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1、数论的灵魂(整除问题)一、数的整除之四大判断法：12系列：被2整除只需看末位能否被2整除；被4整除只需看末两位能否被4整除；被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推；以四位数为例，四位数=1000a+100b+10c+d。10、100、1000都是2的倍数，只需d也是2的倍数即可。23系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除；被9整除只需看各位数字之和能否被9整除；以3为例，=1000a+100b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d。999、99、9均为3的倍数。只需要a+b+c+d是3的倍数即可。从中我们还发现，数字之和除以3余几，那么原数除以3余几。9依次类推。35
2、系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位。47、11、13系列：通用一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。比方202201=2011001，那么其必然能被7、11、13整除；从末三位开始，三位一段，奇数数之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，那么其为7、11、13的倍数；末三位一段，前面均为一段，用较大的减去较小的，如果为7、11、13的倍数，那么其为7、11、13的倍数；合数的整除特征：判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的
3、乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。二、数的整除的性质：传递性:假设，那么；可加性:假设，那么。三、试除法：在整除里，对未知局部，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小(一般为最大)。当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。四、数的整除的代数表示方法：对于某些研究整数本身的特性的问题，假设能合理地选择整数的表示形式，那么常常有助于问题的解决这些常用的形式有：；1在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是9的倍数请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；一共有多少种满足条件的填法2从13998这3998个自然数中，有多少个能被4整除从13998这39
4、98个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除3(第2届华杯赛初赛第14题)用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数4右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。比方a=510=50，b=512=60。那么c方格内所填的自然数的末尾有_个连续的0。5右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数的末尾共有多少个6(2022年数学解题能力展示初赛试题)九位数既是的倍数，又是的倍数；那么，这个九位数是多少7试证明的差一定是(如：为原序数，那么它对应的反
5、序数为，它们的差是的倍数.)8如图，把19这9个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(比方在7和8之间剪开，就形成了826543197和791345628这两个九位数)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么可以从哪两个数字之间剪开9对怎样的最小值n，数被整除10一个19位数能被13整除，求内的数字11(第7届希望杯培训试题)在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少12(2022年迎春杯五年级初赛第8题)将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么
6、，这个6位数除以667的结果是。13(2022年学而思五升六竞赛班选拔考试第20题)把数字1到9各使用一次，组成一个被555667整除的9位数，这个9位数是。14如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍那么，这个五位数的前两位的最大值是。15能被22整除，B-A的最大值为.16(2022年“数学解题能力展示五年级初赛)一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积(即)，那么这个五位回文数最大的可能值是_.17：那么。18(2022年迎春杯高年级复赛试题第15题)人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友。19对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对
7、“好数，例如70与30。那么在1，2，.，16这16个整数中，有好数多少对20(2022年希望杯第二届五年级二试第4题，6分)假设四位数能被15整除，那么代表的数字是。21三位数中能被11整除，且数字之和为11的有( )个。22把30个自然数，30乘到一起，那么这个乘积的末尾会有()个0。23要使能被36整除，而且所得的商最小，那么a、b、c、d的和是( )。24刘叔叔给18名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火星落在纸上，把这笔帐的总数烧去两个数字，刘叔叔记得每名工人的工资都一样，而且都是整数元，每名工人的工资最高可能是()。25(全国小学数学奥林匹克)如果能被11
