北师大版高中数学全部教案.pdf

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1、学习必备欢迎下载北师大版高中数学必修5 第一章数列全部教案第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能： （ 1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。2、过程与方法： （ 1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； （2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。3、情感态度与价值观：（1）. 通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验. 理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养

2、学生的辩证唯物主义观点；（2）. 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一） 、揭示课题 : 今天开始我们研究一个新课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100 根，在其上一层（称作第二层）码放了99 根，第三层码放了98 根，依此类推，问：最多可放多少层？第57 层有多少根？从第1 层到第 57 层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律实际上我们要研究的

3、是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象数列（二） 、推进新课合作探究折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试( 学生们兴趣一定很浓 ).生 一般折 5、6 次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1 长度单位，面积为1 面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？学习必备欢迎下载生 随着对折数厚度依次为:2 ，4， 8，16， 256，；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161, ,2561, .生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的256 倍，其面积为原来的分 1256式，再折下去太困难了

4、.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化. 请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数 .生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲1. 数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 .2. 数列的项： 数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1 项( 或首项 ) ，第 2 项，第n项， . 同学们能举例说明

5、吗？生 例如，上述例子均是数列，其中中，“2”是这个数列的第1 项( 或首项 )，“16”是这个数列中的第4 项.为表述方便给出几个名称：项-数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项 -其中数列的第一项也称首项. 通项 -数列的第n 项叫数列的通项以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数 由此可以看出， 给定一个数列， 应能够指明第一项是多少，第二项是多少， ，每一项都是确定的，即指明项数， 对应的项就确定所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系3. 数列的分类：1) 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有

6、限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6 是有穷数列 .无穷数列：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 常数数列：各项相等的数列. 摆动数列：从第2学习必备欢迎下载项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1) 递增数列， (2) 递增数列， (3) 常数数列， (4) 递减数列， (5) 摆动数列，(6)1. 递增数列

7、， 2. 递减数列 .4、通项公式法: 如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项例如，数列的通项公式，则值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一知识拓展师 你能说出上述数列中的256 是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生 256 是这数列的第8 项，我能写出它的第n项，应为an=2n.例题剖析例 1. 根据下面数列an的通项

8、公式，写出前5 项：(1)an=1nn;(2)an=(-1)nn.师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取 1，2，3，4，5，即可得到数列的前5 项.生 解： (1)n=1,2,3,4,5.a1=21;a2=32;a3=43;a4=54;a5=65.(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.师 好！就这样解.例 2. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3 ，5，7，9，11，； (2)32，154，356，638，9910，；(3)0 ，1，0，1，0，1，； (4)1 ，3，3， 5，5，7，7，9，9，；(5)2

9、，-6 ，12，-20 ，30， -42，.学习必备欢迎下载师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？( 给学生一定的思考时间 )生老师，我写好了！解： (1)an2n 1；(2)an)12)(12(2nnn； (3)an2)1(1n；(4) 将数列变形为10，21，30，41，50，61，70，81，ann2)1(1n；(5) 将数列变形为12， - 23， 34， - 45，56，an(-1)n+1n(n1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.（三） 、学生课堂练

10、习：课本本节练习1、2、3、4 补充题：已知数列an 的通项公式是an=2n2-n，那么 ()A.30 是数列 an的一项B.44 是数列 an 的一项C.66 是数列 an的一项D.90 是数列 an 的一项分析：注意到30，44，66，90 均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决 .答案： C点评： 看一个数A 是不是数列 an中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，使得 an=A.（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，

11、并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。（五） 、布置作业 课本习题1-1A 组 1、 2、3、4。五、教后反思：第二课时 1.1.2数列的函数特性学习必备欢迎下载一、教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。二、教学重点： 理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表

12、、 图象、 通项公式）。难点： 了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。三、教学方法：讲授法为主四、教学过程（一） 、导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列 an 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .师 你能举例说明吗？生 如数列 0，1，2，3， 的通项公式为an=n-1(nN*);1,1,1 的通项公式为an=1(nN*,1 n 3);1,21,31,41, 的通项公式为an=n1(nN*).教师进一步启发上面数列an=n-1、an=

13、n1与函数1( )1, ( )f xxf xx有什么关系？你能用图象直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。（二）新知探究1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列合作探究同学们看数列2，4，8，16， 256，中项与项之间的对应关系，项2 4 8 16 32 序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*( 或它的有限子集1 ，2，3，n) 的函数an=f(n) ，学习必备欢迎下载当自变量从小到大依次取值

