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1、专题三三角函数、三角恒等变换与解三角形重难小题保分练1(2019广西南宁联考)已经知道5，那么cos2sin 2()A B3C3 D.1D解析：5，5，tan 3，cos2sin 2，应选D.2(2019广东潮州二模)函数f(x)2sin(x)(0，00，0)的局部图象，可得T，解得2.由于点(，2)在函数图象上，可得2sin(2)2，那么22k，kZ，解得2k，kZ.由于0，可得，即f(x)2sin(2x)令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，那么函数f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.应选C.3(2019湖北武汉外国语学校模拟)要得到函数ysin(2x)的图象，只需将函数y2sin x
2、cos x的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度3C解析：函数y2sin xcos xsin 2x，函数ysin(2x)sin2(x)，要得到函数ysin(2x)的图象，只需将函数y2sin xcos x的图象向左平移个单位长度应选C.4(2019陕西榆林二模)已经知道x(0，)，那么f(x)cos 2x2sin x的值域为()A(1， B(0，2)C(，2) D1，4D解析：f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x，设sin xt，x(0，)，t(0，1，f(t)2(t)2，f(t)1，即f(x)cos 2x2sin x的
3、值域为1，应选D.5(2019山东临沂第一中学质检)设函数f(x)cos(x)，那么以下结论错误的选项是()Af(x)的一个周期为2Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)在(，)上单调递减Df(x)的一个零点为x5C解析：函数f(x)的周期为2k，当k1时，周期T2，故A正确；当x时，cos(x)cos()cos 31，因此 f(x)的图象关于直线x对称，故B正确；当x时，x，如今函数f(x)不是单调函数，故C错误；当x时，f()cos()cos0，那么f(x)的一个零点为x，故D正确综上，应选C.6(2019湖北黄石等八市模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设a2，c3
4、，tan B2tan A，那么ABC的面积为()A2 B3C3 D46B解析：tan B2tan A，化简得2sin Acos Bcos Asin B，sin Csin Acos Bcos Asin B3sin Acos B由正弦定理可得c3acos Ba2，c3，cos B.由B(0，)，得B，SABCacsin B23sin3.应选B.7 (2019黑龙江大庆二模)设角，是锐角，假设(1tan )(1tan )2，那么_7.解析：(1tan )(1tan )2，1tan tan tan tan 2，tan()(1tan tan )tan tan 1，tan()1.，基本上 锐角，0，.8
5、(2019河北邢台第一中学月考)已经知道函数f(x)cos 2xacos(x)在区间(，)上是增函数，那么实数a的取值范围为_8(，4解析：f(x)cos 2xacos(x)2sin2xasin x1.令tsin x，那么f(t)2t2at1.因为x(，)，因此 t(，1)，因为tsin x在区间(，)上是增函数，因此 假设函数f(x)在区间(，)上是增函数，只需f(t)2t2at1在t(，1)上单调递增，故1，解得a4.9(2019吉林东北师大附中二模)假设ABC中，sin(AB)sin(AB)sin2C，那么此三角形的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形9B解析：
6、在ABC中，sin(AB)sin C，因为sin(AB)sin(AB)sin2C，因此 sin Csin(AB)sin2C，即sin(AB)sin Csin(AB)，整理得sin Acos Bcos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，因此 2cos Asin B0，因此 cos A0或sin B0(不合题意，舍去)，那么A90，因此 ABC为直角三角形应选B.10(2019河南平顶山郏县第一高级中学月考)已经知道函数f(x)tan 2x，那么以下说法不正确的选项是()Af(x)的最小正周期是Bf(x)在(，)上单调递增Cf(x)是奇函数Df(x)图象的对称中心是(，0)(k
