出直角三角形求解.实际上，实际上，或者利用分割图形的方法，构造直角三角形或者利用分割图形的方法，构造直角三角形.2.思想方法：思想方法：（1）方程思想）方程思想（2）数形结合思想）数形结合思想（3）转化思想）转化思想（4）建模思想）建模思想注意：注意： 在总结本节课学习了哪些知识时，教师在总结本节课学习了哪些知识时，教师可以引导学生总结，比如说，可以引导学生总结，比如说，“如果题如果题目中出现了目中出现了. .，那么我们就考虑，那么我们就考虑.”.（四）作业（四）作业?课本：课本：p81d7；学习、探究、诊断学习、探究、诊断：?p30d17,?p33d7、8,?p35d8、10,?p36d11、12、13、14.谢谢！谢谢！