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1、12021 考研数学真题及答案解析考研数学真题及答案解析数学（二）数学（二）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0 x 时，230(1)xtedt时7x的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案答案】C.【解析解析】因为当0 x 时，23670(1)2 (1)2xtxedtx ex，所以230(
2、1)xtedt是7x高阶无穷小，正确答案为 C.(2)函数1,0( )=1,0 xexf xxx,在0 x 处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案答案】D.【解析解析】因为001lim( )=lim1(0)xxxef xfx ，故( )f x在0 x 处连续；因为200011( )(0)11lim=limlim002xxxxxef xfexxxxx ，故1(0)2f ，正确答案为 D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2 cm/s，3cm/s，当底面半径为 10 cm，高为 5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时
3、间变化的速率分别为(A)1253/cms，402/cms.(B) 1253/cms，402/cms.(C)1003/cms，402/cms.(D)1003/cms，402/cms.【答案】C.【解析】由题意知，2,3,drdhdtdt 又22,22Vr h Srhr则22,224dVdrdh dSdrdhdrrhrhrrdtdtdtdtdtdtdt当10,5rh时，100 ,40 ,dVdSdtdt 选 C.(4)设函数( )ln(0)f xaxbx a有两个零点，则ba的取值范围是(A)( ,)e .(B)(0, ) e.(C)1(0,)e.(D)1(,)e.2【答案答案】A.【解析解析】
4、令( )ln0f xaxbx，( )bfxax，令( )0fx有驻点bxa，ln0bbbfabaaa，从而ln1ba，可得bea，正确答案为 A.(5)设函数( )secf xx在0 x 处的 2 次泰勒多项式为21axbx，则(A)11,.2ab (B)11,.2ab(C)10,.2ab (D)10,.2ab【答案】D.【解析】由22(0)( )(0)(0)()2ff xffxxo x知当( )secf xx时，2300(0)sec01,(0)(sec tan )0,(0)(sec tansec)1,xxffxxfxxx则221( )sec1().2f xxxo x 故选 D.(6)设函数,
5、f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22( ,)2lnf x xxx，则(1,1)df(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy.(D)dy.【答案答案】C.【解析解析】212(1,)(1,)(1)2 (1)xxxf xee fxexx x2212( ,)2( ,)4 ln2fx xxfx xxxx将00 xy，11xy分别带入式有12(1,1)(1,1)1ff，12(1,1)2(1,1)2ff联立可得1(1,1)0f ，2(1,1)1f ，12(1,1)(1,1)(1,1)dffdxfdydy，故正确答案为 C.(7) 设函数 f x在区间0,1上连续，则 10f x dx
6、(A)1211lim22nnkkfnn.(B)121 1lim2nnkkfnn.(C)211 1lim2nnkkfnn.(D)2012lim2nxkkfnn.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将0,1分成n份，取中间点的函数值，则10121 1( )lim,2nnkkf x dxfnn即选 B.(8)二次型222123122331( ,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案答案】B.【解析解析】22221231223312122313( ,)()()()2222f x xxxxxxxxxx xx x
7、x x3所以011121110A，故特征多项式为11|121(1)(3)11EA 令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.(9)设 3 阶矩阵123, A，123,B ，若向量组123, 可以由向量组12, 线性表出，则(A)0Ax 的解均为0Bx 的解.(B)0TA x 的解均为0TB x 的解.(C)0Bx 的解均为0Ax 的解.(D)0TB x 的解均为0TA x 的解.【答案】D.【解析】 令123123(,),(,),Aa a aB 由题123,a a a可由123, 线性表示，即存在矩阵P,使得,BPA则当00TB x 时，0
8、00()0.TTTTA xBPxp B x恒成立，即选 D.(10)已知矩阵101211125A若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取(A)100010001，101013001.(B)100210321，100010001.(C)100210321，101013001.(D)100010131，123012001.【答案答案】C.【解析解析】101100101100101100()211010013210013210125001026101000321A,E(,) F P,则100210321P;41011000130100000001001010100
