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1、第八讲列方程解使用题二列方程解使用题的要紧步调1.审题寻出标题中触及到的各个量中的要害量，谁人量最好能跟标题中的其余量有着严密数目关联；2.用字母来表现要害量，用含字母的代数式来表现标题中的其余量；3.寻到标题中的等量关联，树破方程；4.解方程；5.经过求到的要害量求得标题终极谜底解二元一次方程多元一次方程1.消元目标：马上二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程2.消元办法：要紧有代入消元跟加减消元1.会解种种方程及方程组，纯熟控制种种解方程的解法2.依照题意寻寻等量关联的办法来构建方程及方程组3.公道计划等量关联，设未知数、列方程组。例1：有一个五位数，在它前面写上一个7，失失落一个六位
2、数；在它前面写上一个7，也失失落一个六位数假如第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么谁人五位数是剖析：设五位数是x，那么第一个六位数是，第二个六位数是依题意列方程，解得例2：松鼠妈妈采松子，好天天天能够采个，雨天天天能够采个，它连续几多天采了个松子，均匀天天采个，咨询这几多天傍边有几多天是下雨天？剖析：依照题意，松鼠妈妈采的松子有好天采的，也有雨天采的，总的收罗数能够求得，收罗天数也断定，因而可列方程组来求解设好天有天，雨天有天，那么可列得方程组：化简为用加减法消元：得：解得.因而此中世界雨.例3：把金放在水里称，其分量加重；把银放在水里称，其分量加重现有一块金银合金重克，放在水里称共加重了克
3、，咨询这块合金含金、银各几多克？剖析：设770克合金中金有克，那么银有克，依照题意，有：，解得，即这块合金中金有570克，银有克例4：口袋中有假定干白色跟白色的球假定取走一个红球，那么口袋中的红球占；假定掏出的不是一个红球而是两个白球，那么口袋中的白球占.本来口袋中白球比红球多几多个？剖析：设本来红球数为，白球数为，那么依照标题前提有以下数目关联：方程组解得，本来口袋中白球比红球多个例5：张老师购置了一套老师室庐，原方案采用分期付款方法一种付款方法是开场第一年先付7万元，当前每年付款1万元；另一种付款方法是前一半时刻每年付款2万元，后一半时刻，每年付款1万5千元两种付款方法的付款总数跟付款时刻
4、都一样假定一次性付款，能够少付房款1万6千元如今张老师决议采纳一次性付款方法咨询：张老师要付房款几多万元？剖析：设分期付款方法的付款时刻为年，那么：将的值代入方程的右式(也可代入左式)，可知分期付款的付款总数为(万元)因而，一次性付款的总数为(万元)例6：姐姐如今的年纪是弟弟昔时年纪的倍，姐姐昔时的年纪跟弟弟如今的年纪一样，姐姐与弟弟如今的年纪跟为岁，那么弟弟如今的年纪是几多岁？剖析：设弟弟如今的年纪是岁，那么姐姐的年纪为岁，年纪差为，弟弟昔时年纪为岁，由题意可列方程，解得因而，弟弟如今的年纪是岁。A1.用边长一样的正六边形白色皮块、正五边形玄色皮块总计32块，缝制成一个足球，如以下列图，每个
5、玄色皮块毗邻的基本上白色皮块；每个白色皮块相间地与3个玄色皮块及3个白色皮块相毗邻咨询：谁人足球上共有几多块白色皮块？剖析：设谁人足球上共有x块白色皮块，那么共有3x条边是彩色皮块共有的另一方面，玄色皮块有块，共有条边是彩色皮块共有的如图因为在谁人足球上彩色皮块共有的边是个定值，列得方程：，解得即谁人足球上共有20块白色皮块2.某八位数形如，它与3的乘积形如，那么七位数应是剖析：设，那么，即七位数应是85714283.有三个延续的整数，曾经明白最小的数加上两头的数的两倍再加上最年夜的数的三倍的跟是68，求这三个延续整数.剖析：设最小的谁人数为，那么两头的数跟最年夜的数分不为跟那么，因而这三个延