8、整除，那么n的最小值是。26把三位数接连重复写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求答案1一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即432是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数；经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是(9,0)；(8,1)；(7,2)；(6,3)；(5,4)；(4,5)；(3,6)；(2,7)；(1,8)；(0,9)，共10种情况，还有(0,0)和(9,9)，所以一共有12种不同的填法。2第一问比较简单，39984=9996所以139
9、98中有996个能被4整除的考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：(0000，1000，2000，3000)，(0001，1001，2022，3001)，(0002，1002，2022，3002)， (0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数方法二、考虑个位，选法
10、有10种；十位，选法有10种；百位选法有10种；选定之后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个，1000-1=999.3用1、9、8、8可排成12个四位数，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891它们减去8变为1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883。其中被11整除的仅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4个被1除余8的四位
11、数，即1988，1889，8918，8819。4由于考虑的是c末尾有多少个连续的0，那么只需考虑有多个5，有多少个2即可。先考虑因数5，其累积如以下图：再考虑因数2，其累积过程如以下图。由于5多于2，那么c方格内所填的自然数有102个0。5几个整数的乘积，如果要确定它后面的几个0，可以用这样的方法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数我们可以分别计算质因数2和5的重数为此我们画两个图(如右上图)，由图可知中含有14个因数2，18个因数5，所以末尾有14个0。6(方法一)设原数，或者，()或者()或者根据两数和差同奇偶，得：或者不
12、成立.所以，.(方法二)设原数=，该数既能被9整除，又能被11整除，那么该数能被99整除。所以，所以所以。7(1)当为奇数时，设原序数为，那么反序数为，那么(2)因为等式右边的数能被整除，所以能被整除当为偶数时设原序数为，那么反序数为，那么因为等式右边的数能被整除，所以能被整除8将396分解质因数：，也就是说要让两个九位数的差分别是4、9、11的倍数首先可以看出，不管在哪两个数之间剪开，得到的两个九位数的各位数字之和都是45，是9的倍数，所以它们的差肯定也是9的倍数另外，能被11整除的数，其奇数位上所有的数字和与偶数位上的所有数字和的差是11的倍数而一个数如果不是11的倍数，那么这个数除以11
13、的余数实际上就是从右开始奇数位所有的数字和减去偶数位上的所有数字和的差除以11的余数这样一来，可以发现，无论从哪两个数之间剪开，由于得到的两个九位数互为反序数，这两个九位数的奇数位上的5个数和偶数位上的4个数也都分别颠倒了顺序，但它们具体是哪几个数字不变，所以它们的总和也不变，那么奇数位所有的数字和减去偶数位上的所有数字和的差也就不变，也就是说互为反序数的两个九位数，它们除以11的余数是相同的，那么它们的差是11的倍数由此可见，不管从哪里剪开，得到的两个九位数的差都是9和11的倍数，那么只需要判断差是不是4的倍数就可以了而要判断是否是4的倍数，只需要看末两位数，此时可以一一检验，可得从，、之间
14、剪开得到的差是4的倍数所以从这四处剪开符合题意。9设，根据A、B的特征可对A、B进行分解：因为，根据条件注意到，根据整除的性质，为使A被B整除，必须且只需算式是一个整数，这就说明了两点：算式也是一个整数，所以算式的数字之和应是9的倍数，这说明综上所述，1013|13|13|7777770000000+13|77777713|777777000000013|13|44413|2设=777011方法一：采用试除法.设六位数为如果一个数能同时被和整除，那么一定能被整除，余也可以看成缺乏所以当时，即是的倍数时，六位数才是的倍数所以有的末位只能是，所以只能是，验证有时，所以原题的方框中填入，得到的满足题
15、意方法二：视为数字谜因为，所以有：注意，第3行的个位数字为1，于是乘数的个位数字只能为7，所以第3行为3237=2261；于是有所以第4行的末位为，所以乘数的十位数字只能为5，于是第4行为；于是有，所以第5行在(110011-16150-2261=)91600(119911-16150-2261=)101500之间，又是323100的倍数，所以只能为323003=96900；于是最终有.所以题中的方框内应填入5，3这两个数字12六位数的数字和是4+5+6+7+8+9=39,是3的倍数，而667与3互质，因此这个六位数能被6673=2022整除，于是它的前三位组成的三位数是后三位组成的三位数的两