14、时对应的一列函数值. 反过来，对于函数y=f(x) ，如果f(i)(i=1、2、3、4) 有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3), ,f(n), .师 说的很好 . 如果数列 an 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.合作探究师 函数与数列的比较( 由学生完成此表) ：函数数列 ( 特殊的函数 ) 定义域R或 R的子集N*或它的有限子集1 ，2，n 解析式y=f(x) an=f(n) 图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们

15、练习画数列:4，5，6，7，8，9，10; 1,21 ,31 ,41, 的图象 .生 根据这数列的通项公式画出数列、的图象为师 数列 4，5，6，7，8，9，10, 的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3 的图象有关 .师 数列 1,21,31,41, 的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy1的图象有关 .师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点 .2、数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学

16、生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，用表示第项，依次写出成为学习必备欢迎下载（1）列举法 : 简记为一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法（2）图示法 : 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标， 相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势有些

17、函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式（3）通项公式法: 如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项例如，数列的通项公式，则值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项） 有

18、关系， 这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式（4）递推公式法: 如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系 是， 再 给 定， 便 可 依 次 求 出 各 项 再 如 数 列中 ，这个数列就是像这样，如果已知数列的第1 项（或前几项） ，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用学习必备欢迎下载一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可可由学生举例，以检验学生是否理解（三） 、例题探析例 1、判断下列无穷数列的增减性。（ 1）2,1,0 ，-1 ， ，3-n, ；（2）1 2 3,2 3 41

19、nng ggg g g。学生探究交流，教师准对问题讲评并引导学生归纳方法。【答案：（ 1）递减数列；（ 2）递增数列】例 2、作出数列1 1111,()2 48 162nK K，的图像，并分析数列的增减性。12 Y 14 O 1 2 3 4 5 X 1412解析：如图是这个数列的图象，数列各项的值正负相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的。（四） 、学生练习：课本本节练习1、2 （五） 、课堂小结：1、探究结论； 2、数列与函数有什么关系？（六） 、作业布置：习题 1-1 A 组第 5、 6、7 题五、教后反思：第三课时数列的概念学习必备欢迎下载一、教学目标1、知

20、识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与na的关系2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点 理解递推公式与通项公式的关系三、教学过程. 课题导入 复习引入 数列及有关定义. 讲授新课数列的表示方法1、 通项公式法如果数列na的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；2、 图象法

21、启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标， 即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧， 而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题学习必备欢迎下载观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一： 自上而下：第 1 层钢管数为4；即： 141+3 第 2 层钢管数为5；即： 252+3 第 3 层钢管数为6；即： 363+3

22、 第 4 层钢管数为7；即： 474+3 第 5 层钢管数为8；即： 585+3 第 6 层钢管数为9；即： 696+3 第 7 层钢管数为10；即： 7107+3 若用na表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3nann7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即41a；114512aa；115623aa依此类推：11nnaa（2n7）对于上

23、述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式： 如果已知数列na的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项1na（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5， 8，13， 21，34，55，89 递推公式为：)83(,5, 32121naaaaannn数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法， 图象法， 解析式法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，用表示第项，依

24、次写出成为学习必备欢迎下载4、列表法简记为 范例讲解 例 3 设数列na满足11111(1).nnaana写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出na的第 1 项即11a，递推公式：111nnaa解：据题意可知：3211,211, 123121aaaaa，58,3511534aaa 补充例题 例 4 已知21a，nnaa21写出前 5 项，并猜想na法一：21a22222a323222a，观察可得nna2法二：由nnaa2112nnaa即21nnaa112322112nnnnnnnaaaaaaaannnaa2211. 课堂练习： 课本 P36 练习 2 补充练习 1根据各个数列的首项和递推公

25、式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 1a0, 1nana(2n 1) (n N)；(2) 1a1, 1na22nnaa (n N)；(3) 1a3, 1na3na 2 (n N). 解： (1) 1a 0, 2a1, 3a4, 4a9, 5a16, na(n 1)2; (2) 1a1,2a32,3a4221, 4a52, 5a6231, na12n; 学习必备欢迎下载(3) 1a31+203, 2a71+213, 3a191+223, 4a551+233, 5a1631+243, na1231n; . 课时小结： 本节课学习了以下内容：1递推公式及其用法；2通项公式反映的是项与项数之间

26、的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系. 3 an 的定义及与n 之间的关系. 课后作业： 习题 2.1A 组的第 4、6 题作业： P9 第 4 题四、教后反思：第四课时 1.2.1 等差数列（一）学习必备欢迎下载一、教学目标1知识与技能: 通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2. 过程与方法 : 让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用

