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1、 3.5 三角函数的图象与性质1.1.周期函数和最小正周期周期函数和最小正周期非零常数非零常数f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )2.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx图象图象定义域定义域_值域值域_R RR R-1-1，11-1-1，11R Rx|xRx|xR且且x + x + kk，kZkZ 2函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx单调性单调性递增区间是递增区间是_，递减区间是递减区间是_递增区间是递增区间是_
2、，递减区间是递减区间是_递增区间是递增区间是_2k,2k22(kZ(kZ) )32k,2k22(kZ(kZ) )2k-2k-，2k(kZ)2k(kZ)2k2k，2k+2k+(kZ(kZ) )(kZ(kZ) )(k,k)22函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx最值最值x=_x=_时，时，y ymaxmax=1=1；x=_x=_时，时，y yminmin=-1=-1x=_x=_时，时，y ymaxmax=1=1；x=_x=_时，时，y yminmin=-1=-1无最大值无最大值和最小值和最小值奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数2k (kZ)
3、22k (kZ)22k(kZ)2k(kZ)+2k(kZ)+2k(kZ)函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx对对称称性性对称对称中心中心_对称对称轴轴_无对称轴无对称轴最小正最小正周期周期2222(k(k，0)0)，kZkZ(k,0),kZ2k(,0),kZ2xk,kZ2 x=kx=k，kZkZ1.(1.(思考思考) )给出下列命题给出下列命题: :y=sinxy=sinx在第一、第四象限是增函数在第一、第四象限是增函数; ;所有的周期函数都有最小正周期所有的周期函数都有最小正周期; ;正切函数正切函数y=tanxy=tanx在定义域内是增函数在定义域
4、内是增函数; ;y=ksinx+1,xR,y=ksinx+1,xR,则则y y的最大值为的最大值为k+1;k+1;y=sin|xy=sin|x| |是偶函数是偶函数, ,其中正确的是其中正确的是 。【解析【解析】. .错误错误. .由由y=sin xy=sin x的递增区间是的递增区间是 (kZ)(kZ)可知可知不正确不正确, ,错误错误. .不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数f(xf(x)=)=C(CC(C为常数为常数) )的周期为任意非零实数，但没有最小正周期的周期为任意非零实数，但没有最小正周期错误错误. .正切函数正切函数y=tan xy=
5、tan x在每一个区间在每一个区间 (kZ)(kZ)上上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数. .错误错误. .当当k k0 0时时 y y的最大值为的最大值为k+1k+1；而当；而当k k0 0时时,y,y的最大值为的最大值为-k+1.-k+1.正确正确. .由由sin|-x|=sin|xsin|-x|=sin|x| |可知可知正确正确. .2k,2k22(k,k)222.(20142.(2014三明模拟三明模拟) )函数函数f(xf(x)=2sin( x+ )=2sin( x+ )，若对任意，若对任意xRxR都有都有f(xf(
6、x1 1)f(x)f(x)f(x)f(x2 2)(x)(x1 1,x,x2 2R)R)成立，则成立，则|x|x1 1- -x x2 2| |的最小值为的最小值为( )( )A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.425B B【解析【解析】选选B.B.由题意知由题意知f(xf(x1 1),f(x),f(x2 2) )分别是函分别是函数的最小值与最大值，故数的最小值与最大值，故|x|x1 1-x-x2 2| |minmin= =T1 22.2223.3.已知函数已知函数f(x)=sin(xf(x)=sin(x+ )(0)+ )(0)的最小的最小正周期为正周期为，则该函数的图象，则
7、该函数的图象( )( )A.A.关于直线关于直线x= x= 对称对称B.B.关于点关于点( ,0)( ,0)对称对称C.C.关于直线关于直线x= x= 对称对称D.D.关于点关于点( ,0)( ,0)对称对称33366B B4.4.设函数设函数f(xf(x) )A ABsinBsin x x，若，若B B0 0时，时，f(xf(x) )的最大值是的最大值是 最小值是最小值是 则则A A_，B B_._.32，12 ，112 【解析【解析】根据题意，得根据题意，得答案：答案：31AB,A,221B1.AB.2 解得112 考点考点1 1 三角函数的定义域与值域三角函数的定义域与值域【典例【典例1
8、 1】(1)(1)函数函数y=2sin( )(0 x9)y=2sin( )(0 x9)的最大值与最小值之和为的最大值与最小值之和为 。 (2)(2)函数函数f(xf(x)=1-2sin)=1-2sin2 2x+2cos xx+2cos x的最小值和最的最小值和最大值分别为大值分别为 。x6323.32 ；3 3D D【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.利用三角函数的性质先求出函数的最值利用三角函数的性质先求出函数的最值. .因为因为0 x90 x9，所以，所以所以所以所以所以yy- - ，2 2，所以，所以y ymaxmax+y+yminmin= =(2)(2)选选C.C.因为因为f
9、(xf(x)=1-2sin)=1-2sin2 2x+2cos x=1-2(1-cosx+2cos x=1-2(1-cos2 2x)+2cos x=x)+2cos x=2cos2cos2 2x+2cos x-1=x+2cos x-1=又因为又因为xRxR，所以，所以coscos x x-1,1-1,1. .所以当所以当coscos x= x= 时，时，f(xf(x) )有最小值，且有最小值，且f(x)f(x)minmin= =当当coscos x=1 x=1时，时，f(xf(x) )有最大值，且有最大值，且f(x)f(x)maxmax=3.=3.7x3636，3sin(x),1.632 23.2
