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1、学习必备欢迎下载第 16 课时一次函数知识讲解1正比例函数的定义一般地，形如y=kx（ k 是常数， k0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数2正比例函数的图像正比例函数y=kx （k 是常数且k0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（ 1，k）?的直线，我们称它为直线y=kx ；当 k0 时，直线y=kx 经过第一，三象限，y 随着 x 的增大而增大，当k0 时， y 随 x 的增大而增大，此时若b0，则直线y=kx+b 经过第一，二，三象限；若b0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k0 时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b0）?个单位得到一次函数 y=kx+b
2、 m；一次函数y=kx+b 沿着 x 轴向左（“”） 、?右（ “” ）平移 n（n0）学习必备欢迎下载个单位得到一次函数y=k （xn） +b；一次函数沿着y 轴平移与沿着x 轴平移往往是同步进行的只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b 与 x 轴交点为（bk，0） ，与y 轴交点为（ 0，b） ，且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S=12bkb例题解析例 1 （2006，江西省）已知直线L1经过点A（ 1，0）与点B（ 2，3） ，另一条直线 L2经过点 B，且与 x 轴相交于点P（m，0） （1）求直线L1的解析式；（2）若 APB 的面积为 3，求 m 的值【分析】函数
3、图像上的两点坐标也即是x，y 的两组对应值，?可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k，b 的值【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,23.kbkb解得1,1.kb所以，直线L1的解析式为y=x+1 （2）当点 P 在点 A 的右侧时， AP=m（ 1）=m+1，有 SAPC=12（ m+1）3=3解得 m=1，此时点 P 的坐标为（ 1，0） ；当点 P 在点 A 的左侧时， AP= 1m，有 S=（ m1） 3=3，解得 m=3，此时，点 P的坐标为（3，0） 综上所述， m 的值为 1 或 3【点评】 先设一次函数的解析式，再代
4、入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是： 设、代，求、答例 2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：学习必备欢迎下载（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间 x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在 AB 段，故求出15x33 时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，?即先求甲在BC 段的函数关系式，再求
5、出BC 和 OD 的交点坐标即可【解答】 （ 1） 当 15x33 时， 设 yAB=k1x+b1， 将 （15， 5） 与 （33， 7） 代入得：1111515733kbkb解得1119103kbyAB=19x+103当 y=6 时，有： 6=19x+103，解得 x=24比赛进行到24min 时，两人第一次相遇（ 2）设 yOD=kx ，将（ 24，6）代入得： 6=24k, k=14学习必备欢迎下载yOD=14x 当 x=48 时， yOD=1448=12 比赛全程为12km（3） 当 33x43 时，设 yBC=k2x+b2， 将 （33， 7） 和 （43， 12） 代入得：222
6、27331243kbkb解得2212192kbyBC=12x1921192214xyxy解得19238xy比赛进行到38min 时，两人第二次相遇【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题例 3（2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t，柚子 12t，现计划租甲，乙两种货车共10 辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子 1t，乙种货车可装西瓜，柚子各2t（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800
7、元，乙种货车每辆要付运输费1200 元， ?则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10 x）辆，依题意，得42(10)312(10)12xxxx学习必备欢迎下载解这个不等式组，得5.5x8x 是整数， x 可取 6，7， 8即安排甲，乙两种货车有三种方案：甲种货车6 辆，乙种货车4 辆甲种货车7 辆，乙种货车3 辆甲种货车8 辆，乙种货车2 辆（2）设运费为y 元，则 y=1800 x+1200 （10 x）=600 x+12000 当 x 取 6 时，运费最少，最少运费是：15600 元【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一