7、Z)10A解析：因为f(x)tan 2x，因此 其最小正周期为T，故A不正确；当x时，2x0)的局部图象如下图，那么关于f(x)的描绘中正确的选项是()Af(x)在(，)上是减函数 B点(，0)是f(x)图象的对称中心Cf(x)在(，)上是增函数 D直线x是f(x)图象的对称轴11C解析：由图象知A2，()，那么T，解得2，即f(x)2sin(2x)由五点对应法得20，解得，即f(x)2sin(2x)当x(，)时，2x(，)，因此 f(x)为增函数，故C正确，A错误；f()2sin(2)2sin0，即点(，0)不是f(x)图象的对称中心，故B错误；f()2sin(2)2sin1，即直线x不是f
8、(x)图象的对称轴，故D错误应选C.12(2019湖南湘潭一模)设f(x)sin 3xcos 3x，把yf(x)的图象向左平移(0)个单位长度后，恰好得到函数g(x)sin 3xcos 3x的图象，那么的值能够 为()A. B.C. D12D解析：将yf(x)的图象向左平移(0)个单位长度得g(x)sin 3(x)cos 3(x)sin(3x3)cos(3x3)当时，g(x)sin 3xcos 3x，不合题意；当时，g(x)cos 3x，不合题意；当时，g(x)sin 3xcos 3x，不合题意；当时，g(x)sin 3xcos 3x，满足题意综上可知选项D满足题意，应选D.13(2019山东
9、日照模拟)已经知道点P(1，2)是函数f(x)Asin(x)(A0，0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点设BPC，假设tan，那么f(x)图象的对称中心能够 是()A(0，0) B(1，0)C(，0) D(，0)13D解析：如下图，由题意可知A2.BPC，且tan，解得BC6，T6，那么.2sin(1)2，2k(kZ)，f(x)2sin(x)令xk(kZ)，得x3k(kZ)当k1时，x，即f(x)图象的对称中心能够 是(，0)应选D.14(2019广东深中、华附、省实、广雅四校联考)已经知道函数f(x)sin(x)(0)图象的一个对称中心为，且f，那么的最小值为()A. B1C.
10、 D214A解析：因为函数f(x)sin(x)(0)图象的一个对称中心为(，0)，因此 f()0，整理得sin()0，因此 k(kZ)又f()，即sin()，因此 2k1(k1Z)或2k2(k2Z)由得4(k2k1)；由得4(k2k2).综上，的最小值为，应选A.15(2019湖北武汉5月调研)如图，在四边形ABCD中，AB4，BC5，CD3，ABC90，BCD120，那么AD的长为_15.解析：连接AC，设ACB，那么ACD120，如下图在RtABC中，sin ，cos .cos(120)cos sin .在ACD中，由余弦定理得cos(120)，解得AD26512，即AD.16(2019湖
11、南株洲一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经知道ab5，c4b，那么ABC的面积为_B才能提升练16.解析：由正弦定理及，得.又c4b，sin A.ABC为锐角三角形，cos A.ab5，c4b，cos A，解得b1，a4，c4，SABCbcsin A41.中档大题强化练(1)1(2019河北邢台第一中学月考) 在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假设b2c2a2bc，那么A()A30 B60 C120 D1501A解析：在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理得cos A.又A(0，)，A30，应选A.2(2019河北邢台月考)在ABC中，角A，B
12、，C所对的边分不是a，b，c，假设tan Atan Bab，那么ABC的形状一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形2A解析：因为tan Atan Bab，因此 btan Aa tan B依照正弦定理得，因为0A，0B，因此 sin A0，sin B0，因此 cos Acos B，即AB，故ABC是等腰三角形应选A.3(2019湖南怀化一模)在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，那么tan C()A. B. C D3C解析：在ABC中，由余弦定理c2a2b22abcos C，Sabsin C，且2S(ab)2c2，可得
13、absin C(ab)2(a2b22abcos C)，整理得sin C2cos C2，(sin C2cos C)24，4，化简可得3tan2C4tan C0.C(0，)，tan C，应选C.4(2019山东栖霞模拟)设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设a2，B2A，那么b的取值范围为()A(0，4) B(2，2)C(2，2) D(2，4)4C解析：三角形ABC为锐角三角形，B2A，02A，即0A.又AB3A，3A，A，A，cos A.a2，B2A，由正弦定理得，即b4cos A又24cos Ab，那么CB，即B为锐角，那么cos B0，因此 cos B.又因为0B9