6、续整数顺次为10、11、124.小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军一切的书是小力的2倍，两人本来各有几多本书？剖析：设小力原有故事书x本，那么小军原有故事书3x本。小力原有故事书5本，小军原有故事书15本5.一群先生进展篮球投篮检验，每人投10次，按每人进球数统计的局部状况如下表：进球数0128910人数754341还明白至多投进3个球的人均匀投进6个球，投进不到8个球的人均匀投进3个球咨询：共有几多人参与检验？剖析：设有人参与检验由上表看出，至多投进个球的有人，投进不到个球的有人投中的总球数，既即是进球数不到3个的人的进球数加上至多投进3个球的人的进球
7、数，为；也即是进球数不到8个的人的进球数加上至多投进8个球的人的进球数，为；由此可得方程：，解得故共有人参与检验6.甲、乙、丙三人同乘汽车到本地游览，三人所带行李的分量都超越了可收费携带行李的分量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克假如一团体带150千克的行李，除收费局部外，应另付行李费8元求每人可收费携带的行李分量剖析：设每人可收费携带千克行李一方面，三人可收费携带千克行李，三人携带150千克行李超重千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携带150千克行李超重千克，超重行李需付行李费8元依照超重行李每千克敷衍的钞票数一样，可列方程：，因而每人可收费携带的行李分量为30
8、千克7.某游览点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，假如是集团还能够买均匀32元一位的集团票，一个由8个家庭构成的游览团(每个家庭由两位年夜人，或两个年夜人、一个小孩构成)来景点游览，假如他们买集团票那么能够比他们各自买票少花120元，咨询谁人游览团一共有几多人？剖析：设八个家庭中有个是三口之家，是个两口之家，那么，因而游览团一共有人。8.有一步队以1.4米/秒的速率行军，末端有一通信员因事要告诉排头，因而以2.6米/秒的速率从末端赶到排头并破刻前往排尾，共用了10分50秒。咨询：步队有多长？剖析：这是一道“追及又相遇的咨询题，通信员从末端到排头是追及
9、咨询题，他与排头所行行程差为步队长；通信员从排头前往排尾是相遇咨询题，他与排尾所行行程跟为步队长。假如设通信员从末端到排头用了秒，那么通信员从排头前往排尾用了秒，因而不难列方程。设通信员从末端赶到排头用了秒，依题意得，解得推知步队长为米。9.有甲、乙、丙三团体，当甲的年纪是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年纪是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是几多岁?剖析：设丙岁时，乙的年纪是岁，事先甲的年纪确实是岁，甲乙的年纪差为岁那么甲是3l岁时，乙是岁，丙是岁，列方程得，解得，因而乙25岁时，甲50岁，丙22岁那么甲60岁时，丙32岁10.金银合金的分量是克，放在水中称重时，分量加重了克，曾经明白金
10、在水中称分量加重，银在水中称分量加重，求这块合金中金、银各含几多克？剖析：设克合金中，金有克，那么银有克；依题意：，解得，因而这块合金中金有克，银有克B11.早年有一位王子，有一天，他把几多位妹妹招集起来，出了一道数学题考她们标题是：我有金、银两个金饰箱，箱内分不装有假定干件金饰，假如把金箱中的金饰送给第一个算对谁人标题的人，把银箱中的金饰送给第二个算对谁人标题的人，而后我再从金箱中拿出件送给第三个算对谁人标题的，再从银箱中拿出件送给第四个算对谁人标题的人最初我的金箱中剩下的金饰比分失落的多件，银箱中剩下的金饰与分失落的比是王子的金箱中本来有金饰_件，银箱中本来有金饰_件剖析：设本来金箱中有金
