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1、极差、方差与标准差极差、方差与标准差第第2020章章 数据的整理数据的整理 与初步处理与初步处理 1 1表示一组数据离散程度的指标表示一组数据离散程度的指标 回顾回顾 我们已经知道，如果我们已经知道，如果要描述一组数据，那么可要描述一组数据，那么可以选用这些数据的代表：以选用这些数据的代表： 平均数、中位数或众数平均数、中位数或众数问题问题1 1 表表1 1显示的是上海显示的是上海20012001年年2 2月下旬和月下旬和20022002年同年同期的每日最高气温，如期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温何对这两段时间的气温进行比较呢进行比较呢? ? 表表 1 上海每日最高气温统计表上海每日最
2、高气温统计表 （单位：）（单位：） 从表从表1 1中可以看出，中可以看出，20022002年年和和20012001年年2 2月下旬的气温相比，月下旬的气温相比，有有4 4天的温度相对高些，有天的温度相对高些，有3 3天的温度相对低些，还有天的温度相对低些，还有1 1天天的温度相同我们可以由此的温度相同我们可以由此认为认为20022002年年2 2月下旬的气温比月下旬的气温比20012001年高吗？年高吗？ 比较两段时间气温的高比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种低，求平均气温是一种常用的方法常用的方法 经计算可以看出，对于经计算可以看出，对于2 2月下旬的这段时间而言，月下旬的这段时间而言
3、，20012001年和年和20022002年上海地区年上海地区的平均气温相等，都是的平均气温相等，都是1212这是不是说，两个这是不是说，两个时段的气温情况没有什么时段的气温情况没有什么差异呢？差异呢？ 图图1 1是根据两段时间的气温是根据两段时间的气温情况绘成的折线图情况绘成的折线图 图图1不同时段的最高气温不同时段的最高气温 观察一下，它观察一下，它们有差别吗？们有差别吗？通过观察，我们可以发通过观察，我们可以发现：现： 图（图（a a）中折线波动）中折线波动的范围比较大的范围比较大从从66到到2222，图（，图（b b）中折线）中折线波动的范围则比较小波动的范围则比较小从从99到到161
4、6 什么样的指标可以反映一什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？组数据变化范围的大小？思思 考考我们可以用一组数据中的最大我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围用这种这组数据的变化范围用这种方法得到的差称为方法得到的差称为极差极差 极差最大值最小值极差最大值最小值 在图在图1 1中我们可以看出，图（中我们可以看出，图（a a）中最高气温）中最高气温与最低气温之间差距很大，相差与最低气温之间差距很大，相差1616，也就，也就是极差为是极差为1616；图（；图（b b）中所有气温的极差）中所有气温的极差为为77，所以从图中看，整个气温
5、变化的范，所以从图中看，整个气温变化的范围不太大围不太大 在生活中，我们常常会和在生活中，我们常常会和极差打交道班级里个子最高极差打交道班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多的学生比个子最矮的学生高多少？家庭中年纪最大的长辈比少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些年纪最小的孩子大多少？这些都是求极差的例子都是求极差的例子思考思考为什么说为什么说下图中的下图中的两个城市，两个城市，一个一个“四四季温差不季温差不大大”，一，一个个“四季四季分明分明”？ 问题问题2小明和小兵两人参加体育项目训练，近期小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如表的五次测试成绩如表2所示谁的成
6、绩较为稳所示谁的成绩较为稳定？为什么？定？为什么？表 2 通过计算，我通过计算，我们发现两人测试成们发现两人测试成绩的平均值都是绩的平均值都是1313分从图分从图2 2可以看到：可以看到：相比之下，小明的相比之下，小明的成绩大部分集中在成绩大部分集中在1313分附近，而小兵分附近，而小兵的成绩与其平均值的成绩与其平均值的离散程度较大的离散程度较大思思 考考 什么样的数能反映一组数据与什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？其平均值的离散程度？ 通常，如果一组数据与其平均通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说值的离散程度较小，我们就说它比较稳定它比较稳定 我们已经看出，小兵的
7、测我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小那么如何加以而小明的较小那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？在表平均值的差进行累加吗？在表3 3中写出你的计算结果中写出你的计算结果表 3 通过计算，依据最后的结果可通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗？的波动情况吗？如果不行，请你提出一个可行如果不行，请你提出一个可行的方案，在表的方案，在表4 4的红色格子中的红色格子中写上新的计算方案，并将计算写上新的计算方案，并将计算结果填入表中结果填入表中表 4
8、思思 考考如果一共进行了如果一共进行了7 7次测试次测试, ,小明因故缺席了两小明因故缺席了两次次, ,怎样比较谁的成绩更稳定怎样比较谁的成绩更稳定? ?请将你的方法请将你的方法与数据填入表与数据填入表5 5中中. . 我们可以用我们可以用“先平均，再求先平均，再求差，然后平方，最后再平均差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况这个结果离平均值的情况这个结果通常称为通常称为方差方差 222222123451()()()()()5sxxxxxxxxxx 我们通常用我们通常用S S2 2表示一组数据表示一组数据的方差，用的方差，用 表示一组数据表示一
9、组数据的平均数，的平均数，x x1 1、x x2 2、 表示表示各个数据问题各个数据问题2 2中方差的中方差的计算式就是计算式就是 x从方差的计算过程，可以看从方差的计算过程，可以看出出S S 2 2的数量单位与原数据的的数量单位与原数据的不一致了，因此在实际应用不一致了，因此在实际应用时常常将求出的方差再开平时常常将求出的方差再开平方，这就是方，这就是标准差标准差 2标准差方差方差标准差练习：练习：1.1.比较下列两组数据的极差和比较下列两组数据的极差和 方差方差: :A A组组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, :0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; 5,
10、 5, 5;B B组组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9,:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5 5, 5表表 1 上海每日最高气温统计表上海每日最高气温统计表 （单位：）（单位：） 练习：练习：2.2.算一算算一算, , 哪段时间气温的离散程度哪段时间气温的离散程度较大较大? ? 练习：练习：3.3.下面是两个水果店下面是两个水果店1 1至至6 6月份的销售月份的销售情况（单位：千克），分析这两个水情况（单位：千克），分析这两个水果店销售量的稳定情况果店销售量的稳定情况. . 小结小结1.1.极差最大值最小值极差最大值最小值 2.2.我们可以用我们可以用“先平均，再求差，先平均，再求差，然后平方，最后再平均然后平方，最后再平均”得到的得到的结果表示一组数据偏离平均值的结果表示一组数据偏离平均值的情况这个结果通常称为情况这个结果通常称为方差方差 3.3. 2标准差方差方差标准差