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1、3.1.2 用二分法用二分法 求方程的近似解求方程的近似解郑州一中高一郑州一中高一 数学备课组数学备课组复习回顾 问题问题1:函数函数 的零点与相应方程的零点与相应方程的实数根有怎样的关系的实数根有怎样的关系? xfy 0 xf问题问题2： 函数函数 一定有零点吗一定有零点吗? 在怎样的在怎样的条件下函数条件下函数 一定有零点一定有零点? xfy .0, 0, 0,的根也就是方程这个使得存在内有零点，即在区间那么，函数并且有连续不断的一条曲线，上的图像是在区间如果函数零点存在性定理：xfccfbacbaxfybfafbaxfy xfy 问题问题3:你会解下列你会解下列方程吗方程吗?你会解你会解
2、方程方程lnx+2x-6=0的近似解的近似解吗吗?2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0问题问题4: 如何找出函数如何找出函数 在区间在区间(2,3)内零点的近似值内零点的近似值?(误差小于误差小于0.1) 62lnxxxf游戏规则：游戏规则： 给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100 200之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，这件商品就是你的了这件商品就是你的了。 游戏：游戏： “看商品猜价格”，请同学们猜一下下面这部科学计算器(120200元间)的价格。要求:误差小于1元 合作探究合作探究：你猜这件商品的
3、价格，是如何想的？在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中？（对半猜）（对半猜）这能提供求方程近似解的思路吗这能提供求方程近似解的思路吗如何找如何找 ？有一个很直观的想法有一个很直观的想法： 如果能将解所在区间的范围缩小，那么在如果能将解所在区间的范围缩小，那么在此精确度要求下，我们就可以得到解的近似值此精确度要求下，我们就可以得到解的近似值.例例:求方程求方程 的近似解的近似解(误差小于误差小于0.1). 062ln xx问题可以转化为函数问题可以转化为函数 在区间（在区间（2，3）内零点的近似值。内零点的近似值。 由前面的分析可知由前面的分析可知,联系方程的根和函数的零点的关系联系方程的根和
4、函数的零点的关系， 62lnxxxf5 . 25625. 2或x求函数求函数 在区间（在区间（2，3）内零点的近似值）内零点的近似值.区间区间中点的值中点的值中点函数中点函数近似值近似值区间长度区间长度（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.5625）2.52.752.6252.5625（2.5，2.625）-0.0840.5120.2150.06610.50.250.1250.0625(精确度为精确度为0.1)所以方程的近似解为所以方程的近似解为 62lnxxxf 思考思考:通过这种方法通过这种方法,是否可以得到任意精确是否可以得到任意精确度的近似值度的近似值? （如精确度
5、为0.01）区间区间中点的值中点的值中点函数中点函数近似值近似值区间长度区间长度 ln262 3f xxx求函数在区间， 零点的近似值.（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.5625）（2.53125，2.5625）（2.53125，2.546875）（2.53125，2.5390625）2.52.752.6252.56252.531252.546875（2.5，2.625）2.53906252.53515625-0.0840.5120.2150.066-0.0090.0290.0100.00110.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078
6、125(精确度为精确度为0.01) 所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值. .,01. 00078125. 05390625. 253125. 2ba由于由于如图如图a设函数的零点为设函数的零点为 ,0 x则则.0bxa=2.53125,=2.5390625，b0 x.ab所以所以,01. 0,01. 000babxabax所以方程的近似解为所以方程的近似解为.5390625. 2x 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过
7、不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法(bisection).ba, 0bfaf xfy xf二分法二分法abxy0问题问题5:你能归纳出你能归纳出“给定精确度给定精确度,用二分用二分法求函数零点近似值的步骤法求函数零点近似值的步骤”吗吗?3.3.计算计算 ； cf（1 1）若）若 ，则，则 就是函数的零点；就是函数的零点； c 0cfba, 0bfaf1.1.确定区间确定区间 , ,验证验证 , ,给定精确度给定精确度 ; ;
8、 2.2.求区间求区间 的中点的中点 ； ba,c 0cfafcb cax,0（2 2）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）. . （3 3）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）. . 0bfcfbcx,0ca 4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：即若：即若 ，则得到零点，则得到零点 近似值近似值 （或（或 ）；否则重复）；否则重复2 24.4.baab xf 给定精确度给定精确度 ,用二分法求函数用二分法求函数 零点近似零点近似值的步骤如下值的步骤如下: 2370,237,xxxf xx解：原方程令用计算器作出函数的对应值表与图像. 732xxfxx01234
9、6578-6-2310214075142273列表列表利用几何画板绘制函数图像利用几何画板绘制函数图像尝试尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.1）.分析：先确定函数零点的范围；再用二分法去求方程的近似解分析：先确定函数零点的范围；再用二分法去求方程的近似解 取（取（1，1.5）的中点）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= - -0.87，因为，因为f(1.25)f(1.5)0，所以，所以x0（1.25，1.5） 同理可得，同理可得， x0（1.375，1.5），），x0（1.375，1.4375），由于），
10、由于 |1.375-1.4375|=0.0625 0.1所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.4375尝试尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程732 xx 0:,10,20,120,1,2.fffff xx解由图像和函数值表可知则所以在内有一个零点的近似解（精确度的近似解（精确度0.1）. 101,21.5,1.50.33,11.501,1.5 .xfffx 取区间的中点因为所以3310 xx 借助计算器用二分法求方程的近似解借助计算器用二分法求方程的近似解(精确度精确度0.1).方程的近似解为方程的近似解为0.31250.375.x 或基本
11、知识基本知识:1. 二分法二分法的定义的定义; 2.用用 二分法二分法求解方程的近似解的步骤求解方程的近似解的步骤.问题问题6:通过本节课的学习通过本节课的学习,你学会了哪些知识你学会了哪些知识? 哪些思想方法哪些思想方法?课外探究课外探究:利用二分法可以找出方程的所有解吗利用二分法可以找出方程的所有解吗?除了用二分法可求解方程的近似值外除了用二分法可求解方程的近似值外,还有其他方还有其他方法吗（如三分法、十分法等）法吗（如三分法、十分法等）?基本方法：基本方法：观察、分析、类比、归纳观察、分析、类比、归纳作业世纪金榜世纪金榜P70-72课后巩固作业（二十四）课后巩固作业（二十四）谢谢大家谢谢大家! !欢迎大家提出问题，共同讨论！欢迎大家提出问题，共同讨论！