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1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例一一.复习复习:1.平面向量数量积的含义平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律.ab b| cos| cosab b(1) aabbbb(2)()()()aaabbbbbb(3)()aabccb cbccb c3.重要性质重要性质:(1)_.ab b|_.a(2)_.a a(3)| _ |.aabbbb设设a a 、b都是非零向量都是非零向量,则则0ab b2|a2a2a(4) c co os s= = |a ba bab 为为 ， 的的夹夹角角/ab当且仅当时，等号成立 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
2、 |AB|=|a |=2211xy212212yyxx向量的长度向量的长度(模模)222221212121yxyxyyxxa ba bcos向量的夹角向量的夹角设设a、b为两个向量为两个向量,且且a(x1，y1),b(x2，y2)1 21 2xxy y向量数量积的坐标表示向量数量积的坐标表示a b向量平行和垂直的坐标表示向量平行和垂直的坐标表示02121yyxxba1221/ /abx yx y设设a、b为两个向量为两个向量,且且a(x1，y1),b(x2，y2)1.1.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那
3、么对角线那么对角线ACAC的长是否确定？的长是否确定？A AB BC CD D?,. 2等等于于什什么么向向量量等等于于什什么么则则设设向向量量DBACABbADa3.AB=23.AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，用向量语言怎样表述？，用向量语言怎样表述？ab需需要要解解决决什什么么问问题题？若若求求利利用用ACACAC,.4225.5.根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：（1）
4、建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。练习练习: :用用向量方法向量方法求证：直径所对的圆周角为直角。求证：直径所对的圆周角为直角。已知已知: :如图，如图，ACAC为为OO的一条直径，的一条直径，ABCABC是圆周角是圆周角求证：求证： ABC=90ABC=90图2.5
5、-4AOCB利用向量的数量积利用向量的数量积可解决长度、角度、垂可解决长度、角度、垂直等问题直等问题理论迁移理论迁移1.1.三角形的三条高线具有什么位置关系？三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点交于一点?BAPC,PA. 2可可转转化化为为什什么么向向量量关关系系那那么么设设向向量量 cPCbPBaA AB BC CD DE EF FP Pabc3 3. .对于对于PABC,PBAC,PABC,PBAC,用向用向量观点可分别转化为什么结量观点可分别转化为什么结论论? ?4.4.如何利用向量观点如何利用向量观点证明证明P PC CBBA?A?练习练习: ABCD: ABCD中，点中，点E
6、 E、F F分别是边分别是边ADAD、DCDC边的中边的中点，点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点，你能发现两点，你能发现ARAR、RTRT、TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT1,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2,通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3,把运算结果翻译成几何关系. 向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向中有广泛的应
7、用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！量研究物理问题的相关知识！1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中，向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！力、速度、加速度、位移等都是向量！2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成加减法，运动的叠加也用到向量的合成！3. 功的定义即是功的定义即是F与所产生位移与所产生位移S的数量积的数量积例题例题例例1：同一平面内，互成：同一平面内，互成 的三个大小相的三个大小相等的共点力的合力为零。等的共点力的合力为零。BO120abcD
8、CA证：如图，用证：如图，用a，b，c表示这表示这3个共点个共点力，且力，且a，b，c互成互成120，模相等，模相等按照向量的加法运算法则，有：按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD又由三角形的知识知：三角形又由三角形的知识知：三角形OBD为为等边三角形，故等边三角形，故 a与与OD共线且模相等共线且模相等0120,0ODaabc 所以：即有：例例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你上做引体向上运
