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1、章末综合测评(三)导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数f(x)2cos x，则f()等于()Asin Bcos C2sin D2sin 【解析】f(x)(2cos x)sin x，当x时，f()sin .【答案】A2若曲线y在点P处的切线斜率为4，则点P的坐标是()A. B.或C. D.【解析】y，由4，得x2，从而x，分别代入y，得P点的坐标为或.【答案】B3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，
2、记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)【解析】观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)【答案】D4若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A1B2C2D0【解析】由f(x)ax4bx2c得f(x)4ax32bx，又f(1)2，所以4a2b2，f(1)4a2b(4a2b)2.故选B.【答案】B5已知函数f(x)xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A1B1C1D不存在【解析】因为f(x)xln x，所以f(x)ln x1，于是有x0ln x0ln x011，解得x0
3、1或x01(舍去)，故选A.【答案】A6过点(0,1)且与曲线y在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为() 【导学号：26160104】A2xy10Bx2y20Cx2y20D2xy10【解析】y，y|x3，故与切线垂直的直线斜率为2，所求直线方程为y12x，即2xy10.故选D.【答案】D7.已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图1所示，则yf(x)()图1A在(，0)上为减函数B在x0处取得极小值C在(4，)上为减函数D在x2处取极大值【解析】在(，0)上，f(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(4，
4、)上，f(x)e时，y0；当0x0.故y极大值f(e)e1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.【答案】A11对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)【解析】若f(x)不恒为0，则当x1时，f(x)0，当xf(1)，f(1)2f(1)若f(x)0恒成立，则f(2)f(0)f(1)，综合，知f(0)f(2)2f(1)【答案】D12若函数f(x)在(0，)上可导，且满足f(x)xf(x)，则一定有()A函数F(x)在(0，)上为增函数B函数F(x)在(0，)上为减函数C函数G(
5、x)xf(x)在(0，)上为增函数D函数G(x)xf(x)在(0，)上为减函数【解析】设G(x)xf(x)，则G(x)xf(x)f(x)0，故G(x)xf(x)在(0，)上递增，故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13函数f(x)ln xx的单调递增区间为_【解析】令f(x)10，解不等式即可解得x1，注意定义域为(0，)所以0x1.【答案】(0,1)14设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_【解析】f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，从而x1
6、x21，所以a9.【答案】915若函数f(x)ln|x|f(1)x23x2，则f(1)_.【解析】当x0时，f(x)ln xf(1)x23x2，f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3.当x0时，f(x)ln(x)f(1)x23x2，f(x)2f(1)x32f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)8.【答案】816当x1,2时，x3x2x2.【答案】(2，)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1与直线l：4xy10平行，且点P0在第三象限(1)求点P0的坐标； 【导学号：
7、26160105】(2)若直线l2l1，且l2也过点P0，求直线l2的方程【解】(1)由yx3x2，得y3x21.令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线l2l1，l1的斜率为4，直线l2的斜率为.l2过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l2的方程为y4(x1)，即x4y170.18(本小题满分12分)(2015重庆高考)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性【解】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以
8、f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得，g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数19(本小题满分12分)设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)，求g(x)的单调区间和最小值【解】由题意知f(x)，g(x)ln x，g(x).令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间当x(1，)时
9、，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以g(x)的最小值为g(1)1.20(本小题满分12分)(2014重庆高考)已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【解】(1)对f(x)求导得f(x)，由yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)可知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义域(0，)内，舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f
10、(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值21(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解】(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3
11、x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大22(本小题满分12分)(2016秦皇岛高二检测)已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过原点，f(1)0，曲线yf(x)在原点处的切线与直线y2x3的夹角为135.(1)求f(x)的解析式； 【导学号：26160106】(2)若对于
12、任意实数和，不等式|f(2sin )f(2sin )|m恒成立，求m的最小值【解】(1)由题意，有f(0)c0，f(x)3x22axb且f(1)32ab0，又曲线yf(x)在原点处的切线的斜率kf(0)b，而直线y2x3与此切线所成的角为135，所以1.联立解得a0，b3，所以f(x)x33x.(2)|f(2sin )f(2sin )|m恒成立等价于|f(x)maxf(x)min|m，由于2sin 2,2，2sin 2,2，故只需求出f(x)x33x在2,2上的最值，而f(x)3x23，由f(x)0得x1，列表如下：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2222所以f(x)max2，f(x)min2，所以|f(x)maxf(x)min|4m，所以m的最小值为4.