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1、章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法不正确的是()A某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C公式E(X)np可以用来计算离散型随机变量的均值D从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算故选C.【答案】C2(2016吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现
2、从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是()AP(X0)BP(X2)CP(X1) DP(X2)【解析】由已知易知P(X1).【答案】C3(2016长沙高二检测)若X的分布列为X01Pa则E(X)()A. B.C. D.【解析】由a1，得a，所以E(X)01.【答案】A4甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A0.16 B0.24C0.96 D0.04【解析】三人都不达标的概率是(10.8)(10.6)(10.5)0.04，故三人中至少有一人达标的概率为10.040.96.【答案】C5如果随机变
3、量XN(4,1)，则P(X2)等于()(注：P(2X2)0.954 4)A0.210 B0.022 8C0.045 6 D0.021 5【解析】P(X2)(1P(2X6)1P(42110)P(50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.【答案】B10设随机变量等可能地取1,2,3,4，10，又设随机变量21，则P(6)()A0.3 B0.5C0.1 D0.2【解析】因为P(k)，k1,2，10，又由216，得，即1,2,3，所以P(E(X乙)，乙的产品质量比甲的产品质量好一些【答案】B12(2016深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二
4、进制数Aa1a2a3a4a5，其中A的各位数中a11，ak(k2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记a1a2a3a4a5，当程序运行一次时，的数学期望为()A. B.C. D.【解析】记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量，则B，E()4.因为1，E()1E().故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X6)_.【解析】P(X6)P(X4)P(X6).【答案】14一只蚂蚁位于数轴x0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左
5、或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x1处的概率为_【解析】由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x1处的概率为C21.【答案】15(2016福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)_.【解析】如图，n()9，n(A)3，n(B)4，所以n(AB)1，P(A|B).【答案】16一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概
6、率是；从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是_. 【导学号：97270057】【解析】恰有一个白球的概率P，故正确；每次任取一球，取到红球次数XB，其方差为6，故正确；设A第一次取到红球，B第二次取到红球则P(A)，P(AB)，P(B|A)，故错；每次取到红球的概率P，所以至少有一次取到红球的概率为13，故正确【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17
7、(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球P(B).P()1P(B).(1)P(A|B).(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P().18(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N(90,100)(1)试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多
8、少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？【解】因为N(90,100)，所以90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由90，10，得80，100.由于正态变量在区间(，)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 0000.682 61 365(人)19(本小题满分12
9、分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比较.X012PY012P【解】工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)0120.7，D(X)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)0120.7，D(Y)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E(X)E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定20(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1
10、,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列为X123P从而E(X)123.21(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利
11、20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求的分布列及E()；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围【解】(1)依题意，可能的取值为1,0，1.的分布列为101PE().(2)设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为22PE()2242.依题意得42，故1.22(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100
12、分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因【解】(1)X可能的取值为10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX1020100200.这表明，获得的分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大