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1、(完好版)高中数学必修4第二章平面向量教案完好版第1课时2.1平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只要大小，是一个代数量，能够进行代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小.2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、黑体，印刷用等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：1向量只要大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，则这两个向量就是一样的向量；2有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一
2、样，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.讲明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向一样或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.讲明：1综合、才是平行向量的完好定义；2向量、平行，记作.6、相等向量定义：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.讲明：1向量与相等，记作；2零向量与零向量相等；3任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.A(起点)B终点aOABaaabbb7、共线向量与平行向量关系：平行
3、向量就是共线向量，这是由于任一组平行向量都可移到同一直线上与有向线段的起点无关.讲明：1平行向量能够在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；2共线向量能够互相平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时2.2.1向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则“首尾相接，首尾连如图，已知向量a、.在平面内任取一点A，作ABa，BC，则向量AC叫做a与的和，记作a，即a=+=，规定：a+0-=0+a探究：1两相向量的和还是一个向量；2当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|，则+的方向与一样，且|+|=|-|；若|n个
4、向量连加例一、已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面内取一点，作aOA=bAB=，则baOB+=.加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b+a的结果与a+b能否一样？验证结果一样进而得到：向量加法的平行四边形法则对于两个向量共线不适应向量加法的交换律：a+b=b+a向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)证：如图：使aAB=，bBC=，cCD=则(a+b)+c=ADCDAC=+，a+(b+c)=ADBDAB=+(a+b)+c=a+(b+c)进而，多个向量的加法运算能够根据任意的次序、任意的组合来进行.第3课时2.2.2向量的减法运算及其几何意义1用“相反向量定义向量的减法1“相反
5、向量的定义：与a长度一样、方向相反的向量.记作-a2规定：零向量的相反向量还是零向量.-(-a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0假如a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=03向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a-b3求作差向量：已知向量a、b，求作向量(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=aOabBaba-b作法：在平面内取一点O，作=a，=b则BA=a-b即a-b能够表示为
6、从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1?AB表示a-b.强调：差向量“箭头指向被减数2?用“相反向量定义法作差向量，a-b=a+(-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4探究：假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b-a.若ab，怎样作出a-b？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时2.3.1平面向量基本定理温习引入：1实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a1|a|=|a|；20时a与a方向一样；a=2运算定律结合律：(a)=()a；分配律：(+)a=a+a，(a+b)=a+b3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只要一个非零
7、实数，使b=a.平面向量基本定理：假如1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只要一对实数1，2使a=11e+22e.探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1，2是被a，1e，2e唯一确定的数量第5课时2.3.22.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、温习引入：1平面向量基本定理：假如1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只要一对实数1，2使a=11e+22e(1)
8、我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1，2是被a，1e，2e唯一确定的数量二、讲解新课：1平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只要一对实数x、y，使得yjxia+=1我们把),(yx叫做向量a的直角坐标，记作),(yxa=2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，2式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为),(yx.十分地，)0,1(=
9、i，)1,0(=j，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA=，则点A的位置由a唯一确定.设yjxiOA+=，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因而，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是能够用一对实数唯一表示.2平面向量的坐标运算1若),(11yxa=，),(22yxb=，则ba+),(2121yyxx+=，ba-),(2121yyxx-=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ba+)()(2211jyixjyix+=jyyixx)()(2121+=即ba+),(2121yyx
10、x+=，同理可得ba-),(2121yyxx-=2若),(11yxA，),(22yxB，则()1212,yyxxAB-=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OB-OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)3若),(yxa=和实数，则),(yxa=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a)(yjxi+=yjxi+=，即),(yxa=第6课时2.3.4平面向量共线的坐标表示一、温习引入：1平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只
11、要一对实数x、y，使得yjxia+=把),(yx叫做向量a的直角坐标，记作),(yxa=其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，十分地，)0,1(=i，)1,0(=j，)0,0(0=.2平面向量的坐标运算若),(11yxa=，),(22yxb=，则ba+),(2121yyxx+=，ba-),(2121yyxx-=，),(yxa=.若),(11yxA，),(22yxB，则()1212,yyxxAB-=二、讲解新课：ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中ba.由a=b得，(x1，y1)=(x2，y2)?=?2121yyxx消去，x1y
12、2-x2y1=0探究：1消去时不能两式相除，y1，y2有可能为0，b0x2，y2中至少有一个不为02充要条件不能写成2211xyxy=x1，x2有可能为0(3)进而向量共线的充要条件有两种形式：ab(b0)01221=-=?yxyxba2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义一、温习引入：1向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只要一个非零实数，使b=a.2平面向量基本定理：假如1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只要一对实数1，2使a=11e+22e3平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i
13、、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只要一对实数x、y，使得yjxia+=把),(yx叫做向量a的直角坐标，记作),(yxa=4平面向量的坐标运算若),(11yxa=，),(22yxb=，则ba+),(2121yyxx+=，ba-),(2121yyxx-=，),(yxa=.若),(11yxA，),(22yxB，则()1212,yyxxAB-=5ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=06线段的定比分点及P1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数，使PP1=2PP，叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：0(内分)(外分)若点P(x1，y1)，
14、(x2，y2)，为实数，且PP12PP，则点P的坐标为+1,12121yyxx，我们称为点P分21PP所成的比.8.点P的位置与的范围的关系：当时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.当(1-)时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设1OP，2OP，可得OP=baba+=+1111.10力做的功：W=|F|?|s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作OA，OB，则叫与的夹角.讲明：1当时，与同向；2当时，与反向；3当2时，与垂直，记；4注意在两向量的夹角定义
15、，两向量必须是同起点的.范围0?180?2平面向量数量积内积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作a?b，即有a?b=|a|b|cos，.并规定0与任何向量的数量积为0.?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.2两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积ab，而a?b是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“代替.3在实数中，若a0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a?b=0，不能推出b=0
16、.由于其中cos有可能为0.4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc?a=c.但是a?b=b?ca=c如右图：a?b=|a|b|cos=|b|OA|，b?c=|b|c|cos=|b|OA|?a?b=b?c但ac(5)在实数中，有(a?b)c=a(b?c)，但是(a?b)ca(b?c)显然，这是由于左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3“投影的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0?时投影为|b|；当=180?时投影为-|b|.4向量的数量积的几何意
17、义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1?e?a=a?e=|a|cos2?ab?a?b=03?当a与b同向时，a?b=|a|b|；当a与b反向时，a?b=-|a|b|.十分的a?a=|a|2或aaa?=|4?cos=|baba?5?|a?b|a|b|第8课时二、平面向量数量积的运算律一、温习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作OA，OB，则叫与的夹角.2平面向量数量积内积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作a?b，即有a?b=|a|b|
18、cos，.并规定0与任何向量的数量积为0.3“投影的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0?时投影为|b|；当=180?时投影为-|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1?e?a=a?e=|a|cos；2?ab?a?b=03?当a与b同向时，a?b=|a|b|；当a与b反向时，a?b=-|a|b|.十分的a?a=|a|2或aaa?=|4?cos=|baba?；5?|a?b|a|b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a?b=b?a证：设a，b夹角为，则a?b=|a|b|cos，b?a=|b|a|cosa?b=b?a2数乘结合律：(a)?b=(a?b)=a?(b)C