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1、历史因你而改变历史因你而改变 学习因你而精彩学习因你而精彩第十八章第十八章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理( (一）一） 星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩景区游玩, ,同学们看到山势险峻同学们看到山势险峻, ,查看景区示意查看景区示意图得知图得知: :凌峰山主峰高约为凌峰山主峰高约为900900米米, ,如图如图: :为了方为了方便游人便游人, ,此景区从主峰此景区从主峰A A处向地面处向地面B B处架了一条处架了一条缆车线路缆车线路, ,已知山底端已知山底端C C处与地面处与地面B B处相距处相距12001200米米, ,
2、 ,请问缆车路线请问缆车路线AB长应为多少？长应为多少？90ACB问题情境问题情境看一看看一看 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么？能发现什么？数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平
3、方和等于斜边的平方ABCABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2探究一：等腰直角三角形三边关系等腰直角三角形三边关系A的面的面积积(单位单位面积面积)B的面的面积积(单位单位面积面积)C的面的面积积(单位单位面积面积)图图1图图299ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形（单位面积）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2 SA+S
4、B=SCA的面的面积积(单位单位面积面积)B的面的面积积(单位单位面积面积)C的面的面积积(单位单位面积面积)图图19918图图2A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方ABC图图3ABC图图4分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形cS正方形25144 3 12 （单位面积）（单位面积）一般的直角三角形一般的直角三角形三边关系三边关系探究二：A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C如果直角三角形的两条直角如果直角三角形的两条直角边长分别是边长分别是a、b，斜边长斜边长为为c.
5、猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2结论：结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方等于斜边的平方. . 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦较长的直角边称为股，斜边称为弦.图图1-1称为称为“弦图弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的作法时给出的.图图1-2是在北京召开的是在北京召开的2002年国际数年国际数学家大会（
6、学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是的会标，其图案正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就. 图1-1图1-2 这是这是2002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标赵爽弦图赵爽弦图 ab4+(b-a)=c a+b =cabc2ab+（b-2ab+a）=c12此结论被称为“勾股定理”.在RtABC中，C=900 ，边BC、AC、AB所对应的边分别为a、b、c则存在下列关系，结论：结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. a2+b2=c2勾勾股股弦弦cabBCA如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为斜边
7、为c，那么那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理 C C9090 a2 + b2 = c2cabBCA 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国
8、家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们发现了勾股定理，因此在国外学派，他们发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年
9、希腊年希腊曾经发行了一枚纪念邮票曾经发行了一枚纪念邮票. 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经中周髀算经中.分析：已知分析：已知ABC中，中，90ACB， AC=900米，米，BC=1200米米， 求斜边求斜边ABAB的长的长. 例例1.星期日老师
10、带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学们看到山势险峻同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知查看景区示意图得知:凌峰山主峰凌峰山主峰高约为高约为900米米,如图如图:为了方便游人为了方便游人,此景区从主峰此景区从主峰A处向地处向地面面B处架了一条缆车线路处架了一条缆车线路,已知山底端已知山底端C处与地面处与地面B处相距处相距1200米米,请问缆车路线请问缆车路线AB长应为多少长应为多少? 90ACB勾股定理的运用一勾股定理的运用一已知直角三角形的任意两条边已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长长，求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2
11、=a2+b2在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=900 0，A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c （1 1） 已知已知a=1a=1，b=2b=2，求，求c c （2 2） 已知已知a=10a=10，c=15c=15，求，求b bACBbac例例2：将长为：将长为5米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2米，求梯子上端米，求梯子上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离.CAB解：在解：在RtABC中，中，ABC=90 BC=2 ，AC=5 AB2= AC - BC = 5-2 =21 AB= （米）米） (舍去负值）舍去负
12、值）21做一做：做一做： P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_24225BACAB=_AC=_BC=_251520求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169X=15Y=5Z=7比比一一比比看看谁谁算算得得又又快快又又准！准！求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长x x: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.勾股定理运用二勾股定理运用二: :8 8x x171716162020 x x12125 5x xX=15X=12X=13
13、 1 1、直角、直角 ABCABC的两直角边的两直角边a=5,b=12,c=_a=5,b=12,c=_ 2、直角直角 ABCABC的一条直角边的一条直角边a=10,a=10,斜边斜边 c=26c=26，则则b= b= ( ).( ).、已知：C90，a=6a=6， a：b3：4，求求b b和和c c.cab13b=8 c=1024课堂反馈课堂反馈、本节课我们经历了怎样的过程？、本节课我们经历了怎样的过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问
14、题的过程.、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想验证数学结论的数形结合思想.、学了本节课后我们有什么感想？、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育辉煌历史的教育.小结小结 分层测试:A组组: 1、在、在 中，中， ， AB=7, AC=3,求求BC的长的长. B组组: 2、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中， DEAC于于E，设，设AE=8， 且且AD=10, EC = 4, 求求DE 和和AB的长的长ABCDEABC90CACBbac作业作业必做题：课本必做题：课本77页第页第1、2、3题题. 选做题：收集有关勾股定理的其它选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、证明方法，下节课展示、 交流交流.