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1、广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则=( )A. B. C. D. 2. 已知,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D. 3. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,4. 已知直线,直线,且,则m的值为（ ）A. B. C. 或D. 或5. 已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6. 在中,若点D满足,则( )A. B. C. D. 7. 为了得到函数的图
2、象,可以将函数的图象 A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 若x,且,则的最小值是 A. 5B. C. D. 9. 设D为椭圆上任意一点,延长AD至点P,使得,则点P的轨迹方程为()A. B. C. D. 10. 已知圆,直线l：,若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1,则b的取值范围为( )A. B. C. D. 11. 已知,分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 12. 设函数的定义域为,若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的范
3、围是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_15. 已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,则该球的体积为_16. 已知棱长为的正方体中，点分别是的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有下列结论：平面；与平面不垂直；当变化时，不是定直线.其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号） 三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,求数列的通项公式；设
4、,若的前n项和为,证明：18. （本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为, 求直方图中a的值；如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；求该校学生上学路上所需的平均时间19. （本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点 求证：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值20. （本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上求圆C的方程；设点P在圆C上,求的面积的最大值2
5、1. （本小题满分12分）已知椭圆,四点,中恰有三点在椭圆C上求C的方程；设直线l不经过点，且与C相交于两点.若直线与直线的斜率的和为,证明：l过定点22.（本小题满分12分）设为实数，函数，.（1）求证：不是上的奇函数；（2）若是上的单调函数，求实数的值；（3）若函数在区间上恰有个不同的零点，求实数的取值范围.2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案一、 选择题123456789101112CCBDDDBABDAA二、 填空题13. 14. 15. 16. 三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得所以18.解：由,解得上学路上所需时
6、间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人,估计所招学生中有可以申请住宿人数为：该校学生上学路上所需的平均时间为：19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC,且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,又因为平面,平面,所以平面解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,则E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为20. 解：依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直
7、平分线和直线的交点,中点为斜率为1,垂直平分线方程为即分联立,解得,即圆心,半径分所求圆方程为分,分圆心到AB的距离为分到AB距离的最大值为分面积的最大值为分21. 解：根据椭圆的对称性,两点必在椭圆C上,又的横坐标为1,椭圆必不过,三点在椭圆C上把,代入椭圆C,得：,解得, 椭圆C的方程为；证明：当斜率不存在时,设l：,直线与直线的斜率的和为,解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足当斜率存在时,设l：,联立,整理,得, ,则,又,此时,存在k,使得成立,直线l的方程为,当时,过定点22解：（1）假设是上的奇函数，则对任意的，都有 （*）取，得，即，解得，此时，所以，从而，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是上的奇函数； （2） 当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是上的单调减函数综上， （3）当时，由（2）知， 是上的单调减函数，至多个零点，不符； 当时，由（2）知， ，所以在上单调递减，所以在上至多个零点，不符； 当时，由（2）知， ，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减因为在区间上恰有个零点，所以，解得或又，故综上，实数的取值范围是 8