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1、16.1 二根次式第十六章 二次根式 优优 翼翼 课课 件件 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学下（RJ） 教学课件第2课时 二次根式的性质学习目标1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 导入新课导入新课情景引入问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 14算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a2()aa a01 1214我们都是非负数哟问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 140 -4 -1 1 16 4 1 116142a2aa a为
2、任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考 你发现了什么？ 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ，又面积为a，即 . （a0）的性质一2()a讲授新课讲授新课活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ a2aa2a这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ .算术平方根平方运算 0 2 4 .004213a(a0)a2)( a 02 = 0 .1321133观察两者有什么关系？ 2 22 = 42222_1.32
3、2_;24_;20_;41320根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 .同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.2222210,4,313归纳总结 的性质：2()(0)aa 一般地， a (a 0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a典例精析例1 计算： 2(1) ( 1.5) ;2(2) (2 5) ；解：2(1) ( 1.5)1.5.222(2) (2 5)2( 5)4 520.(2)可以用到幂的哪
4、条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2例2 在实数范围内分解因式： 42(2)44.yy解： 222422222(2)442222.yyyyyy2(1)3;x 2(1)333 .xxx 本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.归纳2()0aa a练一练 计算： 22(1) ( 5)(2) (2 2) . ； 解:2(1)( 5)5 . . 222( 2 ) ( 2 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 2 =8 . .平方运算算术平方根 2 0.1 0 .449a(a0)2a2a 2 .23观察两者有什么关系？ 0.010.
5、10230 的性质二2a填一填： a (a0).2a .平方运算算术平方根 -2 -0.1 .4492a2a 2 .23观察两者有什么关系？ 0.010.123a(a0)思考：当a0时， =2a？-a归纳总结a (a0)2aa-a (a0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 的性质：2(0)aa 例3 化简：(1) 16;2(2) ( 5)；解：2(1) 1644.22(2) ( 5)55.2(3) 10 ;2(4) (3.14) .22111(3) 10 =10=10=10 .2(4) (3.14) = 3.14=3.14. ，而3.14，要注意a的正负性.注意2aa 计算：
6、 22(1) (-2)(2) (-1.2). ； 练一练解:22 1 (-2) =2 =2 ( ) .( ) .22 2 (-1.2) = 1.2 = 1.2 ().().辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（ ）（ ）（ ）（ ）2222(1)22(2)22(3)22(4)22 议一议：如何区别 与 ？2a2()a2()a2a从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:222.abab解：由数轴可知a0，b0，a-b0，原式=
7、|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .2244aabbab解：根据数轴可知ba0，a+2b0，a-b0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b2244aabbab 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例5 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：222.abcbcacba解：a、b、c是ABC的三边长，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b
8、-c+a+b+a-c =3a+b-c分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+bc两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.概念学习数表示数的字母 想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式代数式的定义 三（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； 例6 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h(2.5)v(2.5)v（2）如图，小语要
9、制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长. （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为,15Sx 5.15S列代数式的要点：要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；理清语句层次明确运算顺序；牢记一些概念和公式 归纳总结1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7 B.32 C. D2x2223xyB练一练2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_.S 方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“”或“”等.当堂练习当堂练习1.
10、化简 得（ ）A. 4 B. 2 C. 4 D.-416C2. 当1x3时， 的值为（ ）A.3 B.-3 C.1 D.-12(3)3xxD3.下列式子是代数式的有 ( )a2+b2 ; ; 13; x=2; 3（4 5）;x10; 10 x+5y=15 ; ab.acbA.3个 B.4个 C.5个 D.6个C 4.化简：（1） ; （2） ; （3） ; （4） .2728137492( 4)81-1 012a5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 .22(1)aa16.利用a （a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .2()a212( 9)2( 5)2522142122( 0)7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.2242aaa 解：由题意得a+20，-4-2a0，a=-2， .2224222aaa (2)已知a为实数，求代数式 的值.249aaa解：由题意得-a20，又a20，a2=0，a=0， 24949231.aaa 能力提升：课堂小结课堂小结二次根式性质 2()(0)aaa a (a 0).2a2a拓展性质 |a|（a为全体实数）见学练优本课时练习课后作业课后作业