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1、广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则等于（ ）A B C D2复数在复平面内对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 已知命题：存在实数，；命题：（且）. 则下列命题为真命题的是( )A B C D 4已知平面向量满足， ，且与垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
2、条件6设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A B C D7执行如图所示的程序框图，如果输入的依次为2，2，5时，输出的为17，那么在判断框 中，应填入（ ）A B C D8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A B C D9某城市关系要好的， ， ， 四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种10已知点在同一个球的球面上，若四面体的体积为，球心恰好在棱上
3、，则这个球的表面积为（ ）A B C. D 11为双曲线上一点， 分别为的左、右焦点， ，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则的离心率为（ ） A或 B或 C D12已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且 时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则（ ）A. B. C. D. 1第II卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 * .14展开式中含项的系数为 * （用数字表示）15若,且,则 * 16对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是1，且，则 * 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17
4、(本小题满分10分）在中，角A、B、C的对边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值18(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（）如下表所示： 试销价格（元）45679产品销量（件）8483807568已知变量具有线性负相关关系，且，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：；乙：；丙：，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一
5、个检测数据为“理想数据”的概率19(本小题满分12分）已知数列满足， ，数列满足， .（1）证明：是等比数列；（2）数列满足，求数列的前项的和20(本小题满分12分）已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面（1）证明： ；（2）当为的中点， ， 与平面所成的角为，求二面角的余弦值21（本题满分12分）已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围22（本小题满分12分）设函数为自然对数的底数.（1）若，且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；（
6、2）若，判断函数的零点个数并证明参考答案题号123456789101112答案BCADCCBDCABC13、； 14、10 ； 15、 ； 16、100.11、【解析】由于为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于，所以，故外接圆半径为.设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有，解得，故两圆半径比为，化简得，解得或.12、【解析】曲线在处的切线的斜率为，所以 ，当且时， ，可得时， 时， ，令 ，可得时， 时， ，可得函数在处取得极值， ， ，故选C.17、【解析】 (1)由，得，又, ， 又, . （2）由余弦定理得，当且仅当时取等号，即面积的最大值为.10分18、解：（1）变量具有线性负相关关
7、系， 甲是错误的.又，满足方程，故乙是正确的.由，得，. 6分（2）由计算得不是“理想数据”有个，即，从6个检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：.12分19、【解析】（1），又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列. 4分（2）由（1）得， 又 满足上式. 12分20、【解析】（1）证明：连结交于点，连结因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以因为平面， 平面，且平面平面，所以，所以 4分（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角
8、为，所以，所以，因为，所以 如图，分别以， ， 为轴，建立所示空间直角坐标系，设，则， 所以记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以， 记二面角的大小为，为锐角则所以二面角的余弦值为12分21、解析：（1）由题意，知考虑到，解得所以椭圆C的方程为. 3分（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得.由，得. 设，则，.因为，所以，.因为，且，所以. 因为直线AB：不过焦点，所以，所以，从而，即. 由得，化简得. 焦点到直线：的距离.令，由知.于是.考虑到函数在上单调递减，则，解得. 所以的取值范围为. 12分22、解：(1)函数在区间内单调递增，在区间内恒成立.即在区间内恒成立.记，则恒成立，在区间内单调递减,， 即实数的取值范围为.4分(2)，记，则，知在区间内单调递增.又，在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，单调递减；当时，单调递增.，当且仅当时，取等号.由，得，即函数没有零点. 12分10