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1、习题621求图621中各画歪线局部的面积(1)解画歪线局部在x轴上的投影区间为01所求的面积为3x21023121621x0A(xx)dx.(2)解法一画歪线局部在x轴上的投影区间为01所求的面积为所求的面积为1A(ee)dx(exe)|1xx100解法二画歪线局部在y轴上的投影区间为1eeedye(e1)1Alnydyylny|1e11(3)解画歪线局部在x轴上的投影区间为31所求的面积为132323(3x)2xdxA(4)解画歪线局部在x轴上的投影区间为13所求的面积为313323A1(23xx2)dx(x23x33x)|12.求由以下各曲线所围成的图形的面积1222x与xy8(两局部都要
2、盘算)2(1)y解212222x2dx208xdx283A2(8x2x)dx208xdx2210083431604cos2tdt243A2(22)2S161x与直线yx及x2(2)y解所求的面积为21x32A(x)dxln21xx(3)yeye与直线x1解所求的面积为112A(exex)dxe0e(4)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb(ba0).解所求的面积为lnblnblnaAeydyeybalna23求抛物线yx4x3及其在点(03)跟(30)处的切线所围成的图形的面积解y2x4过点(0,3)处的切线的歪率为4切线方程为y4(x3)过点(3,0)处的切线的歪率为2切线方程为y2
3、x632两切线的交点为(,3)所求的面积为320394A4x3(x24x3)2x6(x24x3dx32p24求抛物线y=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积2解2yy2pppy(在点(,p)处y1法线的歪率k1p2,p)2法线的方程为yp(xp)3py即x22求得法线与抛物线的两个交点为(p,p)跟(p,3p)922法线与抛物线所围成的图形的面积为p(3p2y22p3p2121163Ay)dy(yy26py3)p3pp23p5求由以下各曲线所围成的图形的面积(1)2acos解所求的面积为12a2A2(2acos)2d4a220cosd2233(2)xacost,yasint;解所求
4、的面积为a0A4ydx4(asin3t)d(acos3t)4a3223costsintdt2400212a202sin4tdt2sin6tdta208(3)=2a(2+cos)解所求的面积为21222(44cosA2a(2cos)2d2acos2)d18a2006求由摆线xa(tsint)ya(1cost)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积解所求的面积为2a2a2a2(1cost)Aydxa(1cost)a(1cost)dta02dt002a1cost)dt3a22a2(12costae(07求对数螺线)及射线所围成的图形面积解所求的面积为112a22(ae)da2ed22(e2e)A2
5、48求以下各曲线所围成图形的大众局部的面积(1)3cos及1cos解1cos交点的极坐标为A(,)B(3,323曲线3cos与)23由对称性所求的面积为121254A230(1cos)2d2(3cos)d23(2)2sin及2cos2解22sin与2cos2的交点M的极坐标为M(,)26所求的面积为曲线A211213620(2sin)2d4co2sd662x9求位于曲线y=e下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积x解设直线ykx与曲线ye相切于A(xy0)点那么有0y0kx0yex00xy(x)ek00求得x1yeke00所求面积为e1e12ee1ye2ee0(ylny)dy
6、y2ylnyydy000210求由抛物线y4ax与过核心的弦所围成的图形的面积的最小值解设弦的倾角为由图能够看出抛物线与过核心的弦所围成的图形的面积为AAA10显然当时A0当1时A0122因而抛物线与过核心的弦所围成的图形的面积的最小值为a83a083A22axdxax3a200211把抛物线y4ax及直线xx(x0)所围成的图形绕x轴扭转盘算00所得扭转体的体积解所得扭转体的体积为x0x0x0Vy2dx4axdx2ax22ax0200012由yx3x2y0所围成的图形分不绕x轴及y轴扭转盘算所得两个扭转体的体积解绕x轴扭转所得扭转体的体积为22171287202ydxx6dx0x7Vx0绕y
7、轴扭转所得扭转体的体积为2388yV22y8x2dy32dy008y530356453213把星形线x2/3所围成的图形a2/3绕x轴扭转盘算所得旋y2/3转体的体积解由对称性所求扭转体的体积为2323aa2)3dxV2ydx2(ax0043ax3axx3232433a32a31052(a22)dx0H3214用积分办法证实图中球缺的体积为VH(R)RR222证实Vx(y)dy(Ry)dyH2RHRH13R2(Ryy3)H(R)3RH15求以下曾经明白曲线所围成的图形按指定的轴扭转所发生的旋转体的体积22(1)yxxy绕y轴1112153101(y)dy(y2225y)解Vydy000(2)y