8、次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力强化训练一、填空题1 （2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5 的图像经过点P（a，b） ，Q（c， d） ， ?则 a （c d）b （ cd）的值为 _2 （2005，重庆市）直线y=43x+8 与 x 轴， y 轴分别交于点A 和点 B，M 是 OB 上的一点， ?若将 ABM 沿 AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B处，则直线AM 的解析式为 _3 （2006，白云区）关于x 的一次函数y=（a3）x+2a5 的图像与y 轴的交点不在x?轴的下方，且y 随 x 的增大而减小，则a 的取值范围是_4已知一次函数y
9、=kx+b （k0）的图像经过点（0，1） ，且 y 随 x 的增大而增大，?请你写出一个符合上述条件的函数关系式_5 （2005，黑龙江省） 一次函数y=kx+3 ?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则 k 的值为 _6 （2005，包头市）若一次函数y=ax+1a 中， y 随 x 的增大而增大，且它的图像与y 轴学习必备欢迎下载交于正半轴，则a1+2a=_7 （2005，四川省）如果记y=221xx=f （ x） ，并且 f（1）表示当x=1 时 y 的值，即f（1）=22111=12；f（12）表示当x=12时 y 的值，即f（12）=22( )112(1)2=15；如果f（ 1
10、）+f（ 2）+f（12）+f （3）+f（13）+f（n）+f（1n） =_（结果用含n 的代数式表示，n 为正整数）8如图所示，点M 是直线 y=2x+3 上的动点，过点M 作 MN垂直 x 轴于点 N，y 轴上是否存在点P，使以 M，N，P 为顶点的三角形为等腰直角三角形小明发现： 当动点 M 运动到（ 1，1）时， y 轴上存在点P（0，1） ，此时有MN=MP ，能使 NMP 为等腰直角三角形 在 y 轴和直线上还存在符合条件的点P 和点 M请你写出其他符合条件的点P 的坐标 _二、选择题9 （2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min 可匀速将一满桶水放干其中，水位h（cm）
11、随着放水时间t（ min）的变化而变化 h与 t 的函数的大致图像为（）10 （2005，杭州市）已知一次函数y=kx k，若 y 随 x 的增大而减小，则该函数的图像经过（）A第一，二，三象限B第一，二，四象限学习必备欢迎下载C第二，三，四象限D第一，三，四象限11 （2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h 后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）储运部库存物资S（t） ?与时间 t（h）之间的函数关系如图535 所示， ?这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A4h B4.4h C4.8h D5h 12 （2006，泉州）小明所在
12、学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min 后，因故停留10min，继续骑了5min 到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离 s（km）与所用时间t（ min）之间的关系（）13 （ 2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，?乙两学生测试的路程 s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC 和线段 OD，?下列说法正确的（）A乙比甲先到达终点B乙测试的速度随时间增加而增大C比赛进行到29.7s 时，两人出发后第一次相遇D比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14 （ 2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进
13、，?出的水量都是一定的已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min 可把空容器注满若同时打开进，出水管，20min 可把满容器的水放完现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）学习必备欢迎下载15 （ 2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b 所示，某天 0 点到 6 点（?至少打开一个水管） ，该蓄水池
14、的蓄水量如图c 所示，并给出以下3 个论断： 0 点到 1 点不进水，只出水； 1 点到 4 点不进水， 不出水；4 点到 6 点只进水， 不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c) ABCD16 （ 2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD 中， DCAB， A=90， AB=28cm ，DC=24cm ，AD=4cm ，点 M 从点 D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点 B同时出发， ?以 2cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动， 而四边形ADMN 的面积 y （cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像
15、大致是（）学习必备欢迎下载三、解答题17 （2008， 河北）如图所示， 直线 L1的解析表达式为y=3x+3 ， 且 L1与 x 轴交于点 D 直线 L2经过点 A，B，直线 L1， L2交于点 C（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 L2的解析表达式；（3）求 ADC 的面积；（4）在直线L2上存在异于点C 的另一点P，使得 ADP 与 ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标18 （2008，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发 设慢车行驶的时间为x（h） ，两车之间的距离为y（km） ，下图中的折线表示y?与 x 之间的函数关系根据图像进行以下探究：信息