14、0，因此 B45.9.(2019河南郑州一模)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经知道ABC的面积为S，且满足sin B.(1)求sin Asin C；(2)假设4cos Acos C3，b，求ABC的周长9解：(1)ABC的面积Sacsin B，且sin B，4(acsin B)sin Bb2，ac，由正弦定理可得sin Asin C.(2)4cos Acos C3，sin Asin C，cos Bcos(AC)sin Asin Ccos AcosC.由b可得ac8.由余弦定理可得15a2c2ac(ac)2ac(ac)212，解得ac3，ABC的周长abc3.10.(2019黑
15、龙江哈尔滨三中一模)在ABC，B，BC2.(1)假设AC3，求AB的长；(2)假设点D在边AB上，ADDC，DEAC，E为垂足，ED，求角A的值10解：(1)设ABx，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，即3222x22x2cos 60，解得x1，因此 AB1.(2)因为ED，DEAC，因此 ADDC.在BCD中，由正弦定理可得，因为BDC2A，因此 .因此 cos A.又因为0A，因此 A.11.(2019湖南岳阳一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已经知道acos Cccos A2bcos B.(1)求B的值；(2)假设ac2，求b的最小值11解：(1)
16、由acos Cccos A2bcos B以及正弦定理可知，sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B，即sin(AC)2sin Bcos BABC，sin(AC)sin B0，cos B.B(0，)，B.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，那么b2(ac)23ac.又ac2，可得b243ac43()2431，当且仅当ac时，取等号，即b的最小值为1.12.(2019陕西师大附中等八校模拟)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)求ABC面积的最大值12解：(1)在ABC中
17、，a2，(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，整理得(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，利用正弦定理得a2b2c2bc，即cos A，因为0A ，因此 A.(2)因为a2，A，因此 a2b2c22bccos A，整理得12b2c2bc2bcbcbc，当且仅当bc时，取等号，因此 bc12，因此 SABCbcsin A123.中档大题强化练(2)1(2019黑龙江哈尔滨四校期中)在钝角三角形ABC中，假设a1，b2，那么最大边c的取值范围是()A (，3) B(2，3) C(，4) D(，)1A解析：在钝角三角形ABC中，大边c所对的角C为钝角依照余弦定理得cos
18、C0，即14c2.又cab3，c3，最大边c的取值范围是(，3)，应选A.2(2019湖北黄冈联考)如图，在ABC中，BDsin BCDsin C，BD2DC2，AD2，那么ABC的面积为()A. B. C3 D32 B解析： 如图，过点D分不作AB和AC的垂线，垂足分不为E，F，由BDsin BCDsin C，得DEDF，那么AD为BAC的平分线，2.又cosADBcosADC0，即，解得AC2.在ABC中，cosBAC，sinBAC，SABCABACsinBAC.应选B.3(2019湖南郴州一模)在ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，且b2c2bca2，bca2，那么角C的大小
19、是()A.或 B. C. D.3A解析：由b2c2bca2，得b2c2a2bc，那么cos A.又因为0A，因此 A.由bca2，得sin Bsin Csin2A，即4sin(CA)sin C，整理得4(sin Ccos C)sin C2sin2C2sin Ccos C，即(1cos 2C)sin 2Ccos 2Csin 2C，化简得cos 2Csin 2C，那么tan 2C，即2C或2C，因此 C或C，应选A.4 (2019陕西宝鸡二模)在ABC中，AB5，AC3，BAC60，点D是BC的中点，E是线段AD的中点，那么BE_4.解析：E是AD的中点，.又D是BC的中点，()，().222.又
