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1、数值计算方法复习2016计算方法温习务必通过本提纲例子和书上例子把握如下书本内容：1.会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky分解的平方根法求解方程组2.会用插值基函数；会求Lagrange,会计算差商和Newton插值多项式和余项3.会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4.会写非线性方程根的Newton迭代格式;斯蒂芬森加速5.会用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求解初值问题6.会最小二乘法多项式拟合7.会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差
2、的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。(二)温习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。三例题例1.设x=0.231是准确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。例2.为了提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将)1ln(2-xx改写为)1ln(2+-xx。例3.3*x的相对误差约是*x的相对误差的1/3倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度;迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen斯特芬
3、森迭代法；牛顿法；弦截法。(二)温习要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.理解把握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.把握牛顿法及其收敛性、下山法,了解重根情形。5.了解弦截法。三例题1.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A)11,1112-=-=+kkxxxx迭代公式(B)21211,11kkxxxx+=+=+迭代公式(C)3/12123)1(,1kkxxxx+=+=+迭代公式(D)231xx=-迭代公式11221+=+kkkkxxxx解：
4、在(A)中,2/32)1(21)(,11)(,11-=-=-=xxxxxx?2/3)16.1(21-=1.076故迭代发散。应选择(A)。能够验证在(B)，(C)，(D)中，?(x)知足1)解之得，91,95-=rqp，且0)(3a?，故迭代公式是三阶收敛的.P25.例2-4P30.例2-6P33.例2-8P35例2-10P35.例2-11第3章、线性代数方程组的数值解法(一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR，迭代解数列收敛的条件。(二)温习要求1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种
5、范数。2.把握高斯消去法，把握高斯列主元素消去法。4.把握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。6.了解迭代法及其收敛性的概念。7.把握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。三例题1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组?=?201814513252321321xxx解：1)Gauss消去法?-?-?7224001041014321224501041014321205131825214321，回代x3=3,x2=2,x1=12)直接三角分解
6、法(杜利脱尔分解)：?-?-=?2400410321153121513252321=LU解Lyb=，Ux=y得x=(1,2,3)T2.用平方根法Cholesky分解求解方程组：?=?7351203022323321xxx解：由系数矩阵的对称正定性，可令TLLA=，其中L为下三角阵。?-?-=?3636333233633633231203022323求解?=?-735363363323321yyy可得?=-=316135321yyy，求解?=?-321321363633323yyyxxx可得?=31211321xxx3.讨论AXb=的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，1
7、22111(1,1,0)221TAb-?=-=?-?解：Jacobi迭代法的迭代矩阵110221()1011220JBIA-?=-=?则30()01JJIBB-=?=22(44)0()21GSIBB-=-=?=+Gauss-Seidel迭代发散.4.已知方程组Axb=，其中211121112A?=?，111b?=?(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：1Jacobi迭代法：112312131312121212()()()()()()()()()()/()/()/kkkkkkkkkxxxxxxxxx+?=-?=-?=-?Ja
8、cobi迭代矩阵：1110221102211022()BDLU-?=+=?1()B=收敛性不能确定2Gauss-Seidel迭代法：112311213111312121212()()()()()()()()()()/()/()/kkkkkkkkkxxxxxxxxx+?=-?=-?=-?Gauss-Seidel迭代矩阵：1110221104211088()GDLU-?=-=-?-?1()B=解：由系数矩阵?=1321A可知，1雅可比迭代矩阵为?-=?-?=+=-0320032020)(110ULDB，由063220=-=-BI可知，16)(0=B，因此雅可比迭代法发散。2高斯-塞德尔迭代矩阵为?