11、饰件，银箱中有金饰件，那么：，解得，故金箱中本来有金饰件，银箱中本来有金饰件12.运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车统共多3个苹果，乙车比丙车统共多5个苹果，这三车苹果共有几多个？剖析：设乙车运来箱，每箱装个苹果，依照题意列表如下：车不甲乙丙箱数每箱苹果数依照上表可列出如下方程：，化简为，得：，因而将代入或，可得：因而甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个三车苹果的总数是：(个)13.有年夜、中、小三种包装的筷子盒，它们分不装有双、双、双筷子，一共装有双筷子，此中小盒数是中盒数的
12、倍咨询：三种盒各有几多盒？剖析：设中盒数为，年夜盒数为，那么小盒数为，依照标题前提有两个等量关联：该方程组解得，因而年夜盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.14.甲、乙两人消费一种产物，这种产物由一个配件与一个配件构成甲天天消费300个配件，或消费150个配件；乙天天消费120个配件，或消费48个配件为了在10天内消费出更多的产物，二人决议协作消费，如斯他们最多能消费出几多套产物？剖析：假定甲、乙分不有天跟天在消费配件，那么他们消费配件所用的时刻分不为天跟天，那么10天内共消费了配件个，共消费了配件个要将它们配成套，配件与配件的数目应相称，即，失失落，那么如今消费的产物的套数为，要使消费的产物
13、最多，就要使得最年夜，而最年夜为10，因而最多能消费出套产物15.米老鼠从到，唐老鸭从到，米老鼠与唐老鸭行走速率之比是，如以下列图所示是、的中点，离点26千米的点有一个妖怪，谁从它处经过就要减速25%，离点4千米的点有一个神仙，谁从它处经过就能减速25%如今米老鼠与唐老鸭同时动身，同时抵达，那么与之间的间隔是千米剖析：设，米老鼠的行走速率为，那么唐老鸭的行走速率为()，如以下列图，那么有米老鼠从到需求时刻，唐老鸭从到需求时刻因为米老鼠与唐老鸭用的时刻一样，因而列方程，解得因而，、两地相距92千米16.甲、乙两种商品的本来价格比是假如它们的价格各自下跌元，它们的价格比变为求甲乙两种商品的原价各是
14、几多元？剖析：办法：设甲乙两种商品本来价格分不为元，元，依照跌价后价格比为，列方程得，解得，因而本来两种商品的原价各是元，元办法：设甲乙两种商品原价各是元,元，依题意列方程组得解得甲乙两种商品原价各是元,元办法：因为本来两种商品相差份，跌价后相差份，因为跌价钞票数一样，因而应涨份，因而本来两种商品的价格比，跌价后价格比，因而价格涨了份，正是元，因而份是元，因而本来两种商品的价格各是为元，元17.求方程3x5y31的整数解剖析：办法一：应用欧拉不离法，由原方程，得x，即x102y，要使方程有整数解必需为整数取y2，得x102y10417，故x7，y2当y5，得x102y101022，故x2，y5
15、当y8，得x102y10163无解因而方程的解为：办法二：应用余数的性子3x是3的倍数，跟31除以3余1，因而5y除以3余12y除以3余1，依照谁人状况用余数的跟与乘积性子进展断定为：取y1，2y2，2302舍y2，2y4，4311契合题意y3，2y6，632舍y4，2y8，8322舍y5，2y10，10331契合题意y6，2y12，1234舍当y6时，后果超越31，不契合题意。因而方程的解为：18.解方程此中a、b、c均为正整数剖析：依照等式的性子将第一个方程收拾得，依照消元的思维将第二个式子扩展4倍相减后为：，收拾后得，依照等式性子，为偶数，20为偶数，因而为偶数，因而为偶数，事先，因而，
