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1、28.128.1 锐角三角函数锐角三角函数第第3 3课时课时 利用方位角、坡度解直角三角形利用方位角、坡度解直角三角形AB学学习习目目标标1.正确理解方向角、坡度的概念；（重点）2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.(难点)如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD陡些如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 情景引入情景引入以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90的角,叫做方位角.如图所示：3045BOA东西北南方位角4545西南O东北东西北南西北东南北偏东30南偏西45一、解与方位角有关的问题一、解与方位角有关的问题例1 如图，一艘海轮位于灯
2、塔P的北偏东65方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？6534PBCA 典例精析典例精析解：如图 ，在RtAPC中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在RtBPC中，B34当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.23n mile6534PBCAsinPCBPB72.872.8130.23 nsinsin340.559PCPBB（ mile)例2 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)救生员甲在
3、A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去若CD40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43). 分析： 在RtCDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可解：由题意得BCD55，BDC90.BDCDtanBCD40tan5557.2(米)BCCDcosBCD40c
4、os5570.2(米)t甲57.221038.6(秒)，t乙70.2235.1(秒)t甲t乙答：乙先到达B处水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3 ，斜坡CD的坡度i=1 2.5 ， 则斜坡CD的坡面角 ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.52363:1i 二、解与坡度有关的问题二、解与坡度有关的问题lhi= h : l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1 m的形式，如i=1 6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=hl3.坡度与坡
5、角的关系itanhl坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_.3:1lh301：11: 3 练一练练一练例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）？i=1:2 典例精析典例精析在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，解： 用表示坡角的大小，由题意可得因此26.57.答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约107.3 m从而 BC=240sin
6、26.57107.3（m） 你还可以用其他方法求出BC吗？1tan0.52因此sin240BCBCAC例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD的坡度i=1 2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角（精确到 1）.EFADBCi=1:2.52363:1i 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE和RtCDF求出； 斜坡AB的长度
7、以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt ABE和Rt CDF.解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F,由题意可知EFADBCi=1:2.52361 3i:BE=CF=23m ， EF=BC=6m.在RtABE中13BEAEi33 2369m AEBE在RtDCF中，同理可得2.52.5 2357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7mABAEBE(2) 斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得22. 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的
8、坡角约为22.12.5CFFDi1.如图，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角ACB等于 90 当堂练习当堂练习2.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）. 45304米12米ABCD414. 12,732. 1345304米12米ABCEFD4tan45 ,DEiAEAE44()tan45AE米46.93()tan30BF 米解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米）， CDEF12（米） 在RtADE中， 在RtBCF中，同理可
9、得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米）答： 路基下底的宽约为22.93米3.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAD3060解：由点A作BD的垂线,交BD的延长线于点F，垂足为F，AFD=90.由题意图示可知DAF=30设DF= x , AD=2x则在RtADF中，根据勾股定理在RtABF中，解得x=6因而10.4 8，所以没有触礁危险.BADF3060222223AFADDFxxxtan,AFABFBF3tan30,12xx66 310.4.AFx解直角三角形的应用坡度问题方位角问题坡角坡度（或坡比） itanhl 课堂小结课堂小结