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1、立身以立学为先，立学以读书为本初中数学常用的概念、公式和定理1. 整数( 包括: 正整数、0、负整数) 和分数 ( 包括: 有限小数和无限环循小数 ) 都是有理数 . 如: 3,0.231,0.737373,. 无限不环循小数叫做 无理数 . 如:, -,0.1010010001 (两个1之间依次多 1个0). 有理数和无理数统称为 实数. 2. 绝对值 :a0丨a丨=a;a0丨a丨=a. 如: 丨丨=; 丨3.14丨=3.14. 3. 一个近似数 , 从左边笫一个不是 0的数字起 , 到最末一个数字止 , 所有的数字 , 都叫做这个近似数的 有效数字 . 如:0.05972 精确到 0.00
2、1 得0.060, 结果有两个有效数字 6,0. 4. 把一个数写成 a10n的形式 ( 其中1a0,b0). 如: (3)2=45.=6.a0时, 方程有两个不相等的实数根; 当=0时, 方程有个相等的实数根 ; 当-立身以立学为先，立学以读书为本0时,y 随x的增大而增大 ( 直线从左向右上升 ); 当k0时, 双曲线在一、三象限 ( 从左向右降 );当k0时, 开口向上 ;a0时, 开口向下 . 顶点坐标是 (,), 对称轴是直线 x=. 特别: 抛物线 y=a(xh)2+k的顶点坐标是 (h,k),对称轴是直线 x=h. 注意: 求解析式的设法 已知三个点的坐标 , 则设为一般形式 y
3、=ax2+bx+c; 已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式 y=a(x h)2+k; 已知抛物线与 x轴的两个交点坐标 (x1,0) 和(x2,0), 则设为交点式 y=a(x x1)(x x2). 19. 抛物线与 x轴的位置关系 : 对于抛物线 y=ax2+bx+c0时, 它与x轴有两个交点 (x1,0) 和(x2,0), 其中x1和x2是方程 ax2+bx+c=0的两个根 . 20. 统计初步 : (1) 概念: 所要考察的对象的全体叫做总体, 其中每一个考察对象叫做 个体. 从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本, 样本中个体的数目叫做 样本容量 .在一组数据中 , 出现次数最多的
4、数 (有时不止一个 ), 叫做这组数据的 众数. 将一组数据按大小顺序排列 , 把处在最中间的一个数(或两个数的平均数 )叫做这组数据的 中位数. (2) 公式: 设有n个数x1,x2, ,xn, 那么: 平均数 = (x1+x2+xn). 方差S2= (x1 )2+(x2 )2+(xn )2.(是整数时用 ) S2= (x12+x22+xn2)n( )2. 注: 各数据的数位较少或平均数是分数时, 用此公式 . 立身以立学为先，立学以读书为本若将 n个数x1,x2, ,xn各减去一个适当的数 a, 得到一组新数 x1,x2, ,xn, 那么原来那组数的方差 S2=这组新数的方差 , 平均数
5、=a+,.方差越大 , 这组数据的波动就越大 . 通常用样本方差去估计 总体方差 , 用样本平均数 去估计 总体平均数 . 方差的算术平方根叫做 标准差(3 )频率: 把一组数分成若干个小组, 组距=(最大值最小值 ) 组数 (求组数时 , 用收尾法取整数 ), 这时, 落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数, 每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率. 因此, 各组的频率的和等于 1. 在频率分布直方图中 , 各小长方形的面积等于相应各组的频率. 各小长方形的面积的和等于1. 21. 锐角三角函数 : 设 A是Rt的任一锐角 , 则A的正弦 :sinA=, A的余弦:cosA=,
6、A的正切 :tanA=, A的余切 :cotA=. 并且 sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0sinA1,0cosA0,ctgA0.A越大, A的正弦和正切值越大 , 余弦和余切值反而越小 . 余角公式 :sin(900A)=cosA,cos(900A)=sinA,tg(900A)=ctgA,ctg(900A)=tgA. 特殊角的三角函数值 : sin300=cos600= ,sin450=cos450=,sin600=cos300=,sin00= cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg
7、450=1,tg600=ctg300=-,tg00=ctg900=0. 斜坡的坡度 i= . 设坡角为 , 则i=tg = . 22. 三角形 : (1) 在一个三角形中 : 等边对等角 , 等角对等边 . (2). 证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在Rt中, 斜边上的中线等于斜边的一半 .(4) 证明一个三角形是 直角三角形 的方法有 : 先证明有一个角等于900. 先证明最长边的平方等于另两边的平方和. 先证明一条边的中线等于这条边的一半.(5) 三角形的中位线 平行于笫三边 , 并且等于笫三边的一半 .(6) 等腰三角形 中, 顶角的平分线与底边上
8、的中线和高互相重合. 23. 四边形 :(1)n 边形的内角和等于 (n2)1800, 外角和等于 3600. (2) 平行四边形 的性质 : 对边平行且相等 ; 对角相等 ; 邻角互补 ; 对角线互相平分 . (3) 证明一个四边形是 平行四边形 的方法有 : 先证两组对边平行 . 先证两组对边相等 . 先证一组对边平行且相等. 先证两条对角线互相平分. 先证两组对角分别相等 . (4) 矩形的对角线相等且互相平分 ; 菱形的对角线互相垂直平分, 并且四条边相等 . (5) 证明一个四边形是 矩形的方法有 : 先证明它有三个角是直角. 先证它是平行四边形, 再证它有一个角是直角或对角线相等.