20、225，29，53cos 60，2，|，即BE.5 (2019广东深圳调研)在ABC中，ABC150，D是线段AC上的点，DBC30，假设ABC的面积为，当BD取到最大值时，AC_52解析：由题意可知SABCBCABsin 150BCAB，得BCAB4.设BDx，那么SBCDSABDxx，可得x，当且仅当BCAB时，x取到最大值，因此 BC2，AB2，由余弦定理可得AC2.6 (2019湖南、湖北八市十二校调研)已经知道菱形ABCD中，E为AD的中点，且BE3，那么菱形ABCD面积的最大值为_612解析：设AEx，那么ABAD2x，由三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得即解得x(
21、1，3)设BAE，在ABE中，由余弦定理可知9(2x)2x222xxcos ，即cos ，菱形ABCD面积S菱形ABCD2x2xsin 4x2，令tx2，那么t(1，9)，那么S菱形ABCD，当t5时，即x时，S菱形ABCD有最大值12.7(2019广东江门一模)在平面四边形ABCD中，ABBC5，CD8，对角线BD7.(1)求内角C的大小；(2)假设A，B，C，D四点共圆，求边AD的长7解：(1)在BCD中，cos C.因为0C，因此 C.(2)因为A，B，C，D四点共圆，因此 AC.在ABD中， BD2AB2AD22ABADcos A，那么4925AD25AD，解得AD3或AD8(舍去)
22、因此 AD3. 8(2019江西九江一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经知道a2c2b22ac2bcsin A.(1)求角B；(2)当b1且ABC的面积最大时，求ac的值8解：(1)在ABC中，由a2c2b22ac2bcsin A，得2accos B2ac2bcsin A，acos Babsin A.由正弦定理得sin Acos Bsin Asin Bsin A.又sin A0，cos B1sin B，sin Bcos B1，2sin(B)1，sin(B).又B(0，)，B，解得B.(2)由(1)知ABC的面积SABCacsinac，由余弦定理得a2c2b22acc
23、os，即a2c21ac2ac1(当且仅当ac时取“)，ac1，即ac1时ABC的面积获得最大值，如今ac2.9(2019山东济宁一模)如图，在四边形ABCD中，B，AB，SABC.(1)求ACB的大小；(2)假设BCCD，ADC，求AD的长9解：(1)在ABC中，SABCABBCsinABC ，由题意可得BCsin，BC，ABBC.又B，ACB.(2)BCCD，ACD.由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos()2()22() 9，AC3.在ACD中，由正弦定理可得AD.10(2019安徽合胖质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，sin2Asin2Bsin Asin
24、B2csin C，ABC的面积Sabc.(1)求角C；(2)求ABC周长的取值范围10解：(1)由Sabcab sin C可知2csin C，sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C. 由正弦定理得a2b2abc2.由余弦定理得cos C.又0C，C. (2)由(1)知2csin C，2asin A，2bsin B.ABC的周长为abc(sin Asin Bsin C)sin Asin(A)(sin Acos Asin A)(sin Acos A)sin(A).A(0，)，A(，)，sin(A)(，1，ABC周长的取值范围为(，. 11(2019江西九校联考试)已经知道锐角三角形AB
25、C的面积为S，A，B，C所对边分不是a，b，c，角A，C的平分线相交于点O，b2，且S(a2c2b2)，求：(1)角B的大小；(2)AOC周长的最大值11解：(1)S(a2c2b2)，acsin B(a2c2b2)，故acsin B2accos B，tan B.0B，B.(2)设AOC的周长为l，OAC，依照ABC为锐角三角形，可得(，)OA，OC分不是角A，角C的平分线，B，AOC.由正弦定理得，OA4sin()，OC4sin ，那么AOC的周长l4sin 4sin()24sin()2.(，)，(，)，当时，AOC周长的最大值为42.(2019陕西二模)某市规划一个如下图的平面示意图，五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条效劳通道，BCDCDEBAE，DE4 km，BCCD km.(1)求效劳通道BE的长度；(2)当AEB时，求赛道BA的长度12解：(1)如图，连接BD.在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD9，BD3.BCCD，CDBCBD.又CDE，BDE.在RtBDE中，BE5. (2)在BAE中，BAE，BE5，AEB，由正弦定理可得，那么 ，解得BA.当AEB时，赛道BA的长度为.