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1、2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。14.00分全集U=1，2，3，4，5，A=1，3，那么UA=AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，524.00分双曲线y2=1的焦点坐标是A，0，0B2，0，2，0C0，0，D0，2，0，234.00分某几何体的三视图如下列图单位：cm，那么该几何体的体积单位：cm3是A2B4C6D844.00分复数i为虚数单位的共轭复数是A1+iB1iC1+iD1i54.00分函数y=2|x|sin2x的图象可能是ABCD64.00分平面，直线m，n满足m，n，那么“mn
2、是“m的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件74.00分设0p1，随机变量的分布列是012P那么当p在0，1内增大时，AD减小BD增大CD先减小后增大DD先增大后减小84.00分四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点不含端点设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，那么A123B321C132D23194.00分，是平面向量，是单位向量假设非零向量与的夹角为，向量满足4+3=0，那么|的最小值是A1B+1C2D2104.00分a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=lna1
3、+a2+a3，假设a11，那么Aa1a3，a2a4Ba1a3，a2a4Ca1a3，a2a4Da1a3，a2a4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。116.00分我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，那么，当z=81时，x=，y=126.00分假设x，y满足约束条件，那么z=x+3y的最小值是，最大值是136.00分在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c假设a=，b=2，A=60，那么sinB=，c=144.00分二
4、项式+8的展开式的常数项是156.00分R，函数fx=，当=2时，不等式fx0的解集是假设函数fx恰有2个零点，那么的取值范围是164.00分从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数用数字作答174.00分点P0，1，椭圆+y2=mm1上两点A，B满足=2，那么当m=时，点B横坐标的绝对值最大三、解答题：本大题共5小题，共74分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。1814.00分角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，求sin+的值；假设角满足sin+=，求cos的值1915.00分如图，多面体ABCA
5、1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2证明：AB1平面A1B1C1；求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值2015.00分等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列bn+1bnan的前n项和为2n2+n求q的值；求数列bn的通项公式2115.00分如图，点P是y轴左侧不含y轴一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；假设P是半椭圆x2+=1x0上的动点，求PAB面积的取值范围22
6、15.00分函数fx=lnx假设fx在x=x1，x2x1x2处导数相等，证明：fx1+fx288ln2；假设a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。14.00分全集U=1，2，3，4，5，A=1，3，那么UA=AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，5【分析】根据补集的定义直接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合【解答】解：根据补集的定义，UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由
7、，有且仅有2，4，5符合元素的条件UA=2，4，5应选：C【点评】此题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题24.00分双曲线y2=1的焦点坐标是A，0，0B2，0，2，0C0，0，D0，2，0，2【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=2，即可得到双曲线的焦点坐标【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c=2，该双曲线的焦点坐标为2，0应选：B【点评】此题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于根底题34.00分某几何体的三视图如下列图单位：cm，那么该几何体的体积单位：cm3是A2B4C6
8、D8【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱如下列图：故该几何体的体积为：V=应选：C【点评】此题考查的知识要点：三视图的应用44.00分复数i为虚数单位的共轭复数是A1+iB1iC1+iD1i【分析】化简复数z，由共轭复数的定义可得【解答】解：化简可得z=1+i，z的共轭复数=1i应选：B【点评】此题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属根底题54.00分函数y=2|x|sin2x的图象可能是ABCD【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和
9、B当x=时，函数的值也为0，故排除C应选：D【点评】此题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用64.00分平面，直线m，n满足m，n，那么“mn是“m的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：m，n，当mn时，m成立，即充分性成立，当m时，mn不一定成立，即必要性不成立，那么“mn是“m的充分不必要条件应选：A【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决此题的关键，是根底题74.00分设0p1，随机变量的分布列是012P那么当p在0，1内增大时，AD
10、减小BD增大CD先减小后增大DD先增大后减小【分析】求出随机变量的分布列与方差，再讨论D的单调情况【解答】解：设0p1，随机变量的分布列是E=0+1+2=p+；方差是D=+=p2+p+=+，p0，时，D单调递增；p，1时，D单调递减；D先增大后减小应选：D【点评】此题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是根底题84.00分四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点不含端点设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，那么A123B321C132D231【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，