16、事先，因而无解。因而方程解为19.解不定方程(此中x、y、z均为正整数)剖析：依照等式的性子将第一个方程收拾得，依照消元思维与第二个式子相减得，依照等式的性子双方同时除以2得：，依照等式性子为4的倍数，100为4的倍数，因而为4的倍数，因而为4的倍数试值如下20.某公交车终点站已停放10辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔8分钟就有一辆公交车开出，在第一辆公交车开出4分钟后，有一辆公交车进站，当前每隔12分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车顺次开出之后又顺次每隔8分钟开出一辆，咨询：第一辆公交车开出后，经过几多时刻，车站第一次不克不及误点发车？剖析：假定第一辆公交车开出分钟后车站无
17、车可发，可列方程：，解得第一辆公交车开出后第232分钟能够发一趟车，到第240分钟时就无车可发了，因而谜底是经过240分钟后车站第一次不克不及误点发车C21.如图，图中、跟分不代表包括该数字的三个三角形的面积试咨询：包括谁人字母的四边形面积是几多？剖析：如图，设虚线把四边形分红面积为、的两个三角形.应用同高的两个三角形面积之比即是响应底边之比，可得：可化简为跟可化简为，由这两条方程形成方程组：，方程组可解得：，因而四边形的面积为.22.甲、乙、丙三团体玩三张牌，这三张牌分不写着差别的天然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的天然数得分，反复玩了次后，甲共得分，乙跟丙各得分，那么这三张牌上写的数是
18、哪三个数？剖析：三张牌上的三个数之跟是因为不克不及整除跟，因而甲、乙、丙谁也不克不及够三次拿到统一张牌，又因为谁也不拿到三张牌各次，因而三人基本上拿了某张牌两次、另一张牌一次设三张牌从年夜到小写的数顺次为、.由乙、丙各得分，推知乙、丙的三张牌是、跟、.那么甲的三张牌是、.由得.由得，从而.将代入、得，.因而，三张牌从年夜到小写的数顺次是，.23.三张卡片上分另标有、数码(整数)且，游戏时将三张卡片随便散发给、三团体，每人各一张，依照每团体失失落卡片上的数码数分不给他们记分，如斯反复游戏假定干轮，后果、三人得分总数分不为20、10、9曾经明白在最初一轮的得分是，那么在第一轮得分是；2、分不是、剖
19、析：三人总分为假如游戏进展了39或13轮，那么或3，与抵触；假如游戏只进展了1轮，那么，被失失落，与“在最初一轮的得分是抵触因而游戏进展了3轮，且因为共得10分，且最初一次得分，因而前两次都得分，否那么三次至多得13分因为三次总分比少，因而没得过火，前两次都得分，即第一轮得分的是假定三次都得，由得跟得，解得，与抵触，因而前两次得，最初一次得由解得，24.购置3斤苹果，2斤桔子需求元；购置8斤苹果，9斤桔子需求元，那么苹果、桔子各买1斤需求元.剖析：假定购置1斤苹果、桔子分不需求元、元，那么：，两式相加得，即。因而各买1斤需求元。点评：从下面的进程能够看出，此题能够直截了当采纳算术解法：买斤苹果
20、跟斤苹果，须元，因而各买1斤需求元.25.有甲、乙、丙三种物资，假定购甲件、乙件、丙件，共需元；假定购甲件、乙件、丙件，共需元；那么购置甲、乙、丙各件，共需求元。剖析：设甲、乙、丙的单价分不为，那么，由得，即各买一件需求元。点评：此题实践上是三元一次方程，但全体代入消元的思维与二元一次方程是一样的。26.假定五家共用一井取水，甲用绳根不敷，差乙家绳索根；乙用绳根不敷，差丙家绳索根；丙用绳索根不敷。差丁家绳索根；丁用绳索根不敷，差戊家绳索根；戊用绳根不敷，差甲家绳索根假如各得所差的绳索根，都能抵达井深咨询井深，绳长各是几多？井深为小于的整数剖析：顺次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为、，井深，那么可列