9、13001001FEQQ，则101013001Q.故应选 C.二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)23xxdx.【答案答案】1ln3.【解析解析】22222000113233()3ln3ln3xxxxxdxxdxdx .(12)设函数( )yy x由参数方程2214(1)ttxetytet 确定,则202td ydx.【答案答案】23.【解析解析】由4221ttdytetdxe，得223(442)(21)(42 )2(21)ttttttd yeteetetedxe，
10、将0t 带入得20223td ydx.(13)设函数( , )zz x y由方程(1)lnarctan(2)1xzyzxy确定,则(0,2)zx.【答案答案】1.【解析解析】方程两边对x求导得2212(1)014zzyzxyxz xx y，将0,2xy带入原方程得1z ，再将0,2,1xyz带入得1zx.(14)已知函数11( )sintxxf tdxdyy,则2f.【答案答案】232coscos2cos222uduu.【解析解析】交换积分次序有21( )sinttyxf tdydxy ，从而211( )sincoscostttyxtf tdydxyy dyyy 11coscostttydyy
11、ydyy231coscostttutduyydyu52333 2coscoscos1( )2cos2ttuttf ttdutttuttt,故2f232coscos2cos222uduu.(15)微分方程0yy的通解y .【答案答案】1212312333cossin,22xxyC eeCxCxC C CR.【解析解析】由特征方程310 得12,3131,22i ，故方程通解为1212312333cossin,22xxyC eeCxCxC C CR.(16)多项式12121( )211211xxxxf xxx中3x项的系数为_.【答案答案】-5.【解析解析】12211211112121( )112
12、1211221211112131211211xxxxxxxf xxxxxxxxxxxx所以展开式中含3x项的有33, 4xx，即3x项的系数为-5.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分 10 分)求极限20011lim1sinxtxxe dtex.【答案】12.【解析】2200001sin11limlim1sin(1)sinxxttxxxxe dtxe dtexex 又因为22233001(1( )()
13、3xxte dtto tdtxxo x，故原式=33332220111()(1()()3!3!2limxxxo xxxo xxxo xx6=22201()12lim2xxo xx.(18)(本题满分 12 分)已知( )1x xf xx，求( )f x的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间(, 1) ，0,，凸区间( 1,0).斜渐近线是1yx，1yx .【解析】因为22,01( ),01xxxf xxxx ，故0 x ，222( )1xxfxx，32( )1fxx，0 x ，222( )1xxfxx，32( )1fxx，所以x(, 1) 1( 1,0)00,( )fx+-+( )f x凹拐点凸拐点
14、凹凹区间(, 1) ，0,，凸区间( 1,0).1lim1xx xx ,1x 是垂直渐近线.lim1(1)xx xx x,lim(1)1.(1)xx xx lim1(1)xx xx x ,lim(1)1.(1)xx xx 斜渐近线是1yx，1yx .(19)(本题满分 12 分)( )f x满足2( )16f xdxxxCx,L为曲线( )(49)yf xx，L的弧长为s，L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A,求s和A.【答案】4259.【解析】( )113f xxx，31221( )3f xxx，曲线的弧长99244112212443xsy dxdxx.曲面的侧面积319922244112
15、12()23Ayy dxxxxdxx4259.(20)(本题满分 12 分)函数( )yy x的微分方程66xyy ，满足( 3)10y，(1)求( )y x；(2)P为曲线( )yy x上的一点，曲线( )yy x在点P的法线在y轴上的截距为yI，为使yI最7小，求P的坐标.【答案】(1) 61.3xy x (2)41,3P时，yI有最小值11.6【解析】(1)66 yyxx ,666()dxdxxxyeedxCx66611xCCxx 将310y代入，13C ， 61.3xy x (2)设,P x y，则过P点的切线方程为52YyxXx，法线方程为512YyXxx ，令0X ，641132y
16、xYIx ，偶函数，为此仅考虑0,令 55220yIxx，1.x 0,1x ， 0yI， 1116yyII；1,x， 0yI， 1116yyII41,3P时，yI有最小值11.6(21)(本题满分 12 分)曲线22222()(0,0)xyxyxy与x轴围成的区域为D,求Dxydxdy.【答案】148【解析】cos23400sincosDxydxdydrdr2401cos 2 sincos4d 2401cos 2cos216d 4301cos 248 148.(22)(本小题满分 12 分)设矩阵210= 1201Aab仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使1P AP为对角矩阵.【解析】由210120()(3)(1)01EAbab当3b 时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则8110(3)11010EAa 知，1a ，此时，123所对应特征向量为12101 ,001 ，31所对应的特征向量为3111，则1331P AP当1b 时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110()11010EAa ，知1a ，此时，121所对应特征向量为12101,001 ，33所对应的特征向量为3111 ，则1113P AP.