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1、 第第 1 页页 共共 25 页页 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 高等数学公式 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 导数公式： 基本积分表： axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinsecco
2、s22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020 第第 2 页页 共共 25 页页 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 222212211cos12sinududxxtguuuxuu
3、x， 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： 诱导公式：诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90 - cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg 180 + -sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 + -cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos -tg -ctg 360 + sin cos tg ctg 和差角公式：和差角公式： 和差化积
4、公式：和差化积公式： 2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284. 2)11 (lim1sinlim0exxxxxx 第第 3 页页 共共 25 页页 倍角公式：倍角公式： 半角公式：半
5、角公式： cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg 正弦定理：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2222 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin 高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()(0)()()(!) 1() 1(! 2) 1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理
6、与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()( 曲率：曲率： .1; 0.)1 (limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss 的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式： 定积分的近似计算：定积分的近似计算： 23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22si
7、ntgtgtgctgctgctg 第第 4 页页 共共 25 页页 bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法： 定积分应用相关定积分应用相关公式：公式： babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：
8、空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaa ja jaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu 第第 5 页页 共共 25 页页 （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113
9、,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzd
10、zzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22 第第 6 页页 共共 25 页页 ),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(
11、0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。
12、在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),( 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 第第 7 页页 共共 25 页页 不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByx
13、fAyxfyxfyxfyyxyxxyx 重积重积分及其应用：分及其应用： DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(), 0 , 0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面
14、坐标：柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标： 曲线积分：曲线积分： 第第 8 页页 共共 25 页页 )()()()()(),(),(),(,)()(),(2
15、2tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0 , 0(),(),(21212,)()()coscos()()(),(
16、)()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲面积分：曲面积分： dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyz
17、xyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式： 第第 9 页页 共共 25 页页 dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(., 0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量
18、与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系： dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()( 常数项级数：常数项级数： 是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112) 1(32111112 级数审敛法：级数审敛法： 第第 10 页页 共共 25 页页
19、散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： 时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，
20、则如果为任意实数；，其中111) 1(1) 1 () 1 ()2() 1 ()2()2() 1 (232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数：幂级数： 0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于 第第 11 页页 共共 25 页页 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnf
21、Rxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )()!12() 1(! 5! 3sin) 11(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm 欧拉公式：欧拉公式： 2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或 三角级数：三角级数： 。上的积分在任意两个不同项的乘积正交
22、性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn 傅立叶级数：傅立叶级数： 是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2 , 1 , 0cos)(20sin)(3 , 2 , 1nsin)(201241312116413121124614121851311)3 , 2 ,
23、 1(sin)(1)2 , 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210 周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数： 第第 12 页页 共共 25 页页 llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3 , 2 , 1(sin)(1)2 , 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期 微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方
24、程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),( 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程
