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1、第四章练习题及参考答案第四章静态场的解练习题1、设点电荷q位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求1画出镜像电荷所在的位置2直角劈内任意一点),(zyx处的电位表达式3解：1镜像电荷所在的位置如图1所示。2如图2所示任一点),(zyx处的电位为?-+-=4321011114rrrrq其中，()()()()()()()()222422232222222121212121zyxrzyxrzyxrzyxr+-+=+=+-=+-+-=2、两个点电荷Q+和Q-位于半径为a的接地导体球的直径延长线上，距球心均为d。证实镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232dQa。证实：由点电荷的球面镜像法
2、知，Q和Q的镜像电荷QQ,分别位于球内Q和Q连线上大小分别为QDa，且分别距球心为Da2分别位于球心两侧。可见QQ,构成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：图1图2q-q+q-2322DQaDaQDaqlp=?=。结论得证。3、已知一个半径为a的接地导体球，球外一个点电荷q位于距球心O为d处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷q必定位于球内，且在q与球心0连线上，位置在距离球心设为f处。建立直角坐标系，由边界条件(?球=0可取球面上两个特殊点BA,讨论。BA,是q与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：0)(4
3、)(4)(00=+=faqadqA?，0)(4)(4)(00=-+-=faqadqB?。解此方程组得：dafqdaq2,=-=。所以任意场点),(yxP处的电位为：rqrq+=0044?。其中rr,分别是点电荷q和q到场点P的距离。值分别为21222122)(,)(yfxrydxr+-=+-=。4、半径为a的不接地导体球附近距球心O为d?da处有一点电荷q，用镜像法计算球外任一点的电位。解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷除了有q即导体球接地时对应的结果，qdaq-=，其位置为daf2=，还在球心处有另外一个镜像电荷q，以保证导体球面电势不为零的边界条件成立，且可知qq-=。所以任意场点P
4、处的电位为：rqrqrq+=000444?其中rrr,分别是点电荷q、q和q到场点P的距离可在详细坐标系中表示出来。5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h。1导出电位函数知足的方程并应用镜像法求出位函数的解。2求导体外表上感应面电荷密度，并证实总感应电荷为1。解：1由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即0=。故电位函数知足拉普拉斯方程02=?。建立坐标系，令0=z为导体平面，已知点电荷位于z轴上，坐标为0，0，h。边界条件为：0)0(,0)(=z?。则镜像电荷位于z轴上0，0，h-点，大小为-1.于是空间任意场点P【坐标为zyx,，】的电位为已知点电荷1与镜
5、像电荷-1共同产生的，其值为/004141rr?-+=。其中rr,是场点分别到已知点电荷1与镜像电荷-1的距离，其值分别为2222222)(,)(hzyxrhzyxr+=-+=。2证实：由上题电位值可计算出P点的电场强度各分量的值份分别为)(41),11(4),11(4330330330rhzrhzErryErrxEzyx+-=-=-=由静电场的边界条件snD=，可得导体外表的电荷面密度为：232220)(2hyxhEZs+-=所以导体外表上总感应电荷为：1)(223222-=+-=?-hyxdxdyhdsqs，结论得证。6、如题图a所示，在0z和0解：1在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出
6、现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为如题图b、c所示qq-=-+，位于hz-=0qq-=+，位于hz=上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即10100222200444()()qqRRqrzhrzh?=+?=-?+-+?下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即2222042()()qqRrzh?+=+-2由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为()1200120()pzzzzEE=?-=-nPP0210022320()()2()()zhqzzrh?=-?=-=-?+极化电荷总电量为02232000()d2dd()PPPS
7、hqrqSrrrrh-=-+?题4.24图b图2.13zqhhq1RPRo题4.24图azqho0z0h0qq+2RPo题4.24图c8、已知一点电荷q与无穷大导体平面相距为h，若把它移动到无穷远处需要作多少功？解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。令已知点电荷q位于坐标轴上，距坐标原点为h。直接计算电场力做功为?=ldEqW其中电场是已知点电荷q所在空间的电场由q以外的电荷所激发，即镜像电荷q在此空间产生的电场：yyeyqeyqE?)2(4?)2(42020-=则要求的功为hqdyyqqqEdyldEqWh022016)2(4-=-=?=?可见，电场力做负功，则外力克制电场力
8、做功为hqW0216=9、无限大导体平面上方有一电荷线密度为l的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为h，求此电荷线单位长度所受的力。解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知，同样能够应用点电荷的平面镜像法求解。因而，长直线电荷l的镜像电荷为线密度为ll-=，距离导体平面为h的电荷。已知线电荷l所受的力即镜像电荷l在此空间产生的电场E所施加。其电场为rler?20-=E则长度为L的线电荷l总电荷LQl=所受的电场力为hLhLlll4)2(2020-=-=QEF故单位长度所受的力为：hLFl402-=f10、一导体长槽两侧壁向y方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为0U，
9、如下图。求槽横截面内的电位分布。解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数()y,x知足的拉普拉斯方程为：()022222=?+?=?yxy,x边界条件为：00=?=x0=?=ax00Uy=?=0=?=y利用分离变量法，令：()()()ygxfy,x=则得：0022222222=+=+=+yxyxkkgkdygdfkdxfd根据边界条件00=+=yaxx，()y,x的通解可写为：再由边界条件，可得 ()yannnexanAyx-=?=sin,11sinUxanAnny=?=利用三角函数的正交归一性，求得nA为：()?=1,3,540nnUAn则得槽内的电位分布为()yannexannUyx-=
10、?=sin4,.5,3,1011、如下图为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U，求槽内的电位函数。解：根据题意，电位(,)xy?知足的边界条件为(0,)(,)0yay?=(,0)0x?=0(,)xbU?=根据条件和，电位(,)xy?的通解应取为1(,)sinh()sin()nnnynxxyAaa?=由条件，有01sinh()sin()nnnbnxUAaa=利用三角函数的正交归一性，两边同乘以sin()nxa，并从0到a对x积分，得到002sin()dsinh()anUnxAxanbaa=?02(1cos)sinh()4,1,3,5,sinh()02,4,6,UnnnbaUnnnban=-?=?=?=?LL，故得到槽内的电位分布1,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()nUnynxxynnbaaa?=L