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1、大学高等数学(文科)温习重点第一章预备知识一、定义域1.已知()fx的定义域为(,0)-，求(ln)fx的定义域。答案：(0,1)2.求32233()6xxxfxxx+-=+-的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。答案：()()(),33,22,-+二、判定两个函数能否一样？1.2()lgfxx=，()2lggxx=能否表示同一函数？答案：否2.下列各题中，()fx和()gx能否一样？答案：都不一样()2ln1(1)(),()11(2)(),()sinarcsin(3)(),()xxfxgxxxfxxgxxfxxgxe-=-+=三、奇偶性1.判定()2xxeefx-=的奇偶性
2、。答案：奇函数四、有界性,0?xDK，使()fxK，则()fx在D上有界。有界函数既有上界，又有下界。1.()ln(1)fxx=-在(1,2)内能否有界？答案：无界2.221xyx=+能否有界？答案：有界，由于2211五、周期性1.下列哪个不是周期函数C。Asin,0yx=B2y=Ctanyxx=Dsincosyxx=+注意：=yC是周期函数，但它没有最小正周期。六、复合函数1.已知()fx?，求()fx例：已知10)fxxx?=+?，求()fx解1： (111111()1fxxxfxx?=+?=+解2：令1yx=，1xy=，1()fyy=+，(11()1fxxx=+=+2.设2211fxxx
3、x?+=+?，求()fx提示：222112xxxx?+=+-?3.设(sin)cos21fxx=+，求(cos)fx提示：先求出()fx4.设22(sin)cos2tanfxxx=+，求()fx提示：2222sin(sin)12sin1sinxfxxx=-+-七、函数图形熟记arcsin,arccos,arctan,cot=yxyxyxyarcx的函数图形。第二章极限与连续八、重要概念1.收敛数列必有界。2.有界数列不一定收敛。3.无界数列必发散。4.单调有界数列极限一定存在。5.极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。九、无穷小的比拟1.0x时，下列哪个与x是等价无穷小A。AtanxBs
4、in-xxCsin+xxD23x十、求极限1.无穷小与有界量的乘积还是无穷小。arctanlim0xxx=，coslim1xxxx-=，1limsin0xxx=，201limsin0xxx=，2lim01xxx+=+2.自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式例如：22323lim4354-=+xxxx提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。3.出现根号，首先想到有理化limlim0xx+=1232111312xxxxx+=-补充练习：1limn21x3)limxx+4)limxxx+530limxx4.出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限例：2211sinsin1limlim121(2
5、1)2xxxxxxxxxx=?=+作业：P497135.出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例：22221222122212limlim111xxxxxxxexx+-?+-?-?=+=?+?作业：P497466.00、0、-、00、1、0，能够使用洛必达法则作业：P995187.分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例：22320001sin1limsinlim33xxxxtdtxx=?补充练习：1sin00arcsinlimsinxxtdtxx?2200limxtxedtx?3()2200230sinlimsinxxxtdtttdt?411
6、1lim1xtxedtx-?十一、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。分段函数可能的间断点是区间的分界点。若00lim()()xxfxfx=，则()fx在0x处连续，否则间断。第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。1.设22,0(),0xxeexfxxkx-?+-?=?=?在0x=处连续，求?k=解：200002lim()limlimlim122xxxxxxxxxxeeeeeefxxx-+-+=()fx在0x=处连续，1k=2.作业：P494、10P5011、12
7、3.补充练习：1研究函数的连续性：211()1111xfxxxx-?，201()212xxfxxx?=?-?，20()0xxfxaxx?3求下列函数的间断点并确定其所属类型：23221145,cos,45156sinxxxxyyyyxxxxxx-?-=?-+?十二、闭区间上连续函数的性质零点定理：()fx在,ab上连续，且()()0fafb第三章导数与微分十三、重要概念1.可导必连续，但连续不一定可导。2.可导必可微，可微必可导。3.函数在0=xx处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。十四、导数的定义作业：P752十五、对于分段函数，讨论分界点能否可导？例：()fxx=在0x=处，连续但不
8、可导1.作业：P754、52.讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数20()0xxfxxx?=?=?，为使()fx在0x=处连续且可导，,ab应取什么值？答案：0,1ab=十六、求导数1.求函数的导数，十分是复合函数的导数作业：P756、102.利用对数求导法求导数作业：P76133.求隐函数的导数作业：P76124.求由参数方程所确定的函数的导数作业：P76145.求高阶导数作业：P75116.求切线方程、法线方程利用导数求出切线的斜率k，则法线的斜率为1k-例：求曲线cosyxx=-在2x=处的切线方程。解：1sinyx=+切线斜率22xky=，切线经过点,22?切线方程：222yx?-
9、=-?作业：P7537.求变上限函数的导数作业：P1564十七、求微分(),()yfxdyfxdx=1.(ln1y=，dyydx=2.21arctanln(1)ln32yxxx=-+，求dy解：222arctanarctan12(1)arctanxxyxxxxdyxdx=+-=+=作业：P7615十八、利用微分进行近似计算公式：()()()000fxxfxfxx+?+?作业：P7616第四章中值定理与导数的应用十九、利用拉格朗日中值定理证实不等式定理：设()fx在,ab上连续，在(),ab内可导，则在(),ab内至少存在一点，使得()()()fbfafba-=-证实步骤：1根据待证的不等式设函数()fx2叙述函数()fx知足定理条件3根据定理证实出不等式。1.作业：P9942.补充练习：证实下列不等式：1当0ab时，()()233233bababaab-时，xexe二十、单调性与极值