9、动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？能从数学的角度解释这个现象吗？分析：分析：上述的问题跟上述的问题跟如图所示如图所示的的是同个问题，抽象为数学模型如是同个问题，抽象为数学模型如下：下： F2F1FG用向量用向量F1，F2，表示两个提力，它们，表示两个提力，它们的合向量为的合向量为F，物体的重力用向量，物体的重力用向量G来表示，来表示， F1，F2的夹角为的夹角为，如右图，如右图所示，只要分清所示，只要分清F，G和和三者的关系，三者的关系，就得到了问题得数学解释！就得到了问题得数学解释！F1FG F2cos2探究：探究：（1）为何值时，为何值时， 最小，最小值是多少？最小，
10、最小值是多少？ F1（2） 能等于能等于 吗？为什么？吗？为什么？ F1 G F1解：不妨设解：不妨设 = ，由向量的由向量的 平行四平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：可以知道： = （*） 通过上面的式子，有：当通过上面的式子，有：当由由0到到180逐渐变逐渐变大时，大时， 由由0到到90逐渐变大，逐渐变大， 的值由大逐的值由大逐渐变小，因此渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即由小逐渐变大，即F1 ，F2之间之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1答：在（答
11、：在（*）式中，当）式中，当 =0时，时， 最大，最大， 最小且等于最小且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，当）中，当 = 即即=120时，时， = cos212 F1 GF2小结：小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量）由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！问题，用向量的有关法则解决问题！（3）用数学的结
12、果解决物理问题，回答相关）用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。的物理现象。例例3：如图如图，一条河流的两岸平行，河的宽度，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一，一艘船从艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流，水流的速度的速度 = 2km/h。（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ v1 v2分析：分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的
13、实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。方向时，小船的航程最小。500mA （2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸
14、方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。船过河所用时间才最短。把物理问题转化为数学模型为：把物理问题转化为数学模型为：解（解（1） = = 所以所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间答：行驶的航程最短时，所用的时间是是3.1min。 v- v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1vkm/h一、选择题（每小题一、选
15、择题（每小题3 3分，共分，共1515分）分）1.1.已知已知| |=2| |,| |=2| |,且且| |0| |0且关于且关于x x的方程的方程x x2 2+| |x-+| |x- =0 =0有两相等实根，则向量有两相等实根，则向量 与与 的夹角是（的夹角是（ ）（A A）- - （B B）- - （C C） （D D）【解析【解析】选选D.D.由已知可得由已知可得=| |=| |2 2+4 +4 =0 =0，即即4| |4| |2 2+4+4|2 |2 | |cos| |cos=0,=0,coscos=- ,= .=- ,= .abababab63323bbabab23212.2.如图，
16、已知正六边形如图，已知正六边形P P1 1P P2 2P P3 3P P4 4P P5 5P P6 6，下列向量的数量积中最，下列向量的数量积中最大的是大的是 （ ）【解析【解析】选选A.A.利用数量积的几何意义，向量利用数量积的几何意义，向量 、 、 、 中，中， 在向量在向量 方向上的投影最大，故方向上的投影最大，故 最大最大. .13PP14PP 15PP16PP 13PP12PP 12PP 13PPCB PA PB 3.3.已知已知P P是是ABCABC所在平面内的一点所在平面内的一点, ,若若 = + ,= + ,其其中中RR, ,则点则点P P一定在（一定在（ ）（A A）ACAC
17、边所在的直线上边所在的直线上 （B B）BCBC边所在的直线上边所在的直线上（C C）ABAB边所在的直线上边所在的直线上 （D D）ABCABC的内部的内部【解析【解析】选选A.A.CC、P P、A A三点共线三点共线,P,P在在ACAC边所在的直线上边所在的直线上. . 4.4.（20102010广州模拟）已知非零向量广州模拟）已知非零向量 , , 和和 满足满足 则则ABCABC为（为（ ）（A A）等边三角形）等边三角形 （B B）等腰非直角三角形）等腰非直角三角形（C C）非等腰三角形）非等腰三角形 （D D）等腰直角三角形）等腰直角三角形BC AC AB 【解析【解析】选选A. A
