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1、概率论与数理统计知识点总结(免费)（概率论与数理统计）第一章概率论的基本概念2样本空间、随机事件1事件间的关系BA?则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生Bxxx=?或ABA称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA?发生Bxxx=?且ABA称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件BA?发生Bxxx?=且ABA称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件BA发生=?BA，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S=?BA=?BA，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事
2、件A与事件B互为对立事件2运算规则交换律ABBAABBA?=?=?结合律)()()()(CBACBACBACBA?=?=?分配律)()B(CAACBA?=?)()(CABACBA?=?徳摩根律BABAABA?=?=?B3频率与概率定义在一样的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数，比值nnA称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为PA，称为事件的概率1概率)(AP知足下列条件：1非负性：对于每一个事件A1)(0AP2规范性：对于必然事件S1)S(=P3可列可加性：设nAAA,21是两两互不相容的事
3、件，有=nkknkkAPAP11)()(n可以取2概率的一些重要性质：i0)(=Pii若nAAA,21是两两互不相容的事件，则有=nkknkkAPAP11)()(n能够取iii设A，B是两个事件若BA?，则)()()(APBPABP-=-，)A()B(PPiv对于任意事件A，1)(APv)(1)(APAP-=逆事件的概率vi对于任意事件A，B有)()()()(ABPBPAPBAP-+=?4等可能概型古典概型等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性一样若事件A包含k个基本事件，即21kiiieeeA=，里个不同的数，则有中某，是，kkn2,1iii,21()中基本事
4、件的总数包含的基本事件数S)(1jAnkePAPkji=5条件概率1定义：设A,B是两个事件，且0)(AP，称)()()|(APABPABP=为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有0)|(ABP2。规范性：对于必然事件S，1)|(=ASP3可列可加性：设,21BB是两两互不相容的事件，则有=11)()(iiiiABPABP3乘法定理设0)(AP，则有)|()()(BAPBPABP=称为乘法公式4全概率公式：=niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式：=niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(6
5、独立性定义设A，B是两事件，假如知足等式)()()(BPAPABP=，则称事件A,B互相独立定理一设A，B是两事件，且0)(AP，若A，B互相独立，则()BPABP=)|(定理二若事件A和B互相独立，则下列各对事件也互相独立：A与与，与，BABAB第二章随机变量及其分布1随机变量定义设随机试验的样本空间为X(e)Xe.S=是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X(e)X=为随机变量2离散性随机变量及其分布律1离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量kk)(pxXP=知足如下两个条件10kp，2=1kkP=12三种重要的离散型随机变量1
6、分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是)101,0kp-1p)k(k-1k到k-nkqpkn?是二项式nqp+的展开式中出现kp的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。3泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为,2,1,0,k!e)kX(-k=kP其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为X3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数=，其他，00.e1)(x-xxf其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。3正态分布若连续型随机变量X的概率密度为，的正态分布或高斯分布，记为，2NX十分，当10=，时称随机变量X服从标准正态
7、分布5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度,-)(xxg，则Y=)(Xg是连续型随机变量，其概率密度为?关于X和关于Y的边缘分布函数。，2,1ixPXp1jiiji=?p，2,1jyPYp1iiij=?jp分别称?ipjp?为X，Y关于X和关于Y的边缘分布律。?-=dyyxfxfX,()(?-=dxyxfyfY,()(分别称)(xfX，)(yfY为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。3条件分布定义设X，Y是二维离散型随机变量，对于固定的j，若,0=jyYP则称,2,1,=?ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在jyY=条件下随机变量X的条件分布律，同样,2,1,=?j