21、出方程组如下：谁人方程组不是二元一次方程组，然而解方程组的思维办法与二元一次方程组一样，顺次迭代，代入最初一个式子，即，因而，因而，27.在统一道路上有团体:第一团体坐汽车，第二团体开摩托车，第三团体乘助力车，第四团体骑自行车，种种车的速率是牢固的，坐汽车的时追上乘助力车的，时碰到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是时开摩托车的碰到乘助力车的是时，并在时追上骑自行车的，咨询骑自行车的几多时碰见乘助力车的？剖析：时往常的地位关联关于谁人咨询题的处理不起任何感化，因而咱们从时开场思索设汽车、摩托车、助力车、自行车的速率分不为、，设在时骑自行车的与坐汽车的间隔为，骑自行车的与开摩托车的之间的间隔为有失失
22、落，即设骑自行车的在时碰见骑助力车的，那么，即，因而因而骑自行车的在时候碰见骑助力车的28.河水是流淌的，在点处流入运动的湖中，一泅水者在河中逆流从到，而后穿过湖到，共用小时假定他由到再到，共需小时假如湖水也是流淌的，速率即是河水的速率，那么从到再到需小时咨询在如斯的前提下，从到再到需几多小时？剖析：设泅水者的速率为，水速为，那么有：且有、均不为得，即得，即由、得：，即因而，由得：小时即题中所述状况下从到再到需小时1.丁丁跟玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲7个，玲玲摘的苹果的个数确实是我的2倍玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁7个，他的苹果个数就跟我的一样多了咨询丁丁跟玲玲各摘了几多个苹
23、果？剖析：设丁丁摘了个苹果，由题意得：即丁丁摘了个苹果，而玲玲的苹果个数为(个)2.年夜强参与6次检验，第三、四次的均匀分比前两次的均匀分多2分，比后两次的均匀分少2分假如后三次的均匀分比前三次的均匀分多3分，那么第四次比第三次多得几多分？剖析：设第三次分数是a分，第四次的分数为分，那么前两次的分数之跟分，最初两次的分数之跟分，有，解得，即第四次比第三次多得1分3.亲孩子与父亲下围棋，单方商定父亲胜一局就得2分，亲孩子胜一局得8分，负的一方不论是谁都要扣1分，竞赛24局当前，父子得分一样，咨询他们各胜几多局？剖析：法一：设亲孩子胜下场，输下场，父亲胜下场，输下场，那么由得分关联得，解得，因而亲
24、孩子赢了6局，父亲赢了18局法二：此题中请求亲孩子跟父亲各胜几多局，可分不设两个未知数为跟，请求两个未知数的值，普通要依照差别的等量关联列出两个方程题中亲孩子、父亲竞赛的总局数是24局，可列出一个方程：别的，两人的得分一样，亲孩子胜的局数恰好是父亲负的局数，由此列出另一个方程：因而可列出方程组：将变形为，代入，得，解得，因而因而亲孩子胜了6局，父亲胜了18局4.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发觉剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发觉公羊与母羊的只数比是这群羊本来有几多只？剖析：设本来公羊
25、有只，母羊有只，那么依照标题前提有以下数目关联：依照有关比例性子，方程组可化简为：，因而这群羊本来有只.5.有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中掏出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相称了；再从乙堆中掏出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相称；如今又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，咨询：本来甲堆有几多个石子？剖析：解：设甲堆本来有x个石子，那么甲堆掏出8个给乙堆后，甲乙两堆基本上个石子；再从乙堆中掏出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都酿成个石子；如今又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数酿成个，丙堆石子数酿成个，有，解得1.有三个延续的整数，曾经明白最小的数加上两头的数的两倍再加上