9、-=?-?=?-?=-=-3202000202110100202101)(11ULDG，由03232022=+=+=-GI可知，32)(=G，因此高斯-塞德尔迭代法收敛。P68.例3-3P68.例3-4P72.例3-5P76.例3-7P77.例3-8P78.例3-9P79.例3-10P88.例3-15P89.例3-16P91.例3-17P98.例3-24P110.例3-30P111.例3-31P118.例3-36第4章、插值法(一)考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。(二)温习要求1.了解
10、插值的概念。2.把握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。3.了解均差的概念及基本性质，把握牛顿插值法。4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5.了解埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。三例题例1.设46)2(,16)1(,0)0(=fff,则=)(1xl-x(x-2)，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2-+=xxxxN;例2.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则33)2
11、()(-=jjjxxl=3)2(-x例3.给定数据表：5,4,3,2,1=i，求4解：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4-+-+-=-+-+-=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxN，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4-=xxxxxfxR。例4已知函数y=f(x)的观察数据为试构造f(x)n解先构造基函数845-4-=5-2-4-2-0-2-5-4-=0)()()()()(xxxxxxxl405-4-2+=5-04-
12、02-05-4-2+=1)()()()()()()(xxxxxxxl245-2+-=5-40-42+45-2+=2)()()()()()(xxxxxxxl354-2+=4-50-52+54-2-2+=3)()()()()()()(xxxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=3)(kkkxly845-4-?5-)(xxx405-4-2+)()(xxx245-2+?3-)()(xxx354-2+)()(xxx1+2155-141-42523xxxP3(1)724=1+2155-141-425-例试用此组数据构造Lagrange插值多项式()xL2,并求()5.12L。解：()()()()2211
13、002yxlyxlyxlxL+=，所以()()()()()()()()()()()()()3120210221012021010212?-+?-+?-=xxxxxxxL()()()xxxxxx-+-+-=22223222321=1+x，()5.25.12=L。例6.13)(47+=xxxxf，求2,2,2710f，2,2,2810f.解：1!7!7!7)(2,2,2)7(71=ff，0!80!8)(2,2,2)8(810=ffP130.例4-4P131.例4-5P133.例4-7P135.例4-10P142.例4-13P143.例4-14P145.例4-15第5章、曲线拟合(一)考核知识点勒让
14、德多项式；切比雪夫多项式；曲线拟合;最小二乘法，正则方程组，线性拟合,超定方程组的最小二乘解,多变量的数据拟合,多项式拟合;正交多项式曲线拟合.(二)温习要求1.了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。3.了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。三例题1用最小二乘法求一个形如2bxay+=的经历公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。解：由题意,12xspan=，210)(,1)(xxx=?，()51,5100=i?，()5327193614449616253614
15、438312519,2222251210=+=+=iix?，()7277699374809620851369235213906251303214438312519,4444451411=+=+=iix?()4.2718.973.730.493.320.19,5101=+=iiyyd?。()5.3693218.1893402.105845470895.201876859448.97383.73310.49253.32190.19,2222251212=+=?+?+?+?+?=iiixyyd?。故法方程为?=?5.3693214.2717277699532753275ba，解得?=0500351.
16、0972604.0ba。均方误差为01693.0)()()(5122512=-+=-=iiiiiixybxaxyxS2.给定数据表试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解332210)(xcxcxccxy+=?-=84211111000111118421A，?=130034003401034010001005AATTTyA)4.14,7,2.4,9.2(=正则方程yAAcATT=的解为4086.00=c，39167.01=c，0857.02=c，00833.03=c得到三次多项式3202033.00857.039167.04086.0)(xxxxy+=P174.例5-1P176.例5-3P1
17、78.例5-5P180.例5-6P181.例5-7P182.例5-8第6章、数值积分与数值微分(一)考核知识点代数精度；插值型求积公式，牛顿柯特斯公式，梯形公式和辛普森公式,复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。(二点、三点)高斯勒让德求积公式。(二)温习要求1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2.把握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项;梯形公式和辛普生公式.3.把握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4.把握龙贝格(Romberg)求积算法。5.会高斯求积公式。三例题1用下列方法计算积分31dyy?，并比拟结果。(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式.解:31dyIy=?故有(2)采用高斯公式时31dyIy=?此时1,3,y令,xyz=-则1,1,x-111,21(),2Idxxfxx-=+=+?利用三点高斯公式，则0.5555556(0.7745967)(0.7745967)0.8888889(0)1.098039Ifff=?-+?利用五点高斯公式，则