25、，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 第第 13 页页 共共 25 页页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据
26、(*),321rr 的形式，21rr (*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp xrxrececy2121 两个相等实根)04(2 qp xrexccy1)(21 一对共轭复根)04(2 qp 242221pqpirir， )sincos(21xcxceyx 二阶常二阶常系数非齐次线性微分方程系数非齐次线性微分方程 型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx 第第 14 页页 共共 25 页页 线性代数部分线性代数部分 1、行列式 1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子
27、式的性质： 、ijA和ija的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM 4. 设n行列式D： 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21( 1)n nDD ； 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22( 1)n nDD ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD； 将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD； 5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对
28、角行列式：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n ； 、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n ； 、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBC 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； 6. 对于n阶行列式A，恒有：1( 1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式； 7. 证明0A 的方法： 、AA ； 、反证法； 、构造齐次方程组0Ax ，证明其有非零解； 、利用秩，证明( )r An； 、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： 第第 15 页页 共共 25 页页
29、0A （是非奇异矩阵）； ( )r An（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组0Ax 有非零解； nbR ，Axb总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为 0； TA A是正定矩阵； A的行（列）向量组是nR的一组基； A是nR中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A：*AAA AA E 无条件恒无条件恒成立； 3. 1 *111*()()()()()()TTTTAAAAAA *111()()()TTTABB AABB AABB A 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其
30、中均A、B可逆： 若12sAAAA，则： 、12sAA AA； 、111121sAAAA； 、111AOAOOBOB；（主对角分块） 、111OAOBBOAO；（副对角分块） 、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯） 、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO； 第第 16 页页 共共 25 页页 等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若( )( )r Ar BAB； 2. 行最简形矩阵
31、： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非 0 元素必须为 1； 、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 、若(,)(,)rA EE X，则A可逆，且1XA； 、对矩阵( ,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1( ,)( ,)cA BE A B； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果( , )( , )rA bE x，则A可逆，且1xA b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、12n ，左乘
32、矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素； 、对调两行或两列，符号( , )E i j，且1( , )( , )E i jE i j，例如：1111111； 、倍乘某行或某列，符号( ( )E i k，且11( ( )( ( )E i kE ik，例如：1111(0)11kkk； 、倍加某行或某列，符号( ( )E ij k,且1( ( )( ()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk； 5. 矩阵秩的基本性质： 、0()min( , )m nr Am n； 、()( )Tr Ar A； 、若AB，则( )( )r Ar B； 、若P、Q可逆，则( )()()()r A
33、r PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩） 、max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B；（） 、()( )( )r ABr Ar B；（） 、()min( ( ), ( )r ABr A r B；（） 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且0AB ，则：（） 、B的列列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）； 、( )( )r Ar Bn 、若A、B均为n阶方阵，则()( )( )r ABr Ar Bn； 第第 17 页页 共共 25 页页 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列
34、矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩行矩阵（向量）阵（向量）的形式，再采用结合律； 、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b； 注：、()nab展开后有1n项； 、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm 、组合的性质：11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC； 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： 、伴随矩阵的秩：*( )()1( )10( )1nr Anr Ar Anr An ；
35、 、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX； 、*1AA A、1*nAA 8. 关于A矩阵秩的描述： 、( )r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；（两句话） 、( )r An，A中有n阶子式全部为 0； 、( )r An，A中有n阶子式不为 0； 9. 线性方程组：Axb，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量
36、赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： 、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb； 、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为m n矩阵，m个方程，n个未知数） 第第 18 页页 共共 25 页页 、1212nnxxaaax （全部按列分块，其中12nbbb ）； 、1122nna xa xa x （线性表出） 、有解的充要条件：( )( ,)r Ar An （n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. m个n维列向量
37、所组成的向量组A：12,m 构成n m矩阵12(,)mA ； m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm构成m n矩阵12TTTmB ； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、向量组的线性相关、无关 0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m nA与l nB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax 和0Bx 同解；(101P例 14) 4. ()( )Tr A Ar A；(101P例 15) 5. n维向量线性相关的几何意义： 、 线性相关 0 ； 、, 线
