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1、江西省重点中学协作体2013届高三第一次联考数学试题(理科)命题人： 南昌二中 赖敬华 鹰潭一中 黄鹤飞本试卷分第卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟 第卷一.选择题(本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、巳知 是虚数单位，集合（整数集）和 则集合 的元素个数是（ ） A3个 B2个 y=2x-3否是 开始输入x x5y= x -1输出y结束是否x2y=x2C1个 D无穷个2、下列说法正确的是( )A函数在其定义域上是减函数B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C命题“R，”的否定是“R，”D给
2、定命题、，若是真命题，则是假命题3、如图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输 出相应的值若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有( )个.A1 B2 C3 D44、如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A B C D5、函数的图象如图所示，其中,，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）A对称轴方程是 BC最小正周期是 D在区间上单调递减6、现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方
3、法有（ ）A60种 B54种 C30种 D42种7、若函数在上可导，且满足不等恒成立，常数,满足则下列不等式一定成立的是（ ）A BC D8、若变量满足约束条件，则取最小值时， 二项展开式中的常数项为（ ） A B C D 9、一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4,锐角为450的平行四边形，则该几何体的体积为 ( )A B C D以上答案均不正确10、已知椭圆的两个焦点，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. 若过点(1,0)的直线与椭圆交于不同两点、，轴上存在定点(,0），使恒为定值，则的坐标为 ( )A B C D第卷二.填空题(本
4、大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置)11、数列共有11项，满足这样条件的不同数列的个数为 ；12、某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ；O405060708090100分数0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035频率组距第（12）题图 13、设函数在处取得极值，则= ；14、如图放置的正方形,，,分别在轴、轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ；15、（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）（A） （坐标系与参数
5、方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形顶点按顺时针方向排列)的顶点的极坐标分别为，则顶点的极坐标为 ；（B） （不等式选讲选做题）关于的不等式：的解集为，若，则实数的值等于 .三.解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题12分）在钝角三角形ABC中，分别是角A、B、C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）求函数的值域17、（本小题12分）张先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）（1）求这7条鱼中至少有6条被
6、张先生吃掉的概率；（2）以表示这7条鱼中被张先生吃掉的鱼的条数，求的分布列及其数学期望18、（本小题12分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和（1）求数列的通项公式和；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在,请说明理由19、（本小题12分） 在等腰梯形中，为上的点且，将沿折起到的位置，使得二面角的平面角为30.（1）求证：（2）求二面角的余弦值20、（本小题13分）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点为点是坐标平面内一点，且其中为坐标原点。（1）求椭圆的方程；0xySBA（2）如图，过点的动直线交椭圆于两点，是否存在
7、定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由21、（本小题14分）已知函数，当时，函数取得极大值.（1）求实数的值；（2）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（3）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有 数学试题(理科)答案第卷一、选择题：BDCCD,DBADC二、填空题：11.120,12.600,13.2 14.2 15.A B，11解析：或设有个1，则有个所以这样的数列个数有14 【解析】法一: 取的中点,连接.则 法二:设,则, 三、解答题;本大题共6小题，共75分。解答应
8、写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题12分） （）7分当角B为钝角时，角C为锐角，则，10分当角B为锐角时，角C为钝角，则，11分综上，所求函数的值域为.12分17.解：（）设张先生能吃到的鱼的条数为张先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼， 2分张先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼， 4分故张先生至少吃掉6条鱼的概率是 6分（）张先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天张先生吃掉黑鱼,其概率为 8分 10分所以的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分)4567P11分故，所求期望值为5. 121
9、8.解:（）（法一）在中，令，得 即 解得，, -2分-3分-4分-6分（法二）是等差数列， 由，得 ， 又，则(求法同法一) （）， 若成等比数列，则，即 法一:由，可得 -8分即， -10分又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列12分（法二）因为，故，即，（以下同上）19.解：（）证明如图1中，在等腰梯形ABCD中，AB3，CD1，AE1，DEAB，如图2中，DEA1E，DEBE，DE平面A1EB，故DEA1B.（）如图建立空间直角坐标系，设EA1与x轴所成的角为，则A1(cos ，sin ，0)，B(0,2,0)，C(0，1，)，D(0,0，)，(cos ，1sin
10、，)，(0,1,0)，设平面A1CD的法向量为n1(x，y，z)，平面BCDE的法向量为n2(1,0,0)，则令z1，则n1，cosn1，n2，解得cos 21，即0，此时点A1在x轴上，A1(1,0,0)，(1,2,0)，n1(，0,1)，设平面A1BC的法向量为n3(x，y，z)，则令y1，得n3.故cosn1，n3.结合图形，可得二面角BA1CD为钝角，故二面角的余弦值为.20.解: （）设，, 1分又,，即 2分代入得：. 又故所求椭圆方程为 5分（）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： 当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： 由，知定点M下证：以AB为直径的圆恒过定点M。设直线，代入，有.设，则. 8分则，在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点. 13分21.解：（）. 由，得，此时.当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故.3分（）令，4分则.函数在上可导，存在，使得.又当时，单调递增，；当时，单调递减，；故对任意，都有.8分（）用数学归纳法证明.当时，且，由（）得，即，当时，结论成立.9分假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足令， 则，且. 13分当时，结论也成立.综上由，对任意，结论恒成立. 14分