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1、第十二讲函数与方程回归课本1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.(3)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内 有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二分法(1)对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近
2、似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.2)求区间(a,b)的中点x1.3)计算f(x1),a.假设f(x1)=0,那么x1就是函数的零点;b.假设f(a)f(x1)0,那么令b=x1,(此时零点x0(a,x1);c.假设f(x1)f(b)0,那么令a=x1,(此时零点x0(x1,b).4)判断是否到达精确度:即假设|a-b|,那么得到零点近似值a(或b);否那么重复2)4).考点陪练1.(2022天津)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(
3、0,1)D.(1,2)解析:由于f(0)=-10,根据函数的零点存在性定理, 知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C.答案:C2.(2022江苏盐城)方程log4x+x=7的解所在区间是()A.(1,2)B.(3,4)C.(5,6)D.(6,7)解析:构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-20,F(x)在(5,6)内有零点,即log4x+x=7在(5,6)内有解,应选C.答案:C3.函数fA.(1,2)(x)=lnx-2零点所在区间大致是xB.(2,3)C.1, 1和(3, 4)D.(e,+)e解析:因为f(1)=-20,f(2)=ln2-10,所以f(2)f(3)
4、0,所以f(x)在(2,3)内34.假设函数f(x)=x2+2x+a没有零点,那么实数a的取值范围是() A.a1C.a1D.a1解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a1.答案:B5.三次方程x3+x2-2x-1=0在以下哪些连续整数之间没有根()A.-2与-1之间 B.-1与0之间C.0与1之间D.1与2之间解析:f(-2)f(-1)0,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意.答案:C类型一函数零点存在性的判断与方法解题准备:函数零点个数的判定有以下几种方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果
5、能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.【典例1】判断以下函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x1,8;(2)f(x)=x3-x-1,x-1,2;(3)f(x)=log2(x+2)-x,x1,3;(4)f(x)=1-x,x(0,1).x解(1)f(1)=-200,f(1)f(8)0,故f(x)=x2-3x-18在区间1,8
6、上存在零点. (2)f(-1)=-10,f(-1)f(2)log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0,f(1)f(3)0,故f(x)=log2(x+2)-x在区间1,3上存在零点.1(4)画出f(x)=-x的图象如下列图.x由图象可知,f(x)=1x1-x在(0,1)内的图象与x轴没有交点,故f(x)=x-x在区间(0,1)上不存在零点.反思感悟判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断; 当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.类型二二分法求方程的近似解解题准备:
7、1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所得到各个区间中点坐标区间中点的函数值等置于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程;2.在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的零点所在的区间,找出的区间a,b长度尽可能小,且满足f(a)f(b)0.【典例2】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(误差不超过0.1).分析由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间m,n,且f(m)f(n)0,如计算出f(0)=-60,f(1)=-60,所以可取区间1,2作为计算的初始区间(当然选取(0,2)也
8、是可以的).解f(1)=-60,存在x(1,2),使f(x)=0.用二分法逐次计算,列表如下:最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7,所求的正数零点是1.7.反思感悟用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.类型三函数零点的应用解题准备:由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根都有密切的关系,因此我们通过研究函数的零点问题,可讨论方程根的分布问题,解不等式,也可以作出相应的函数的图象,讨论函数的性质.我们在解决有
9、关问题时,一定要充分利用这三者的关系,观察分析函数的图象,找函数的零点,判断各区间上函数值的符号,使问题得以解决.【典例3】函数f(x)=-x2+2ex+m-1,2g(x)=x+e x(x0).(1)假设g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.分析(1)g(x)=m有零点,可以别离参数转化为求函数最值.(2)利用图象求解.解(1)g(x)=x+e2 x= 2e,e22当且仅当x =e取等号.当x2x=e时, g(x)有最小值2e.因此g(x)=m有零点,只需m 2e.当m2e, +)时, g(x)=m有零点.(2)假设g(x)-f(
10、x)= 0有两个相异实根.那么函数g(x)与f (x)的图象有两个不同的交点e2如下列图,作出函数g(x)= x +(x x0)的大致图象.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴x=e,f(x)max=m-1+e2.假设函数f(x)与g(x)的图象有两个交点. 必须有m-1+e22e,即m-e2+2e+1. 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).反思感悟在解答有关函数零点的综合问题时,常利用方程思想或利用函数构造法,并结合数形结合的思想来解决此类问题.错源一函数零点定理使用不当致误【典例1】函数f(x)=mx2-2x+
11、1有且仅有一个正实数的零点, 那么实数m的取值范围是()A.(-,1B.(-,01C.(-,0)1D.(-,1)剖析解此题易出现的错误是分类讨论片面函数零点定理使用不当.如无视了对m=0的讨论,这样就会出现误选C的错误.正解当m=0时,x=y为函数的零点;当m0时,假设=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,假设0,显然x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)=mx2- 2x+1=0有一个正根一个负根,即mf(0)0,即m0.应选B.答案B评析函数的零点定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)
12、在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根,我们称这个结论为函数的零点定理.函数的零点有“变号零点和“不变号零点,如此题中的x=1就是函数的“不变号零点,对于“不变号零点,函数的零点定理是“无能为力的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.错源二“极值点与“零点关联不清【典例2】假设函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,那么实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.-2,2C.(-,-1)D.(1,+)错解由题意知方程x3-3x+a=0有3个根,a的取值范围为(1,+),应选D.正解函数f(x)有3个不同的零点,即其图象与x轴有3个不
13、同的交点,因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可.f(x)=3x2-3,令3x2-3=0,那么x=1,故极值为f(-1)和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2,所以应有(a+2)(a-2)0,故a(-2,2),选A.答案A技法确定方程根的个数的三种方法一利用函数的周期性【典例1】设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上只有f(1)=f(3)=0,(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2022,2022上的根的个数,并证明你的结论.解题切入点对于(1)可用特殊化策略求解,对于(2)可
14、据条件首先求出函数的周期,利用其周期适当分段结合题设条件确定.解(1)在f(2-x)=f(x+2)中, 令x= 3,得f(-1)=f(5), 又在0, 7上只有f(1)=f(3)= 0,f(5)0,f(1)= 0,所以f(-1)f(1),且f(-1)-f(1),故f(x)为非奇非偶函数(2)f(2 -x)=f (2+x) f(x) =f (4 -x)ff(7 -x)=f (7 +x)(x)=f (14 -x)f(4-x)=f(14-x)f(x)= f (x+10),从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)= 0,所以f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(
15、x)在0,10和-10,0上均有两根,从而可知y=f(x)在0,2000上有400个根,在2000,2022上有两根,在-2000,0上有400个根,在-2022,-2000上没有根,所以函数y=f(x)在-2022,2022上有802个根.二利用函数零点性质【典例2】设函数f(x)=x3+ bx+ c是-1,1上的增函数,且f-1f 1 0,那么方程f(x)=0在-1,1内22A.可能有3个实根B.可能有2个实根C.有唯一的实根D.没有实根解析因为f(x)在-1,1上是增函数,且f-1f 1 0,22所以f(x)在-1, 1有唯一实根, 所以f(x)在-1,122上有唯一实根.应选C.答案C方法与技巧如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象不间断,并且有f(a)f(b)bc,a+b+c=0,试确定f(x)-g(x)=0的根的个数.解因为a+b+c=0,abc,所以a0,c0.所以f(x)-g(x)=0,即ax2+bx+c-(-bx)=0,ax2+2bx+c=0.因为=4(b2-ac),而ac0,所以f(x)-g(x)有两个不同的实根.