27、的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3情态与价值: 培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。二、教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。教学难点： 概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。三、学法： 引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。四、教学过程（一） 、创设情景上节课我们学习了数列。

28、在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。（二）新知探究( ) 、引导观察数列：0， 5，10， 15，20，； 48 ，53，58，63 18， 15.5 ，13，10.5 ，8， 5.5 ； 10 072， 10 144 ，10 216 ， 10 288 ，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列， 从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于5 ； 对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；

29、对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于72 ；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。学习必备欢迎下载等差数列的概念: 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5， -

30、2.5 ，72。( ) 、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称：等差数列，首项)(1a， 公差)(d；2若0d则该数列为常数列；3寻求等差数列的通项公式：daddadaadaddadaadaa3)2(2)(1134112312由此归纳为dnaan)1(1当1n时11aa（成立）注意 : 1等差数列的通项公式是关于n的一次函数； 2如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成等差数列；证明： 若AnBABAnABAnan)1()()1(它是以BA为首项，A为公差的 AP 。 3公式中若0d则数列递增，0d则数列递减； 4图象：一条直线上的一群孤立点得出通

31、项公式：以1a为首项， d 为公差的等差数列na的通项公式为：dnaan) 1(1；知等差数列的首项1a和公差 d，那么这个等差数列的通项na就可以表示。选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）：na是等差数列，所以,1daann,21daann,32daann学习必备欢迎下载,12daa两边分别相加得,)1(1dnaan所以dnaan)1(1（迭代法）：na是等差数列，则有：daann1ddan 2dan22ddan23dan33dna)1(1所以dnaan)1(1（三） 、例题讲解： 注意在dnaan)1(1中n，na，1a，d四数中已知三个可以求出另一个。

32、例 1、 （课本）判断下面数列是否为等差数列.例 2、 已知数列首项与公差, 求通项公式 . 例 3、 （此题可以看成应用题）已知数列的其中几项, 求其余各项例 4、已知数列其中两项, 求通项公式 . 关于等差中项：如果bAa,成 AP 则2baA证明：设公差为d，则daAdab2Adadaaba222例 5、在1 与 7 之间顺次插入三个数cba,使这五个数成等差数列，求此数列。解一：APcba成7, 1b是-1 与 7 的等差中项3271ba又是 -1 与 3 的等差中项1231ac又是 1 与 7 的等差中项5273c解二：设11a75ad)15(172d所求的数列为-1 ，1，3， 5

33、，7 例 6、已知是等差数列图像上的两点. 求这个数列的通项公式; 画出这个数列的图像; 判断这个数列的单调性. (解略 ) 例 7、一个木制梯形架的上、下两底边分别为33， 75，把梯形的两腰各6 等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。学习必备欢迎下载分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而成等差数列。解略（五） 、小结： 等差数列的定义、通项公式、等差中项（六） 、练习 : P13练习 1 、2、 3 （七） 、作业：习题 1 2 A组 5、6、7 五、教后反思：第五课时 1.2.2等差数列

34、（二）学习必备欢迎下载一、教学目标1、知识与技能： （ 1）明确等差中项的概念；（ 2）进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；（3）能用图象与通项公式的关系解决某些问题。2、过程与方法： （ 1）通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想；（2）发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习； （3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。3、情感态度与价值观（1）通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；（2）通过体验等差数列的性质的奥

35、秘，激发学生的学习兴趣。二、教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、导入新课师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-an-1=d(n2 ，n N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母 “ d”表示 ).师 对，我再找同学说一说等差数列 an的通项公式的内容是什么？生 1

36、 等差数列 an的通项公式应是an=a1+(n-1)d.生 2 等差数列 an还有两种通项公式：an=am+(n-m)d 或 an=pn+q(p、q 是常数 ).师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：d=an-a n-1；11naadn；mnaadmn.你能理解与记忆它们吗？生 3 公式11naadn与mnaadmn记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).合作探究探究内容：如果我们在数a 与数 b 中间插入一个数A，使三个数a，A，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？师 本题在这里要求的是什么?学习必备欢迎下载生 当然是要

37、用a，b 来表示数 A.师 对，但你能根据什么知识求?如何求 ?谁能回答 ?生 由定义可得A -a=b-A，即2baA.反之，若2baA，则 A-a=b-A,由此可以得2baAa,A,b 成等差数列 .（二） 、推进新课我们来给出等差中项的概念：若a，A，b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项 .根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2 项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列： 1， 3，5，7，9， 11，13中 5 是 3 与 7 的等差中项，也是1 和 9 的等差中项 .9 是 7 和 11 的等差中项，也是5 和 13 的

