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1、数列求和数列求和 裂项相消法裂项相消法2015全国全国I卷节选：卷节选：11121,nnnnnnanbba a若令求的前n项和T。 将数列的通项分解成两项或多项的差，使将数列的通项分解成两项或多项的差，使数列中的项出现有规律的抵消项，只剩下首数列中的项出现有规律的抵消项，只剩下首尾若干项。尾若干项。11,( ) ()( )()( )nkaAAf n f ncf nf ncf n一般有两种类型：其中 是常数，可以为一次，二次、指数、抽象、混类型一：合型函数裂项求和法裂项求和法:常见形式：111;(1)1n nnn11 11();()1n nkk nn1111()(21)(21)2 2121nnn
2、n1111(1)(2)2(1)(2)(1)n nnn nnn1(1)()()nnnaaab ab11()()nnnnaaab ab111()()nnabab类型二：通过有理化、对数的运算法则、公式的变形、阶乘和组合数等直接裂项常见形式：( )+ ()1,(1)1nnnkaf nf ncaannnn n进行分母有理化。若则 的前 项如：无理型：和为_11(1)()nknknkn11(2)logloglog(01)naanannaaa aaa且(3)!(1)!n nnn111(4)!(1)!nnnn11(5)mmmnnnCCCtantan(6)tantan1tan()tan1tan2tan2tan
3、3tantan(1)nn如：化简:例1：化简下列各式：2222111(1)1+.+121+2+31+2+3 .1231(2)+.2!3!4!1111(3)+.3122532246(2 )(4)+.1 35 35 7(21)(21)nnnnnnnn 22222*2 (2013(1)()0(1)1(2),;(2)5,64nnnnnnnnnnnanSSnnSnnaanbbnnanNT 例 、江西卷）已知正项数列的前 项和为满足：求数列的通项令数列的前 项和为T 证明：对都有注意：利用裂项相消法求和时(1)应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩多项，后面也剩多项，(2)再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 1124122333(1)23(2),2nnnnnnnnnnanSSaaTTTTS数列的前 项和为满足：求设求证：变式：若9333P练习：步步高例 及跟踪训练课堂小结：课堂小结：1、分解与组合思想在数列求和中的应用。2、裂项相消常用于方式和根式求和。可以用通项裂解，也可以利用首项裂解，甚至可以利用待定系数法去完成裂开通项