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1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案广东省中山市第一中学 鲁涛(人教版高中数学教材)教学目标：1、知识目标：（1）知道为什么要引入新数 i（虚数单位） ；（2）能准确指出复数的实部和虚部；（3）能准确指出复数的分类；（4）根据两个复数相 等的条件，解决复数相等的问题。 2、能力目标：（1）了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，培养学生独立思考和创新思考的能力；（2）通过介绍复数相等的知识，体会转化思想在数学乃至整个科学研究 中所占的核心地位和作用。3、情感目标：（1）了解数系的扩充过程，了解中国数学的辉煌和贡献，增强对数学的信心和兴
2、趣; （2）体会任何的科学创造都有他的实际需要和必然性，追求真理的道路是曲折的，但我们有理由为之放弃一切。教学重点：（1）复数的概念；（2）复数的分类；（3）复数相等的条件。教学难点：为什么要引入新数 i 及其对 i 的理解。教学方法和手段：本节运用大量的数学史材料激发学生的求知欲，使学生主动到参与教学活动中来，在教师的指导下发现、分析解决问题、总结方法、总结规律，培养学生积极探索的科学精神。教学过程：一、引入：数的历史1、自然数的出现： 远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果等计数问题，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了自然数，自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发端。 自
3、然数的引入，解决了日常生活计数的问题。 （知识扩充：古代印度人最早使用了“0” ，公元 5 世纪时， “0”已经传入了罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0” 。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，砍去了双手。 ）2、负数的出现： 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数。负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾。 （知识扩充：负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法公元 3 世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运
4、算法则千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。 ）3、分数的出现： 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5 个人分 3 件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早 1400 多年！ 分数的引入解决了在整数集中不能整除的矛盾。4、无理数的出现： 2500 年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条。有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1 的正方形对角线长是一个奇怪的数。于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示。但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命
5、令他不许外传。但希伯斯却将这一秘密透露了出去。毕达哥拉斯大怒, 将他扔入了大海。希伯斯发现的这类数,被称为无理数。 无理的引入解决了开方开不尽的矛盾。5、对数的发展历程进行整理：提问：实数能解决所有的数学问题吗？讨 论：在实数集中，方程 有解吗？若给方程一个解 ，则这个解210xi要满足什么条件？ 是否在实数集中？实数 与 相乘、相加的结果应如何？i i ai二、新课讲解：1、虚数单位 :(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则i 21i运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (知识扩充：1637 年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” ，1777 年，瑞士数学
6、家欧拉在其论文中首次用符号“i” 规定: 称 i 为虚数单位。)2、复数的 概念 ：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复(,abRab数的虚部， 叫虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。复i C数通常用字母 z 表示，即 ，这一表示方式叫做复数的代数形(,)zi式。练习 1：写出下列复数的实部与虚部：的实部为_，虚部_；423i的实部为_，虚部_；的实部为_，虚部_；6i的实部为_，虚部_；4的实部为_，虚部_03、复数的 分类 ： 0,)0)Za实 数 (b=复 数 纯 虚 数 (b虚 数 一 般 虚 数练习 2：说明下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指
7、出该复数的实部与虚部：， ， ， ， ， ， ， 39i580.6127i2(13)i练习 3：判断下列命题是否正确：（1）若 为实数，则 为虚数；,abzabi（2）若 为实数，则 必为纯虚数；（3）复数 的实部是 ，虚部是 ；mnin（4）当 时，有 ；zC20z（5） ， 分别为实数集和纯虚数集，则有RI RIC例 1（课本例题）实数 取什么数值时，复数 是:(1)实数；1()zmi(2)虚数；(3)纯虚数解：（1）当 ，即 ，复数 是实数；10m1z（2）当 ，即 ，复数 是实数；（3）当 ，即 时，复数 是纯虚数(1)0z4、复数的 相等 ：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们
8、就说这两个复数相等。符号表达：若 ， ,abcdRabicdiacb练习 4：已知 ，求实数 ， 。()2)(5)(3)xyxixyixy解：根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组解得523xy2y练习 5：已知复数 ，求实数 的值。2()()3xixix解：根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组解得 或23xx1练习 6：若 ，求实数 的值。22()(56)0ix解：根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组解得23056x2x练习 7：求适合等式 的 的值（其中 ， 是纯虚数） 。(1)xiy,xRy解：设 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组ybiR解得210x12xb,2yi5、
9、对目前所有数系的整理：6、课堂拓展：数的概念发展到复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是 1843 年 10 月 16 日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阵等概念称为广义
10、数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。三、课堂小结：1、为了满足解决实际问题和数学自身发展的需要，数系一次一次的扩充，不断的推进着数学的发展2、复数的概念：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复(,)abiRab数的虚部， 叫虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。复i C数通常用字母 z 表示，即 ，这一表示方式叫做复数的代数形(,)zi式。3、复数的分类： 0,)0)Za实 数 (b=复 数 纯 虚 数 (b虚 数 一 般 虚 数4、复数的相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。四、作业布置：1、习题 3.1A 组 1（考察复数相等的充要条件）习题 3.1A 组 2（考察复数分类的充要条件）习题 3.1A 组 3（考察复数实部虚部的概念）2、科普图书推荐阅读：数字的历史作者：马文元编著数的世界作者：（美）艾阿西莫夫著，广西人民出版社