38、等差中项 .方法引导 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b 成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a， A， b 间的关系证得a， A， b 成等差数列 .合作探究师 在等差数列 an中，d 为公差， 若 m,n,p,qN*且 m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.师 能把你的发现过程说一下吗？生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq.师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好

39、，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.学习必备欢迎下载同样地，我们还有：若m+

40、n=2p,则 am+an=2ap.这也是等差中项的内容.师 注意：由am+an=ap+aq推不出 m+n=p+q，同学们可举例说明吗?生 我举常数列就可以说明了.师 举得好 !这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件. 例题剖析【例 1】 在等差数列 an 中，若 a1+a6=9， a4=7，求 a3， a9.师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？生 1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.生 2 而要求通项公式， 必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).生

41、3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？生 4 因为 an是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因为 a9=a4+(9-4)d=7+5 5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.【例 2】 (课本例 2)某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10 元，即最初的4 千米 (不含 4 千米 )计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少元的车费?师 本题是一道实际应用题，它所涉及

42、到的是什么知识方面的数学问题？生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.师 为什么？生 根据题意， 当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加 1 km，乘客需要支付1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?生 分别是 11.2，1.2.师 好，大家计算一下本题的结果是多少?生 需要支付车费23.2 元 .(教师按课本例题的解答示范格式)评述： 本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.学习必备欢迎下载（三） 、课堂练习1.在等差数列 an

43、 中，(1)若 a5=a,a10=b,求 a15.解： 由等差数列 an知 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以 a15=2b-a.(2)若 a3+a8=m,求 a5+a6.解： 等差数列 an中， a5+a6=a3+a8=m.(3)若 a5=6,a8=15,求 a14.解： 由等差数列 an得 a8=a5+(8-5)d,即 15=6+3d,所以 d=3.从而 a14=a5+(14-5) d=6+9 3=33.(4)已知 a1+a2+ a5=30,a6+a7+ a10=80，求 a11+a12+ a15的值 .解： 等差数列 an中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,所以

44、2a6=a1+a11,2a7=a2+a12, 从而 (a11+a12+ a15)+(a1+a2+ a5)=2(a6+a7+ a10),因此有 (a11+a12+ a15)=2(a6+a7+ a10)-(a1+a2+ a5)=2 80-30=130.2.让学生完成课本练习2、 3、4。教师对学生的完成情况作出小结与评价。方法引导 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.（四） 、课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公

45、式及其性质.(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合 ,培养学生的概括能力和语言表达能力)（五） 、布置作业课本习题1-2 A组 9，B组 1预习内容：课本下节内容；预习提纲：等差数列的前n 项和公式；等差数列前n 项和的简单应用。五、教后反思：第六课时1.2.3 等差数列的前n 项和（一）学习必备欢迎下载一、教学目标 ：1、知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题。2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步

46、形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。 3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。二、教学重点等差数列的前n 项和公式的理解、推导及应用。教学难点灵活应用等差数列前n 项和公式解决一些简单的有关问题。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程导入新课教师出示投影胶片1：印度泰姬陵 (Taj M ahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度

47、古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征 .陵寝以宝石镶饰， 图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100 层(如下图 )，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段) 生 只要计算出1+2+3+ +100的结果就是这些宝石的总数.师 对，问题转化为求这100 个数的和 .怎样求这 100 个数的和呢？这里还有一段故事.教师出示投影胶片2：学习必备欢迎下载高斯是伟大的数学家、天文学

48、家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“ 现在给大家出道题目： 1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10 算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+ +100=5 050. ”教师问： “ 你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；50+51=101，所以 101 50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是： 1+100=2+99=3+98= =50+51=101，有 50 个 101，所以 1+2+3+ +100

49、=50 101=5 050.师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50 组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组， ，每组数的和均相等，都等于101，50 个 101 就等于 5 050 了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师 问：数列1， 2，3，100 是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+100 相当于什么？生 这个数列是等差数列，1+2+3+ +100 这个式子实质上是求这数列的前100 项的和 .

50、师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n 项的和的问题.（二） 、推进新课合作探究师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1 层到第21层，得到右图，则图中第1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢?生 这是求 “1+2+3+ +21” 奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了 .师 高斯的这种 “ 首尾配对 ” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?学习必备欢迎下载生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22 个，共