38、性相关 , 坐标成比例或共线（平行）； 、, 线性相关 , 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若12,s 线性相关，则121,ss 必线性相关； 若12,s 线性无关，则121,s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理定理 7)； 向量组A能由向量组B线性表示，则( )( )r Ar B
39、；（86P定理定理 3） 向量组A能由向量组B线性表示 AXB有解； ( )( ,)r Ar A B（85P定理定理 2） 向量组A能由向量组B等价( )( )( ,)r Ar Br A B（85P定理定理 2 推论推论） 第第 19 页页 共共 25 页页 8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAPPP； 、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx 同解 、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵m nA与l nB： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则0Ax 与0Bx 同
40、解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若m ss nm nABC，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、0ABx 只有零解0Bx只有零解； 、0Bx 有非零解0ABx一定存在非零解； 12. 设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：（110P题题
41、19 结论结论） 1212( ,)( ,)rsb bba aa K（BAK） 其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与与K的列向量组具有相同线性相的列向量组具有相同线性相关性关性） （必要性：( )()(), (),()rr Br AKr K r Krr Kr；充分性：反证法） 注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用； 13. 、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE ( )r Am、Q的列向量线性无关；（87P） 、对矩阵m nA，存在n mP，nPAE ( )r An、P的行向量线性无关； 14. 12,s 线性相关 存在一组不全为 0 的数12,sk kk，使得1
42、1220sskkk成立；（定义） 1212(,)0ssxxx 有非零解，即0Ax 有非零解； 12(,)srs ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设m n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为：( )r Snr； 16. 若*为Axb的一个解，12,n r 为0Ax 的一个基础解系，则*12,n r 线性无关；（111P题题 33 结论结论） 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质： 第第 20 页页 共共 25 页页 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij； 、若A为正交矩阵，则1
43、TAA也为正交阵，且1A ； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化施密特正交化和单位化单位化； 2. 施密特正交化：12( ,)ra aa 11ba； 1222111 , ,b ababb b 121121112211 , ,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. 、A与B等价 A经过初等变换得到B； PAQB，P、Q可逆； ( )( )r Ar B，A、B同型； 、A与B合同 TC ACB，其中可逆； Tx A
44、x与Tx Bx有相同的正、负惯性指数； 、A与B相似 1P APB； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型Tx Ax为正定： A的正惯性指数为n； A与E合同，即存在可逆矩阵C，使TC ACE； A的所有特征值均为正数； A的各阶顺序主子式均大于 0； 0,0iiaA；(必要条件必要条件) 第第 21 页页 共共 25 页页 概率论与数理统计部分概率论与数理统计部分 1随机事件及其概率 吸收律：AABAAAA)( ABAAAAA)( )(ABABABA 反演律
45、：BABA BAAB niiniiAA11 niiniiAA11 2概率的定义及其计算 )(1)(APAP 若BA )()()(APBPABP 对任意两个事件 A, B, 有 )()()(ABPBPABP 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP )()()(BPAPBAP )() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP3 条 件 概 率 ABP )()(APABP 乘法公式 )0)()()(APABPAPABP )0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPA
46、AAP全概率公式 niiABPAP1)()( )()(1iniiBAPBP Bayes 公式 第第 22 页页 共共 25 页页 )(ABPk)()(APABPk niiikkBAPBPBAPBP1)()()()( 4随机变量及其分布 分布函数计算 )()()()()(aFbFaXPbXPbXaP 5离散型随机变量 (1) 0 1 分布 1 , 0,)1 ()(1kppkXPkk (2) 二项分布 ),(pnB 若 P ( A ) = p nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()( * Possion 定理 0limnnnp 有 , 2 , 1 , 0!)1 (limkkeppCk
47、knnknknn (3) Poisson 分布 )(P , 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk 6连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(baU 其他, 0,1)(bxaabxf 1, 0)(abaxxF (2) 指数分布 )(E 第第 23 页页 共共 25 页页 其他, 00,)(xexfx 0,10, 0)(xexxFx (3) 正态分布 N ( , 2 ) xexfx222)(21)( xttexFd21)(222)( * N (0,1) 标准正态分布 xexx2221)( xtexxtd21)(22 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 xydvdu
48、vufyxF),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数 xXdvduvufxF),()( dvvxfxfX),()( yYdudvvufyF),()( duyufyfY),()( 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) 其他, 0),(,1),(GyxAyxf (2) 二维正态分布 第第 24 页页 共共 25 页页 yxeyxfyyxx,121),(2222212121212)()(2)()1(212219. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX 0)()()(yfyxfyfYYXY dyyfyxfdyyxfxfYYXX)
49、()(),()( dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()( )( yxfYX )(),(yfyxfY )()()(yfxfxyfYXXY )( xyfXY )(),(xfyxfX )()()(xfyfyxfXYYX 10. 随机变量的数字特征 数学期望 1)(kkkpxXE dxxxfXE)()( 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(kXE X 的 k 阶绝对原点矩)|(|kXE X 的 k 阶中心矩)(kXEXE X 的 方差)()(2XDXEXE X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(lkYXE X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 lkYEYXEXE)()( X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XYE X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 第第 25 页页 共共 25 页页 )()(YEYXEXE X ,Y 的相关系数 XYYDXDYEYXEXE)()()()( X 的方差 D (X ) = E (X - E(X)2) )()()(22XEXEXD 协方差 )()(),cov(YEYXEXEYX )()()(YEXEXYE )()()(21YDXDYXD 相关系数)()(),cov(YDXDYXXY