8、achxax0xay0绕x轴aax令xaua132y(x)dx222解Vachdxachudu000a34a13121(e2ue2u)12u2u2u(e2e)du0420a3(2sh2)422(3)x(y5)16绕x轴44(516x)dx22(516x)dx22解V444224016xdx1600(4)摆线xa(tsint)ya(1cost)的一拱y0绕直线y2a2a2a22解V(2a)dx(2ay)dx0028a322aa(1cost)da(tsint)2028a32a32(1cost)sintdt7a32022216求圆盘xya绕xb(ba0)旋转所成扭转体的体积aa(bay)dy2222
9、22解V(bay)dyaaa22228baydy2ab其高为h椭圆的轴长分不为2a、2b跟2A、017设有一截锥体上、下底均为椭圆2B求这截锥体的体积解树破坐标系如图过y轴上y点作垂直于y轴的平面那么平面与截锥体的截面为椭圆易得其是非半轴分不为AayhBbyhABAay)(BBby)截面的面积为(Ahh因而截锥体的体积为hAay)(BBby)dy(A16h2(abAB)aBbAVhh018盘算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条牢固直径的一切截面基本上等边三角形的平面体积解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x)由曾经明白前提知它是边长为Rx的等边三角形的面积其值为22A(x)3(Rx2)R4
10、3R3x)dx23因而V3(R2R19证实由平面图形0axb0yf(x)绕y轴扭转所成的扭转体的体积为bV2xf(x)dxa证实如图在x处取一宽为dx的小曲边梯形轴扭转所得的扭转体的体积近似为2xf(x)dx小曲边梯形绕y这确实是体积元素即dV2xf(x)dx因而平面图形绕y轴扭转所成的扭转体的体积为bbV2xf(x)dx2xf(x)dxaa20应用题19跟论断盘算曲线ysinx(0x)跟x轴所围成的图形绕y轴扭转所得扭转体的体积2解V2xsinxdx2xdcosx2(xcosxsinx)200021盘算曲线ylnx上响应于3x8的一段弧的长度1x2x881(1x)8s1y2(x)dx2dxd
11、x解333令1x2t即xt21那么3tt3t22331131dt1ln2t222sdt1dtdttt21t1222222盘算曲线yx(3x)上响应于31x3的一段弧的长度1311x2x2解yxxxy111x12(x1x)y21y24x24所求弧长为13(x1x)dx(xx2x)231223433s21123x323盘算半破方抛物线y23(x1)被抛物线y2截得的一段弧的长度23xy2(x1)3解由6)得两曲线的交点的坐标为(2,6)3(2,3y2322所求弧长为s21ydx1由于(x1)2y(x1)4(x1)4322yy2(x1)2y2y(x1)y223(x1)3因而3223222853x1d
12、(3x1)()s21(x1)dx1921321224盘算抛物线y2px从极点到这曲线上的一点M(xy)的弧长yyy1py21x(y)dy222pydy解s1()dyp0002p2ln(yp1yp2yp2y22y2)0pypy22y2py2ln2p2p3325盘算星形线xacostyasint的全长解用参数方程的弧长公式222s4x(t)y(t)dt02222243acost(sint)3asintcostdt0212sintcostdt6a026将绕在圆(半径为a)上的细线摊开拉直相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线xa(costtsint)使细线与圆周一直它的方程为ya(sinttcost)
13、盘算这曲线上响应于t从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式2222sx(t)y(t)dt(atcost)(atsint)dt00a22atdt027在摆线xa(tsint)ya(1cost)上求分摆线第一拱成13的点的坐标解设t从0变更到t时摆线第一拱上对应的弧长为0s(t0)那么t0t02222a(1cost)asintdts(t0)x(t)y(t)dt00ttt2002asindt4a(1cos)20当t2时得第一拱弧长s(2)8a为求分摆线第一拱为013的点为A(xy)令4a(1cost)2a0223解得t0因而分点的坐标为横坐标xa(2sin)(2233)a33223纵坐标ya(1cos)a32故所求分点的坐标为(233)a,a)32228求对数螺线ea响应于自0到的一段弧长解用极坐标的弧长公式a2a2(e)(ae)ds2()2()d1a20001a2ead(ea1)a344329求曲线1响应于自至的一段弧长解按极坐标公式可得所求的弧长43343312()()d212()2()d2s444331251223ln21d430求心形线a(1cos的全长解用极坐标的弧长公式2()2()d2a(1cos)(asin)d222s2004acosd8a20