8、ppxXPyYxXPXXyYPiijijiij为在ixX=条件下随机变量X的条件分布律。设二维离散型随机变量X，Y的概率密度为),(yxf，X，Y关于Y的边缘概率密度为)(yfY，若对于固定的y，)(yfY0，则称)(),(yfyxfY为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为)(yxfYX=)(),(yfyxfY4互相独立的随机变量定义设，yxF及)(FxX，)(FyY分别是二维离散型随机变量X，Y的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有yPY,=xXPyYxXP，即(y)F(F,FYXxyx=，则称随机变量X和Y是互相独立的。对于二维正态随机变量X，Y，X和Y互相独立的充要条件是参数0=
9、5两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf.则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为?-+-=dyyyzfzfYX,()(或?-+-=dxxzxfzfYX,()(又若X和Y互相独立，设X，Y关于X，Y的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则?-+-=dyfyzfzfYXYXy)()(和?-+-=dxxzfxfzfYXYX)()(这两个公式称为YXff,的卷积公式有限个互相独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，的分布的分布、XYZXYZ=设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf，则XYZXYZ=，仍
10、为连续性随机变量其概率密度分别为dxxzxfxzfXY),()(?-=dxxzxfxzfXY),(1)(?-=又若X和Y互相独立，设X，Y关于X，Y的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则可化为dxxzfxfzfYXXY?-=)()()(dxxzfxfxzfYXY)()(1)(X?-=3的分布及，,minNYXmaxYXM=设X，Y是两个互相独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(yFxFYX由于YXmax，=M不大于z等价于X和Y都不大于z故有zYz,PXzPM=又由于X和Y互相独立，得到YXmax，=M的分布函数为)()()(maxzFzFzFYX=,minNYX=的分布函数为)(1
11、)(11)(minzFzFzFYX-=第四章随机变量的数字特征1数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP=，k=1,2，若级数=1kkkpx绝对收敛，则称级数=1kkkpx的和为随机变量X的数学期望，记为)(XE，即=ikkpxXE)(设连续型随机变量X的概率密度为)(xf，若积分?-dxxxf)(绝对收敛，则称积分?-dxxxf)(的值为随机变量X的数学期望，记为)(XE，即?+-=dxxxfXE)()(定理设Y是随机变量X的函数Y=)(Xg(g是连续函数)i假如X是离散型随机变量，它的分布律为kpXP=xk，k=1,2，若kkkpxg=1(绝对收敛则有=)Y(E=)(XgEkk
12、kpxg=1(ii假如X是连续型随机变量，它的分概率密度为)(xf，若?-dxxfxg)()(绝对收敛则有=)Y(E=)(XgE?-dxxfxg)()(数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有CCE=)(2设X是随机变量，C是常数，则有)()(XCECXE=3设X,Y是两个随机变量，则有)()()(YEXEYXE+=+；4设X，Y是互相独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE=2方差定义设X是一个随机变量，若)(2XEXE-存在，则称)(2XEXE-为X的方差，记为Dx即Dx=)(2XEXE-，在应用上还引入量)(xD，记为)(x，称为标准差或均方差。222)()()()(EXXEXEX
13、EXD-=-=方差的几个重要性质1设C是常数，则有,0)(=CD2设X是随机变量，C是常数，则有)(C)(2XDCXD=，D(X)(=+CXD3设X,Y是两个随机变量，则有E(Y)-E(X)(Y-2E(XD(Y)D(X)(+=+YXD十分，若X,Y互相独立，则有)()()(YDXDYXD+=+40)(=XD的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即1)(=XEXP切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望2)(=XE，则对于任意正数，不等式22-XP成立3协方差及相关系数定义量)()(YEYXEXE-称为随机变量X与Y的协方差为),(YXCov，即)()()()()(),(YEXEXYEYEYXE
14、XEYXCov-=-=而D(Y)D(X)YX(XY，Cov=称为随机变量X和Y的相关系数对于任意两个随机变量X和Y，),(2)()()_(YXCovYDXDYXD-+=+协方差具有下述性质1),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov=2),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov+=+定理11XY21=XY的充要条件是，存在常数a,b使1=+=bxaYP当=XY0时，称X和Y不相关附：几种常用的概率分布表第五章大数定律与中心极限定理1大数定律弱大数定理辛欣大数定理设X1，X2是互相独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望),2,1()(=kXEk.作前n个变量的算术平均=nkkXn11，则对于任意0，有11lim1=kXDXEkkkk记=nkknB122文档视界概率论与数理统计知识点总结(免费)概率论与数理统计知识点总结(免费)