11、根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小【解答】解：由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心过E作EFBC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ONEF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，那么EN=OM，那么1=SEN，2=SEO，3=SMO显然，1，2，3均为锐角tan1=，tan3=，SNSO，13，又sin3=，sin2=，SESM，32应选：D【点评】此题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题94.00分，是平面向量，是单位向量假设非零向量与的夹角为，向量满足4+3=0，那么|的最小值是A1B+1C2D2【分析】把等式4+3=0变形，可得得，
12、即，设，那么的终点在以2，0为圆心，以1为半径的圆周上，再由得到的终点在不含端点O的两条射线y=x0上，画出图形，数形结合得答案【解答】解：由4+3=0，得，如图，不妨设，那么的终点在以2，0为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，那么的终点在不含端点O的两条射线y=x0上不妨以y=为例，那么|的最小值是2，0到直线的距离减1即应选：A【点评】此题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题104.00分a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=lna1+a2+a3，假设a11，那么Aa1a3，a2a4Ba1a3，a2a4Ca1a3
13、，a2a4Da1a3，a2a4【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a11，设公比为q，当q0时，a1+a2+a3+a4a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=lna1+a2+a3，不成立，即：a1a3，a2a4，a1a3，a2a4，不成立，排除A、D当q=1时，a1+a2+a3+a4=0，lna1+a2+a30，等式不成立，所以q1；当q1时，a1+a2+a3+a40，lna1+a2+a30，a1+a2+a3+a4=lna1+a2+a3不成立，当q1
14、，0时，a1a30，a2a40，并且a1+a2+a3+a4=lna1+a2+a3，能够成立，应选：B【点评】此题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。116.00分我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，那么，当z=81时，x=8，y=11【分析】直接利用方程组以及z的值，求解即可【解答】解：，当z=81时，化为：，解得 x=8，y=
15、11故答案为：8；11【点评】此题考查方程组的解法，是根本知识的考查126.00分假设x，y满足约束条件，那么z=x+3y的最小值是2，最大值是8【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：其中B4，2，A2，2设z=Fx，y=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z到达最小值z最小值=F4，2=2可得当l经过点A时，目标函数z到达最最大值：z最大值=F2，2=8故
16、答案为：2；8【点评】此题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题136.00分在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c假设a=，b=2，A=60，那么sinB=，c=3【分析】由正弦定理得=，由此能求出sinB，由余弦定理得cos60=，由此能求出c【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ca=，b=2，A=60，由正弦定理得：，即=，解得sinB=由余弦定理得：cos60=，解得c=3或c=1舍，sinB=，c=3故答案为：，3【点评】此题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、
17、余弦定理等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题144.00分二项式+8的展开式的常数项是7【分析】写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，那么答案可求【解答】解：由=令=0，得r=2二项式+8的展开式的常数项是故答案为：7【点评】此题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是根底题156.00分R，函数fx=，当=2时，不等式fx0的解集是x|1x4假设函数fx恰有2个零点，那么的取值范围是1，34，+【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可【解答】解：当=2时函数fx=，显然x2时，不等式x40
18、的解集：x|2x4；x2时，不等式fx0化为：x24x+30，解得1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4函数fx恰有2个零点，函数fx=的草图如图：函数fx恰有2个零点，那么13或4故答案为：x|1x4；1，34，+【点评】此题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力164.00分从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成1260个没有重复数字的四位数用数字作答【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，求解即可【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中
19、任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数故答案为：1260【点评】此题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意“0“是否在4位数中去易错点，是中档题174.00分点P0，1，椭圆+y2=mm1上两点A，B满足=2，那么当m=5时，点B横坐标的绝对值最大【分析】设Ax1，y1，Bx2，y2，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，有x22=m2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值【解答】解：设Ax1，y1，Bx2，
20、y2，由P0，1，=2，可得x1=2x2，1y1=2y21，即有x1=2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，x22+4y22=4m，得y12y2y1+2y2=3m，可得y12y2=m，解得y1=，y2=，那么m=x22+2，即有x22=m2=，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大故答案为：5【点评】此题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。1814.00分角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴
