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1、2.1.12.1.1合情推理合情推理2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理推理推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般由两部分组成：前提和结论 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想(GoldbachGoldbach Conjecture)Conjecture)任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质数之和的偶数都等于两个奇质数之和不小于不小于6 6的偶数奇质数奇质数的偶数奇质数奇质数世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一3710，31720，131730，改写为改写为:1037，20317，30131763+3，1000100029+97129
2、+971，83+5，1002=139+863,105+5,125+7，147+7，165+11,，根据上述过程根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想歌德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶的偶数都等于两个奇质数之和数都等于两个奇质数之和歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫提出猜想的推理过程歌德巴赫提出猜想的推理过程:通过对一些偶数的验证，发现通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于是它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于是猜想：任何一个不小于猜想：任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质数之和。的偶数都等于两个奇质
3、数之和。这种由某类事物的这种由某类事物的部分部分部分部分对象具有某些特征，推出该类对象具有某些特征，推出该类事物的事物的全部全部全部全部对象都具有这些特征的推理，或者由对象都具有这些特征的推理，或者由个别个别个别个别事实事实概括出概括出一般一般一般一般结论的推理，称为结论的推理，称为归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理（简称（简称归纳归纳归纳归纳）.简言之：归纳推理是由特殊到一般的推理归纳推理是由特殊到一般的推理应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察特例发通过观察特例发现现特例的特例的某些共性某些共性;(
4、2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题(猜想猜想).例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=2,3,4代入代入 得得:观察可得：数列的前观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。项都等于相应项数的倒数。可用可用数学归纳法数学归纳法证明这个猜想是正确的证明这个猜想是正确的.由此猜想由此猜想（归纳）（归纳）这个数列的通项公式为：这个数列的通项公式为：如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则按下列规则
5、,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片;2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针,最少需要移动多少次最少需要移动多少次?解解:设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3123P84P84 例例4 4当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a
6、,a2 2=3 3解解;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n n=3=3时时,a,a3 3=7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4=1515猜想：猜想：把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针，最少要移动次号针，最少要移动次123=16-1=24-1=8-1=23-1=4-1=22-1=2-1=21-1练习练习故上面的归纳猜想不正确.根据图中根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有 个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)练习练习小结小结归纳推理的一般
7、步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察特例通过观察特例发现发现特例的特例的某些共性某些共性;(2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题(猜想猜想).(由特殊到一般的推理由特殊到一般的推理)推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。(由特殊到一般的推理由特殊到一般的推理)归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察特例发现通过观察特例发现特例的特例的某些共性某些共性;(2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题(猜想猜想).复习复习复习复习1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠
8、鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明发明了潜水艇了潜水艇.3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许发现火星与地球有许多类似的特征多类似的特征;1)1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)2)有大气层有大气层,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更;3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存知生物的生存,等等等等.科学家科学家猜想猜想;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在.圆
9、的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距
10、离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出求的性质利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积这种由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些这种由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称已知特征，推
11、出另一类对象也具有这些特征的推理称为为类比推理。类比推理。(简称类比简称类比)简言之：类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现。（但要注意，结论可能为真，也可能为假。但是它所具有的由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实都是十分有用的）类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间的相似特征找出两类对象之间的相似特征(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个命题得出一个命题(猜想猜想)。平面向量平面向量空间向量空
12、间向量若若 ，则则 若若 ，则则 利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和利用等差数列性质类比等比数列性质利用等差数列性质类比等比数列性质P82P82例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质（2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数。a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。方程ax=0ax=1(a0）解a=x（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的积都等于原来的数，即a+0=a