9、 (6) 证明一个四边形是 菱形的方法有 : 先证明它的四条边相等. 先证它是平行四边形 ,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直. (7) 正方形 既是矩形又是菱形 , 它具有矩形和菱形的所有性质. (8) 梯形的中位线 平行于两底并且等于两底之和的一半. 立身以立学为先，立学以读书为本(9) 轴对称图形 有: 线段, 角, 等腰三角形 , 等腰梯形 , 矩形, 菱形, 正方形 , 正多边形 , 圆. 中心对称图形 有: 线段, 平行四边形 , 矩形, 菱形, 正方形 , 边数是偶数的正多边形 , 圆. 24. 证明两个 三角形相似 的方法有 : 先证两组对应角相等 . 先证两边对应成比例并且
10、夹角相等 . 先证三边对应成比例 . 先证斜边和一条直角边对应成比例. 相似三角形的性质: 对应高的比 , 对应角平分线的比 , 对应中线的比 , 周长的比 , 都等于相似比 . 面积的比等于相似比的平方 . 25. 平行切割定理 : 如图 1,DEBC=. 如图 2, 若AB CD EF 则=,=. 26. 射影定理 : 如图3, ABC 中, 若ACB=900, CD AB,则: AC2=AD AB.BC2=BD BA.AD2=DA DB. 27. 圆的有关性质 :(1) 垂径定理 : 如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质 : 经过圆心 ; 垂直弦 ; 平分弦 ; 平分弦所对的劣弧
11、 ; 平分弦所对的优弧 , 那么这条直线就具有另外三个性质. 注: 具备 , 时, 弦不能是直径.(2) 两条平行弦 所夹的弧相等 .(3) 在同圆或等圆中 , 如果两个圆心角、两条弧、两条弦、 两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它所对应的其余三组量都分别相等.(4 )圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(5) 一条弧所对的 圆周角 等于它所对的圆心角的一半.(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半.(7) 弦切角 等于它所夹的弧的度数的一半.(8) 同弧或等弧所对的圆周角相等.(9) 在同圆或等圆中 , 相等的圆周角所对的弧相等.(10).900的圆周角所对的弦是直径 .(11) 圆内接四边形
12、 的对角互补 , 外角等于它的内对角 . 28. 直线和圆的位置关系 :(1) 若O 的半径为 r, 圆心到直线 L的距离为 d, 则: dr直线L和O 相离. (2) 切线的判定定理 : 经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 反之: 切线垂直过切点的半径 .(3) 切线长定理 , 弦切角定理 , 相交弦定理及其推论 , 切割线定理及其推论.(4) 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心就是三内角平分线的交点. 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 三角形的外心就是三边中垂线的交点. (5)Rt 的内切圆的半径 R内=, 任意多边形的内切圆的半径R内=. (6) 圆外
13、切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和. 29. 圆和圆的位置关系 :(1) 设两圆半径为 R和r, 圆心距为 d, 则: dR+r两圆外离 . d=R+r两圆外切 . RrdR+r(Rr)两圆相交 . d=R r两圆内切 . dR r两圆内含 . 30. 圆中常作的辅助线 :(1) 两圆相交 , 常作公共弦 , 连心线 .(2) 两圆相切 , 常作公切线 , 连立身以立学为先，立学以读书为本心线.(3) 已知切线 , 常过切点作半径 .(4) 已知直径 , 常作直径所对的圆周角 .(5) 求解有关弦的问题 , 作弦心距 .(6) 弧的中点常和圆心连结 . 31. 各顶点等分圆周正n边形各边相等 , 各角相等 , 且每个内角 =度, 中心角=外角=度. 32. 面积公式 : S正=( 边长)2. S平行四边形=底高 . S菱形=底高 = ( 对角线的积 ) S圆= R2. C圆周长=2R.弧长 L=. S扇形= LR.S圆柱侧=底面周长高 . S圆锥侧= 底面周长母线 =rR, 并且2r=( 如上图 ).