26、最年夜的数的三倍的跟是，求这三个延续整数.剖析：设最小的谁人数为，那么两头的数跟最年夜的数分不为跟那么因而这三个延续整数顺次为10、11、12谜底：10、11、122.兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖失落本人养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相称，求兄弟两人本来各养鸭几多只？剖析：设兄本来养鸭x只，那么弟本来养鸭只只谜底：兄本来养鸭320只，弟本来养鸭230只3.一人瞥见山上有一群羊，他喃喃自语到：“我假如有这些羊，再加上这些羊，而后加上这些羊的一半，又加上这些羊一半的一半，最初再加上我家里的那只，一共有只羊山上的羊群共有_只剖析：设山上的羊有只，那么有等量关联，解得因而山上的
27、羊一共有只.谜底：只4.寒暑表上平日有两个刻度，摄氏度(记为)跟华氏度(记为)，它们之间的换算关联是：摄氏度华氏度，那么在摄氏几多度时，华氏度的值恰恰比摄氏度的值年夜剖析：设在摄氏度时，华氏度的值恰恰比摄氏度的值年夜，列方程：答：在摄氏度时，华氏度的值恰恰比摄氏度的值年夜谜底：度5.重阳节那天，延龄茶庄请来25位老运气茶，这25位白叟的年纪恰正是25个延续天然数，同时年纪之跟恰正是2000。咨询：此中年纪最年夜的白叟几多岁？剖析：设年纪最年夜的x岁，那么最小的x24岁。x24x2522000，x92谜底：92岁6.甲、乙两车先后以一样的速率从A站开出，10点整甲车距A站的间隔是乙车距A站间隔的
28、三倍，10点10分甲车距A站的间隔是乙车距A站间隔的二倍。咨询：甲车是何时从A站动身的？剖析：提醒：因为两车速率一样，故甲、乙两车距A站的间隔之比即是甲、乙两车行驶的时刻之比。设10点时乙车行驶了x分，用车行驶了3x分，据题意有2x10=3x10。解得x=10,因而汽车行驶了30分钟谜底：9点30分。7.10个小冤家的均匀身高是1.5米，此中有一些低于1.4米的，他们的均匀身高是1.2米；另一些高于1.4米的，他们的均匀身高是1.6米。那么最多有几多人的身高恰正是1.4米？剖析：假定身上下于1.4米的有人，高于1.4米的有人：解得那么身高恰正是1.4米的最多有人。谜底：3人8.生果店运来的西瓜
29、的个数是白兰瓜的个数的2倍假如天天卖白兰瓜40个，西瓜50个，假定干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个生果店运来的西瓜跟白兰瓜共几多个？剖析：设卖了天，依照题意列方程得，解得，因而西瓜跟白兰瓜共有谜底：西瓜跟白兰瓜共有个9.两年前，甲的年纪是乙的年纪的4倍；而如今，甲的年纪是乙的年纪的3倍，那么甲往年几多岁？剖析：设往年甲的年纪为岁，那么乙的年纪为岁，由两年前的年纪关联列方程得，解得，因而甲往年18岁谜底：甲往年18岁10.平行四边形的周长是80厘米，以边为底时，高为12厘米；以边为底时，高为20厘米，求平行四边形的面积剖析：厘米，设的长为厘米，的长为厘米，那么，解得因而平行四边形的面积是平方厘米谜底：平方厘米11.苹果跟梨共80斤，代价200元，曾经明白苹果2元一斤，梨元一斤，那么苹果跟梨各几多斤？剖析：设苹果斤，梨斤，那么有，解得因而苹果有30斤，梨有50斤谜底：苹果有30斤，梨有50斤12.往年怙恃的年纪跟是岁，兄弟的年纪跟是岁；四年后父亲的年纪是弟弟的年纪的倍，母亲的年纪是哥哥的年纪的倍，那么几多年后父亲的年纪是哥哥年纪的倍？剖析：四年后兄弟俩的年纪跟是岁，设如今哥哥岁，弟弟岁，依照题意，列方程，解得；因而，往年哥哥岁，父亲岁，因而5年后父亲的年纪是哥哥年纪的3倍谜底：5年