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1、二次函数与相切1.如图，抛物线经过点，和，点是轴上的一个动点，连接，取的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接、（1）求该抛物线的解析式；（2）当为何值时，点在此抛物线上；（3）在点运动过程中，是否存在为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点运动过程中，若以为直径的圆与直线相切，直接写出的值解析：（1）设该抛物线的解析式为，把代入得，解得，即（2）分别过点、作轴的垂线，垂足为、，又，即，把点坐标代入抛物线的解析式，得整理得：，解得：或当或时，点在此抛物线上（3）存在，若，则，解得，若ABBC，则解得，若，则，解得，（4）或提示：设的中点为，过点作轴，交于，作于，,由
2、，得，又，即，以为直径的圆与直线相切，整理得：，解得：或2.如图，在平面直角坐标系中，点、点，四边形是矩形，以点为圆心的过点，点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒（1）当为何值时，与相切？（2）当直线将的周长分成的两部分时，求的值；（3）直线为的垂直平分线，垂足为当点在、上运动时，是否存在点，使直线与相切？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：（1）设与相切于点，连接则，由得：，当时，与相切（2）设直线交于、，与轴交于另一点连接、，作于直线将的周长分成的两部分，设，则，又，整理得：解得：（舍去），由得：，即（3）设直线与相切于点i）当点在上时，连接，直线与轴相交于点设，则，由
3、得：即由得：即由得：，即，代入并整理得：，解得：（舍去），即ii）当点在上时，则四边形是矩形，综上所述，当或时，直线与相切3.矩形内接于，将沿翻折，点落在上点处，连接（1）如图1，判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图2，是的切线，切点是，交的延长线于点动点从点出发，以的速度沿射线的方向运动，以点为圆心，长为半径作圆，设点运动的时间为（秒）若的直径为，当为何值时，与直线相切；根据与线段公共点的个数，直接写出相应的的值或取值范围解析：（1）四边形是等腰梯形，理由如下：连接由题意，四边形是等腰梯形（2）设与直线相切于点，连接则的直径为，易证，设，则在中，解得，是的切线，解得当秒时，与直线相切当与
4、线段公共点的个数是个时，或当与线段公共点的个数是个时，当与线段公共点的个数是个时，4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，且，点为线段上的一个动点，过点作轴的平行线分别交直线、于点、（1）设线段的长为，求与之间的函数关系式；（2）当时，求点的坐标；（3）是否存在点，使得过、三点的圆与x轴相切？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由解析：（1）在中，令，得，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，设直线的解析式为，把代入，直线的解析式为在中，当时，在中，当时，（2）设线段的中点为，以为斜边向上作等腰以为圆心，长为半径作，过点，由（1）知，,整理得：解得：（舍
5、去），点的坐标为（3）假设存在设过、三点的圆为显然圆心是线段的中垂线和线段的中垂线的交点由题意，是等腰直角三角形线段的中垂线过点设线段的中垂线交轴于，直线的解析式为，代入，得直线的解析式为设线段的中点为，与轴相切于点由（2）知把代入，得由，得整理得：，解得：，（舍去）存在点，使得过、三点的圆与x轴相切5.如图，抛物线交轴于点，交轴于点，将抛物线沿轴翻折得抛物线（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的距离差最大，并说出理由（3）平行于轴的一条直线交抛物线于、两点，若以为直径的圆恰与轴相切，求此圆的半径解析：（1）由题意知，抛物线上的点、关于轴的对称点为，设的解析式为则
6、l1的解析式为（2）的对称轴为，在直线上，故当点与点、点不在一直线上时，中，当点与点、点在一直线上时，这些线段间关系为：故此时点到、两点的距离差最大设的解析式为，将代入上式得直线的解析式为而直线和直线的交点即为由得即为所求（3）设，所求圆的半径为，由图可知对称轴为，由得，即将代入的解析式得，即圆与轴相切，当时，解得，（舍去）当时，解得，（舍去）故所求的圆有两个，在轴上方的圆半径为，在轴下方的圆半径为6.已知过原点的两条直线与圆心为，半径为的圆相切，切点分别为、，交轴于点，抛物线经过、两点，顶点为，且与轴交于、两点（1）求点的坐标；（2）求抛物线解析式；（3）直线与抛物线交于不同的两点、，当该直
7、线与相切时，求点、围成的多边形的面积（结果保留根号）解析：（1）直线与相切于、，（2）设抛物线解析式为，把点代入得：，抛物线解析式为（3）令，解得，当直线与相切时，令，解得，x22，7.已知抛物线（）恒过定点、（在的左侧）（1）求、两点的坐标；（2）点在直线下方的抛物线上，当面积的最大值为时，求抛物线的解析式；（3）若经过点的始终与轴相切，设，求与的函数关系式，并求点到点距离的最小值解析：（1）对于任意实数，当时，；当时，抛物线恒过定点和在的左侧，（2）设直线的解析式为解得直线的解析式为过点作轴，交直线于点设，则面积的最大值为解得抛物线的解析式为（3），过点且与轴相切，即设点到点的距离为则的最
8、小值为的最小值为8.如图，在平面直角坐标系中，和是两个全等的直角三角形，直角边、在轴上，点的坐标为，抛物线经过、三点，与轴的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，当四边形为等腰梯形时，求点的坐标；（3）在抛物线的段上（包括点）是否存在点，使既与轴相切，又与直线相交？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由解析：（1），抛物线经过点，抛物线过、两点解得，抛物线的解析式为（2）设直线的解析式为，设，则作于，于四边形为等腰梯形，或当时，此时点与点重合，不能形成等腰梯形当时，当四边形为等腰梯形时，点的坐标为（3）作的平
9、分线交CD于，交抛物线于，作于，则设，则，易证，易得直线的解析式为令，解得（舍去），既与轴相切，又与直线相交点横坐标的取值范围为：9.如图，直线与抛物线交于、两点，抛物线的对称轴与轴交于点（1）证明直线过定点，并求出点的坐标；（2）当时，证明是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数，是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由解析：（1）当时，直线过定点（2）当时，直线交点、的坐标符合方程组：解得，,，是等腰直角三角形（3）存在一条固定的直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是理由如下：交点、的坐标符合方程组：即，即以为直径的圆的半径为的中点
10、是，即以为直径的圆的圆心坐标为圆心到轴的距离等于圆的半径存在定直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于、三点，过坐标原点的直线与抛物线交于、两点分别过点、作平行于轴的直线、（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以为直径的圆与直线相切；（3）求线段的长（用表示），并证明、两点到直线的距离之和等于线段的长解析：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为把、三点坐标代入得解得（2）设，点、在抛物线上，又，设的中点，分别过点、向直线作垂线，垂足为、则，即的中点到直线的距离等于长度的一半以为直径的圆与直线相切（3）过点作交于点则又，点、既在的图象上又在抛物线上，即，解得，延长交于点，过点作于点则又即、两点到距离之和等于线段的长