18、. 表示的是表示的是BACBAC的平分线上的的平分线上的一个向量，又与一个向量，又与 的数量积等于的数量积等于0 0，故，故BCBC与与AA的平分线垂的平分线垂直，直，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .又又 , ,即即cosBCAcosBCA= ,= ,BCA= ,BCA= ,ABCABC是等边三角形是等边三角形. .BC 2135.5.已知已知a,b,ca,b,c分别为分别为ABCABC的三个内角的三个内角A,B,CA,B,C的对边的对边, ,向量向量=(2cosC-1,-2), =(cosC,cosC+1),=(2cosC-1,-2), =(cosC,cosC+1),若若 , ,且
19、且a+ba+b=10,=10,则则ABCABC周长的最小值为（周长的最小值为（ ）（A A）10-5 10-5 （B B）10+510+5（C C）10-2 10-2 （D D）10+210+2mnmn3333【解析【解析】选选B.B.由由 (2cosC-1)(2cosC-1)cosC-2cosC-2(cosC+1)=0,(cosC+1)=0,解得解得cosCcosC=- .=- .又由余弦定理得又由余弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=(a+b)-2abcosC=(a+b)2 2- -2ab-2abcosC=100-2ab-2ab2ab-2abcosC=100-
20、2ab-2ab(- ),(- ),c= =5 (c= =5 (当且仅当当且仅当a=b=5a=b=5时取等时取等号号),),所以所以ABCABC的周长的周长C10+5 .C10+5 .mn2121100ab2100()2ab33abab33二、填空题（每小题二、填空题（每小题3 3分，共分，共9 9分）分）6.6.（20102010泉州模拟）已知向量泉州模拟）已知向量 =(cos,sin), =(cos,sin), =(cos(+ ),sin(=(cos(+ ),sin(+ ),+ ),则则| - |=_.| - |=_.【解析【解析】答案答案: :1 1 OAOC OB OC OB 7.7.若
21、若O O为为ABCABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足( - )( ( - )( + -2 )=0,+ -2 )=0,则则ABCABC的形状为的形状为_._.【解析【解析】由已知由已知ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .答案答案: :等腰三角形等腰三角形8.8.（20102010聊城模拟）给出以下四个命题：聊城模拟）给出以下四个命题：对任意两个向量对任意两个向量 , , 都有都有| |=| | | |=| | |；若若 , , 是两个不共线的向量，且是两个不共线的向量，且 = , = , 则则A A、B B、C C共线共线 1 12 2=-1=-1；若向量若向量 =(cos
22、,sin), =(cos,sin=(cos,sin), =(cos,sin),),则则 + + 与与 - - 的夹角为的夹角为9090；若向量若向量 、 满足满足| |=3,| |=4,| + |= ,| |=3,| |=4,| + |= ,则则 , , 的夹角为的夹角为6060. .以上命题中，错误命题的序号是以上命题中，错误命题的序号是_._.ababababababababababab13【解析【解析】错错, ,错，错，A A、B B、C C共线，共线， =k ,=k , 1 1=k=k 2 2k=1,k=1,1 12 2=1. =1. 答案答案: :AB AC 变式训练(2010年 高
23、一统考) 河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向8 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )v1v2 2vA AB BDA10 m/s B6 m/s C2 15 m/s D2 17 m/s 2、人骑自行车的速度为V1，风速为V2，则逆风行驶的速度大小为（ ）12AV -V、12BVV、12C VV、12VVD、C1、ABC中，已知 则ABC的形状是（ ）A、等腰三角形 B、正三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形AB = AC =4AB AC=8 ， 且拓展训练：B3.平行四边形ABCD中，若 则下列判断正确的是( )A四边形ABCD是矩形B四边形ABCD是正方形C四边
24、形ABCD是邻边不相等的平行四边形D四边形ABCD是邻边不垂直的菱形AB+AD = AB-AD A4、已知作用于原点的两个力F1=（3,4），F2=（2，-5），现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合力为0，则F=（ ）A（1,1） B（5，-1） C（-1，-9 ） D（-5,1）D5、已知向量a表示“向东航行3km”，b表示“向南航行3km”，则a+b表示（ ）A、向东南航行6km B、向东南航行C、向东北航行6km D、向东北航行3 2km3 2kmB几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化.1用向量解决平面几何问题2用向量解决物理问题物理问题转化为数学问题再用向量知识解决备选例题备选例题