10、132(cos x)22，1232 ；3【规律方法【规律方法】1.1.三角函数定义域的求法三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, ,常借助三常借助三角函数线或三角函数图象来求解角函数线或三角函数图象来求解. .2.2.三角函数值域的三种求法三角函数值域的三种求法(1)(1)直接法直接法: :利用利用sinx,cosxsinx,cosx的值域的值域. .(2)(2)化一法化一法: :化为化为y=Asin(x+y=Asin(x+)+k)+k的形式逐步分析的形式逐步分析x+x+的范的范围围, ,根据正弦函数单调性写出函数的值域根
11、据正弦函数单调性写出函数的值域. .(3)(3)换元法换元法: :把把sinxsinx或或cosxcosx看作一个整体看作一个整体, ,可化为求函数在给定可化为求函数在给定区间上的值域区间上的值域( (最值最值) )问题问题. .【变式训练【变式训练】(2014(2014长沙模拟长沙模拟) )对于函数对于函数f(xf(x)=)= (sin x+cos (sin x+cos x)- |cos x-sin x| x)- |cos x-sin x|，下列说法正确的，下列说法正确的是是( )( )A.A.该函数的值域是该函数的值域是-1-1，1 1B.B.当且仅当当且仅当2k2kx x2k+ (kZ)
12、2k+ (kZ)时，时，f(xf(x) )0 0C.C.当且仅当当且仅当x=2k+ (kZ)x=2k+ (kZ)时，该函数取最大值时，该函数取最大值1 1D.D.该函数是以该函数是以为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数121222B B【解析【解析】选选B.f(x)= (sin x+cosB.f(x)= (sin x+cos x)- |cos x-sin x| x)- |cos x-sin x|= =画出其函数图象分析可知答案选画出其函数图象分析可知答案选B.B.1212sin xcos xsin xcos xcos xsin x，变式训练2：（1）求函数y(43sin x)(43co
13、s x)的最小值 2cos512 cos32cossin13 43sin cossincos4sin (1 cos )(0 )24xyxyxxxyxxxxyxxx 求 下 列 函 数 的 值 域 ；， ；，【 例】（2 2） 22max4 ()cos (1cos )sin2coscos1(cos1)(2cos1)10cos.23(0)0(,)0.332(0)(,)33233sin(1cos).333400(0yxxxxxxxyxxxyxyxyxy 求导法 令 ，得，则 当，时，；当时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减当 时，又当 时， ，所以原函数的值域为，334考点考点2 2 三角函数的
14、单调性三角函数的单调性【典例【典例2 2】(1)(1)函数函数y=sin( -2x)y=sin( -2x)的减区间是的减区间是_._.(2)(2014(2)(2014洛阳模拟洛阳模拟) )若若f(xf(x)=2sin x+1(0)=2sin x+1(0)在区间在区间 上是增函数，则上是增函数，则的取值范围的取值范围是是_._.32,235k,k1212，(0(0， 34【规范解答【规范解答】(1)y=sin( -2x)(1)y=sin( -2x)可化为可化为y=-sin(2x- ).y=-sin(2x- ).令令2k- 2x- 2k+ 2k- 2x- 2k+ ，kZkZ，得得k- xkk- x
15、k+ + ，kZkZ. .所以所以xRxR时，时，y=sin( -2x)y=sin( -2x)的减区间为的减区间为 kZkZ. .答案：答案： kZkZ332321251235k,k1212，5k,k1212，(2)(2)方法一：由方法一：由2k2k x2kx2k ，kZkZ，得得f(xf(x) )的增区间是的增区间是 ，kZkZ. .因为因为f(xf(x) )在在 上是增函数，上是增函数，所以所以 .所以所以 且且 ，所以，所以(0(0， .方法二：因为方法二：因为x x ，0.0.所以所以x x ，又又f(xf(x) )在区间在区间 上是增函数，上是增函数，222k2k22，223，223
16、，22，2223234223，223，223，所以所以 ，则则 又又0 0，得，得00方法三：因为方法三：因为f(xf(x) )在区间在区间 上是增函数，故原点到上是增函数，故原点到 的距离不超过的距离不超过 ，即，即 得得T T ，即，即 ，又，又0 0，得，得000,00,0，直，直线线x= x= 和和x= x= 是函数是函数f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+) )图图象的两条相邻的对称轴，则象的两条相邻的对称轴，则=( )=( )4543A.B.C.D.4324变式训练：变式训练：【解析【解析】选选A.A.由于直线由于直线x= x= 和和x= x= 是函数是函数f(x)=sin
17、(x+f(x)=sin(x+) )图象的两条相邻的对称轴，所以函数图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期T=2T=2，所以，所以=1=1，所以，所以 + +=k=k+ (kZ).+ (kZ).又又000M0，使，使|f(x)|M|x|f(x)|M|x| |对一切实数对一切实数x x均成立均成立. .(0)2，【解析【解析】由由f(-x)=2(-x)cos(-x)=-2xcos x=-f(xf(-x)=2(-x)cos(-x)=-2xcos x=-f(x) )知，函数知，函数f(xf(x) )为奇函数，根据奇函数在对称区间上的单调性相同可知为奇函数，根据奇函数在对称区间上的单调性相同可知是错是错误的；误的； 显然不关于点显然不关于点 对称，可知对称，可知是错误的；是错误的；f(0)=0f(0)=0，f(2)=4f(2)=4显然不关于直线显然不关于直线x=x=对称，可知对称，可知是错是错误的；误的；|f(x)|M|x|f(x)|M|x|M2|cos x|M2|cos x|，可知，可知是正确的是正确的. .答案：答案： 2f( )44，33 2f()44 (0)2，3.3.若函数若函数f(xf(x)=2sin)=2sin（2x+2x+- - ）(0(0)是偶函数，则是偶函数，则=_. =_. 6