16、倍。用4，5，6，7，8，9组成两个三位数，一个是另一个的两倍，容易算出只能是956和478。而9564782022=478，所以商为956478667=4783=1434。那么中间三位数的末位可能是3、7、9。(如为偶数，那么前三位组成三位数组成的三位数末位应为0，显然不符)(1)当中间三位数的末位是3时，由可得，后三位的末位应是9，那么中间三位组成的三位数的十位必然为4或6之一，因为如为1、2未进位，那么后三位组成的三位数的百位为3，不符；如为7，8，9那么进了两位，那么后三位组成的三位数的百位为5，不符；(2)当中间三位数的末位是7时，后三位组成的三位数的末位为1，显然不符；(3)当中间
17、三位组成的末位为9时，那么根据题意，中间三位数组成的十位上的数字与3的乘积加2最多只能进1次位，除去已选数，该数的选法有：2、4两种；当中间三位组成的三位数的十位上是2时，后三位组成的三位数为1293=387；前三位组成的三位数为1295=645。该九位数为645129387。当中间三位数组成的三位数的十位上是4时，后三位组成的三位数为447，重复，不符。所以符合条件的9位数为645129387。14假设组成这个五位数的个数字分别为、，可知其中不能有0由题知，由于可知、中有两个，不妨设，那么要求这个五位数的最大值，必须使其中最大的数尽可能大不妨设是其中最大的数如果，那么，即是9的倍数，可以为8
18、或17假设，那么；假设，那么，这两种情况下都没有满足条件的整数、；如果，那么，即是8的倍数，可以为6或14假设，那么；假设，那么，这两种情况下都没有满足条件的整数、； 果，那么，即是7的倍数，可以为4或11或18假设，那么；假设，那么，假设，那么，易知只有前一种情况下有满足条件的整数、，此时、分别为1和3故此时组成五位数的个数字分别为，所以所求最大的五位数为。15A只能取2；4；6；8，奇数位上的和对应分别为6；12；18；24，由于被11整除的数奇偶数位数字和的差为11的倍数，所以对应的偶数位上的数的和为6或17；12；18或7；23或2，对应的符合条件的可能的B的值为3；6；9；1,所以B
19、-A的最大值为3.16根据题意，那么为的倍数，所以应为或，又还在首位，所以，现在要让尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令，那么是的倍数，用符合条件，所以这个五位回文数最大的可能值是59895。17由于123中有4个5的倍数，所以的末尾有4个0，所以由于(为正整数)，所以去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么是8的倍数，所以易知是9和11的倍数，所以是9的倍数；是11的倍数，那么或15，或假设，由于与(或)奇偶性相同，所以此时，得，不合题意所以，得，所以。18由题意知，当a,b两数互质时，他们的积显然不能被他们的和整除，ab/(a+b)运算出来不是整数；当a，b互质时，令A=ka,
20、B=kb,kakb/(ka+kb)=kab/(a+b),由于ab/(a+b),那么k需要为a+b的倍数即可。那么此题可分两步：找出一对互质的数，再把这一对数分别扩大他们的和的倍数，即为好数。(1，2)对应的好数有：(3，6)；(6，12)；(9，18)；(12，24)；(15，30)；(1，3)对应的好数有：(4，12)；(8，24)；(1，4)对应的好数有：(5，20)；(1，5)对应的好数有：(6，30)；(2，3)对应的好数有：(10，15)；(20，30)；(3，4)对应的好数有：(21，28)；那么全部同学相互之间的关系网如图(其余名学生未列)：关系网图可分为不关联的局部，其中包含个
21、人的局部最多可以选知名互不是“好朋友的同学，包含个人的两个局部各可选出人，以保证互不是“好朋友，加上未列出的16人，所以人中最多可以选出人互不是“好朋友，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友，所以至少应该选出人19由题意知，当a、b两数互质时，他们的积显然不能被他们的和整除，运算出来不是整数；当a，b互质时，令A=ka，B=kb，由于不是整数，那么k需要为a+b的倍数即可。那么此题可分两步：找出一对互质的数，再把这一对数分别扩大他们的和的倍数，即为好数。(1，2)对应的好数有：(3，6)；(6，12)；(1，3)对应的好数有：(4，12)；(2，3)对应的好数有：(10
22、，15)；所以，在1，2，.，16这16个整数中，有好数4对。2015=35，能被15整除，那么能同时被5和3整除。能被5整除，看个位，那么只能是0或5；但是当=0，9080不能被3整除；当=5时，9+5+8+5=27是3的倍数，所以=5。21设这个三位数为，有和，显然有，所以就有209、308、407、506、605、704、803、902，共8个。22易知从1乘到30，共会有5、10、15、20、25、30共计6个5的倍数，其中25是25的倍数，所以这个乘积的末尾有6个0。23能被36整除，而36=49所以说明即能被4整除也能被9整除能被4整除说明：能被4整除，从而d只可能是1，3，5，7
23、，9要使商最小，a、b、c应尽可能小先取a=0，b=0，那么数字之和为：2+6+2+0+0+c+d=10+c+d应为9的倍数。而d只可能是1，3，5，7，9。所以，c最小取1，此时d=7。此时a+b+c+d=0+0+1+7=8。24由于每名工人的工资都一样，说明总工资能被18整除令总工资为，因为18=29，该数能被2整除，也能被9整除能被2整除说明，那么该数的末位为0、2、4、6、8中的一种；9+7+8+a+b=24+a+b。现在要为9的倍数，那么a尽量大，为8，此时b=4。所以每个工人的最高工资为：9788418=5438元。25中奇数位减偶数位的差为(52)n1=3n1,当n=7时，(3n1)是11的倍数，所以n的最小值是7。26因为，且，所以7|，13|根据一个数能被7或13整除的特征可知：原数能被7以及13整除，当且仅当-能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除因为，所以7|，13|也就是7|，13|，因此，用一次性质(特征)，就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除又的倍数中小于1000的只有的百位数字是3，