16、读取 : （ 1）甲，乙两地之间的距离为_km; （2）请解释图中点B 的实际意义图像理解 : 学习必备欢迎下载（ 3）求慢车和快车的速度; （ 4）求线段BC 所表示的y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围问题解决 : （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同?在第一列快车与慢车相遇30min 后，第二列快车与慢车相遇，?求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时19 （ 2005，?黑龙江省） ?某企业有甲， ?乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以6m3/h的速度注入乙池，甲，乙两个蓄水池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间的函数图像如图所示，结合图像
17、回答下列问题：（ 1）分别求出甲，乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式；（ 2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的深度相同；（ 3）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池的蓄水池相同学习必备欢迎下载20 （ 2005，哈尔滨市）甲，乙两名同学进行登山比赛，图542 所示为甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，?各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t 的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求 A 点距山顶的距离；（
18、3）在（ 2）的条件下，设乙同学从A 处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h，沿原路下山，在点B 处与乙相遇，此时点B 与山顶距离为1.5km，相遇后甲， ?乙各自按原来的线路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？学习必备欢迎下载21 （ 2005，长春市）如图a 所示，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线 BD 所在直线的函数关系式为y=34x，AD=8 矩形 ABCD 沿 DB 方向以每秒1?单位长度运动，同时点P 从点 A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点 C，用了 14s（ 1）求矩形ABCD 的周长（ 2）如图 b 所示，图形运
19、动到第5s 时，求点 P 的坐标；（ 3）设矩形运动的时间为t当 0t6 时，点 P所经过的路线是一条线段，?请求出线段所在直线的函数关系式；（ 4）当点 P在线段 AB 或 BC 上运动时，过点P 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形 PEOF 是否能与矩形ABCD 相似（或位似） ？若能， 求出 t 的值； 若不能，说明理由学习必备欢迎下载22 （2006，绍兴）某校部分住校学生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2L，?他们先同时打开两个放水龙头，后来故故障关闭一个放水龙头，假设前后两个接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（L）与接水时间x（min）的函数图
20、像如图所示请结合图像，回答下列问题：（ 1）根据图中信息，请你写出一个结论；（ 2）问前 15 位同学接水结束共需要几分钟？（ 3）小敏说：“今天我们寝室的8 位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3min” ?你说可能吗？请说明理由学习必备欢迎下载答案 : 125 2y=12x+3 352a6，所以此时点P 不在 AB 边上，舍去当点 P 在 BC 边运动时，即6t14点 D 的坐标为（45t，35t） 点 P 的坐标为（ 1415t，35t+6） 若PEBAOEDA，则3651145tt=68，解得 t=6此情况已讨论若PEDAOEBA，则3651145tt=86，解得 t=19013因为190
21、1314，此时点P 不在 BC 边上，舍去综上，当t=6 时，点 P 到达点 B 时，此时 PEO 与 BAD 相形方法二：当点 P 在 AB 上没有到达点B 时，P EB EO EO E=34，PEOE更不能等于43则点 P 在 AB 上没到达点B 时，两个三角形不能构成相似形当点 P 到达点 B 时， PEO 与 BAD 相似，此时t=6当点 P 越过点 B 在 BC 上时，PEOE34若PEOE=43时，由点P在 BC 上时，坐标为（1415t，35t+6） ， （6t14） 学习必备欢迎下载3651145tt=43，解得 t=19013，但1901314因此当 P 在 BC 上（不包括点B）时， PEO 与 BAD 不相似综上所述，当t=6 时，点 P 到达点 B， PEO 与 BAD 是相似形22 （ 1）锅炉内原有水96L，接水 2min 后锅炉内的余水量为80L，等（2）当 0 x2 时， y=8x+96 当 x2 时， y=4x+88 前 15 位同学接完水时余水量为（96152L）=66L 66=4x+88 x=5.5min （3）小敏说法是可能的，即从第1min 开始 8 位同学连接接完水恰好用了3min