21、重合，它的终边过点P，求sin+的值；假设角满足sin+=，求cos的值【分析】由条件即可求r，那么sin+的值可得；由条件即可求sin，cos，cos+，再由cos=cos+=cos+cos+sin+sin代值计算得答案【解答】解：角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，x=，y=，r=|OP|=，sin+=sin=；由x=，y=，r=|OP|=1，得，又由sin+=，得=，那么cos=cos+=cos+cos+sin+sin=，或cos=cos+=cos+cos+sin+sin=cos的值为或【点评】此题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档
22、题1915.00分如图，多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2证明：AB1平面A1B1C1；求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【分析】I利用勾股定理的逆定理证明AB1A1B1，AB1B1C1，从而可得AB1平面A1B1C1；II以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的大小【解答】I证明：A1A平面ABC，B1B平面ABC，AA1BB1，AA1=4，BB1=2，AB=2，A1B1=2，又AB1=2，AA12=AB12+A1B12，AB1A1B1，
23、同理可得：AB1B1C1，又A1B1B1C1=B1，AB1平面A1B1C1II解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，AB=BC，OBOC，AB=BC=2，BAC=120，OB=1，OA=OC=，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如下列图：那么A0，0，B1，0，0，B11，0，2，C10，1，=1，0，=0，0，2，=0，2，1，设平面ABB1的法向量为=x，y，z，那么，令y=1可得=，1，0，cos=设直线AC1与平面ABB1所成的角为，那么sin=|cos|=直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为【点评】此题考查了线面垂直的判定定
24、理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题2015.00分等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列bn+1bnan的前n项和为2n2+n求q的值；求数列bn的通项公式【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；设cn=bn+1bnan=bn+1bn2n1，运用数列的递推式可得cn=4n1，再由数列的恒等式求得bn=b1+b2b1+b3b2+bnbn1，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式【解答】解：等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+
25、a5=28a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2舍去，那么q的值为2；设cn=bn+1bnan=bn+1bn2n1，可得n=1时，c1=2+1=3，n2时，可得cn=2n2+n2n12n1=4n1，上式对n=1也成立，那么bn+1bnan=4n1，即有bn+1bn=4n1n1，可得bn=b1+b2b1+b3b2+bnbn1=1+30+71+4n5n2，bn=+3+72+4n5n1，相减可得bn=+4+2+n24n5n1=+44n5n1，化简可得bn=154n+3n2【点评】此题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题2
26、115.00分如图，点P是y轴左侧不含y轴一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；假设P是半椭圆x2+=1x0上的动点，求PAB面积的取值范围【分析】设Pm，n，A，y1，B，y2，运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y22ny+8mn2=0的两根，由韦达定理即可得到结论；由题意可得m2+=1，1m0，2n2，可得PAB面积为S=|PM|y1y2|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围【解答】解：证明：可设Pm，n，A，y
27、1，B，y2，AB中点为M的坐标为，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得2=4，2=4，化简可得y1，y2为关于y的方程y22ny+8mn2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8mn2，可得n=，那么PM垂直于y轴；假设P是半椭圆x2+=1x0上的动点，可得m2+=1，1m0，2n2，由可得y1+y2=2n，y1y2=8mn2，由PM垂直于y轴，可得PAB面积为S=|PM|y1y2|=m=4n216m+2n2m=n24m，可令t=，可得m=时，t取得最大值；m=1时，t取得最小值2，即2t，那么S=t3在2t递增，可得S6，PAB面积的取值范围为
28、6，【点评】此题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题2215.00分函数fx=lnx假设fx在x=x1，x2x1x2处导数相等，证明：fx1+fx288ln2；假设a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点【分析】推导出x0，fx=，由fx在x=x1，x2x1x2处导数相等，得到+=，由根本不等式得：=，从而x1x2256，由题意得fx1+fx2=lnx1x2，设gx=，那么，利用导数性质能证明fx1+fx288ln2令m=e|a|+k，n=2+1，那么fmkma|a|+kka0，推导出存在x0m，n，使fx0
29、=kx0+a，对于任意的aR及k0，+，直线y=kx+a与曲线y=fx有公共点，由fx=kx+a，得k=，设hx=，那么hx=，利用导数性质能证明a34ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点【解答】证明：函数fx=lnx，x0，fx=，fx在x=x1，x2x1x2处导数相等，=，x1x2，+=，由根本不等式得：=，x1x2，x1x2256，由题意得fx1+fx2=lnx1x2，设gx=，那么，列表讨论： x 0，16 16 16，+ gx 0+ gx 24ln2gx在256，+上单调递增，gx1x2g256=88ln2，fx1+fx288ln2令m=e|a|+k，n=2+1，那么fmkma|a|+kka0，fnknanknk0，存在x0m，n，使fx0=kx0+a，对于任意的aR及k0，+，直线y=kx+a与曲线y=fx有公共点，由fx=kx+a，得k=，设hx=，那么hx=，其中gx=lnx，由1知gxg16，又a34ln2，gx1+ag161+a=3+4ln2+a0，hx0，即函数hx在0，+上单调递减，方程fxkxa=0至多有一个实根，综上，a34ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点【点评】此题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题