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1、推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明数学归纳法本章主要内容前提结论什么是推理？高二数学 选修2-2 第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理合情推理铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一
2、个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数
3、为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般 这种由某类事物的这种由某类事物的对象具有某些特征，推出该类对象具有某些特征，推出该类事物的事物的对象都具有这些特征的推理，或者由对象都具有这些特征的推理，或者由事实事实概括出概括出结论的推理，称为结论的推理，称为（简称（简称）.简言之：简言之：归纳推理是由特殊到一般的推理归纳推理是由特殊到一般的推理一、归纳推理一、归纳推理3710，31720，131730， 改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+1
4、1,， 根据上述过程根据上述过程, ,歌德巴赫大胆地猜想歌德巴赫大胆地猜想: :任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶的偶数都等于两个奇质数之和数都等于两个奇质数之和歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫提出猜想的推理过程歌德巴赫提出猜想的推理过程: :通过对一些偶数的验证，发通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于是猜想：是猜想：任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质数之和。的偶数都等于两个奇质数之和。费马费马我们知道方程 有无数多个正整数解，如 222zyx222543
5、22213125费马作了进一步探索： 等有没有整数解？他没有找到满足条件的正整数解，于是作出了一个重要猜想：444333,zyxzyx方程 没有正整数解。2nzyxnnn费马大定理12342222215211 7212 5 7216 5 5 3 7221n任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数观察到都是质数观察到都是质数,进而进而猜想猜想:任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数半个世纪之后，欧拉发现：429496729712526700417641新的猜想：形如 的数都是合数 5122nn宣布了费马的这个猜想不成立。宣布了费马的这个猜想不成立。 以后以后, ,人们又陆续发现人们又陆续发
6、现都是合数不是质数都是合数不是质数, ,也就是说目前只有也就是说目前只有n=0,1,2,3,4n=0,1,2,3,4这这5 5个情况下个情况下, , 才是质数才是质数. .67822221,21,21,122n 每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色. 1852年，英国人弗南西斯格思里为地图着色时，发现了四色猜想. 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明. 用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。 归纳推理的基础归
7、纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 检验猜想。检验猜想。 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； （猜想不一定正确）（猜想不一定正确） 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； 例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个
8、数列的通项公式.11nnnaaa分别把分别把n=2,3,4代入代入 得得:11nnnaaa观察可得：数列的前观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。项都等于相应项数的倒数。1nan 211112a31211213a41311314a由此猜想由此猜想（归纳）（归纳）这个数列的通项公式为：这个数列的通项公式为：2.2.人们仿照鱼类的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. .1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿, ,发明了锯发明了锯简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特
9、殊的推理的推理二、类比推理二、类比推理四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）球球线线几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形圆圆代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象平面几何平面几何立体几何立体几何点点探究探究 试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：空间中到一个定点的距离等于定球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概
10、念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相
11、等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R圆的周长圆的周长 S = 2RS = 2R圆的面积圆的面积2
12、 2S =RS =R类比推理的作用类比推理的作用根据图中根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有 个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)21nn12313414511)1(2 nnnnn个图形的点数个图形的点数第第类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象 的特征的特征, ,从而得出一个猜想；从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。类比推理的几个特点类比推理的几个特点;
13、;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础, ,类比类比出新的结果出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性. .3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠, ,但它却有发但它却有发现的功能现的功能. .例例2 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法
14、运算结果运算结果若若a,bR,则则a+bR运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,bR,则则abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a直角三角形直角三角形C C90902 2条直角边条直角边a a，b b和和1 1条斜边条斜边c c3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三个两两垂直的面三个
15、两两垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面” ” S S例例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。体性质的猜想。ABCbacs1s3PEF的面积为的面积为SPEs2F2322212ssss abc 变式练习：在变式练习：在三角形三角形ABC中有结论：中有结论：AB+BCAC，类似类似地在四面体地在四面体P-ABC中中有有 .PABCS1S2S3PAB的面积为的面积为SSSSS 321 合情推理合情推理归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理都是根据已有的事实，经过观察、都是根据已有的事实
16、，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。 通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的应用合情推理的应用数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向们提供证明的思路和方向两个推理两个推理的过程的过程:从具体问从具体问题出
17、发题出发观察观察,分析分析,比较比较,联想联想归纳归纳,类比类比提出提出猜想猜想例例4:4:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. . 按下列规则按下列规则, ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上. . 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片; ; 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. .试推测试推测; ;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需要移动多少次最少需要移动多少次? ?解解; ;设设a an n表示移动表示
18、移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n n=3=3时时,a,a3 3= = 7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4= = 1515猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-1123从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理1212A AD DE EC CM MB B1212,(,1),xxxx 任任取取且且22121122()()(2)(2) fxfxxxxx2121()(2) xxxx122112211212,0;,1,20.()()0,()().xxxxxxxxf xf xf xf x 所所以以所所以以