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1、第三十四讲 基本不等式及其应用回归课本1.算术平均数如果a,bR+,那么a +b叫做这两个正数的算术平均数.22.几何平均数 ab如果a,bR+,那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式如果a,bR,则a2+b22ab(当且仅当a=b时,取“=”);均值定理:如果a,bR+,那么,取“=”).a +b2ab(当且仅当a=b时均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.变式形式a2 +b2a +b2ba(1)ab2;(2)ab;(3)2+2(ab 0);a+b2aba2 +b2(4); (5)a +b 2(a2+b2 ).上述不等式2 2中等号成立的充要条件均
2、为a= b.5.已知x、y都是正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值1S2 .42P.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即:各项或各因式为正;和或积为定值;各项或各因式都能取得相等的值.考点陪练1.函数y=log2x+logx2的值域是() A.(-,-2B.2,+)C.-2,2D.(-,-22,+)答案:D2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为()A.6B.3392C.2D.4答案:A3.给出下列各式: a2+
3、12a;x +12;a +b2;x2+xab11.其中正确的个数是()x2 +1A.0B.1C.2答案:CD.34.设0a1,0b0,b0,下列不等式中不成立的是()A. a +b2B. a2+ b22abbab2a2112C.+a+bD.+2+ababa +b解析:由b0,且a0,得b+a2ba=2.所以A成立, Bababab显然成立,C可变形为a3+b3a2b+ab2(a2-b2 )(a- b)0 (a立.+ b)(a- b)20,所以C成立.D中令a= b =1时不成答案:D类型一证明不等式解题准备:证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)
4、项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点:(1)均值不等式成立的前提条件;(2)通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3)注意“1”的代换;(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【典例1】证明:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).分析利用a2+b22ab(a,bR)求证即可.证明a4+b42a2b2,b4+c42b2c2, c4+a42c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又 a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,
5、 c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即 a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). 即原命题可得证.反思感悟证明不等式时,可依据求证式两端的式子结构,2合理选择基本不等式及其变形不等式来证.如a2+b22ab(a, b R),可变形为ab a+ b2; a +bab22a +b 2(a, b 正实数)可变形为ab等.同时要从整体上2把握基本不等式,如: a4+b42a2b2 ,a2b2+b2c22(ab)(bc),都是对“a2+ b22ab,a, bR”的灵活运用.本题先局部运用重要不等式,
6、 然后用不等式的性质, 通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式, 这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性.类型二 求最值解题准备:1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值.2.应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:(1)如果a, b(0, +),则a2 +b22a+b2ab2.1+1ab(2)若x (0, +),则x +12;若x (-, 0),则x +1 -2(当xx且仅当x = y时取等号);(3)aba +b22(当且仅当a= b时取等号);(4)a2+ b2+ c2ab+ac+bc(当且仅当a= b=c时取等号).【典例2】解下列问
7、题:(1)已知a0,b0,且4a+b=1, 求ab的最大值;(2)已知x2, 求x+4x -2的最小值;(3)已知x0,y0,且x+y=1, 求 4 +9的最小值.xy4ab解(1)解法一:a0,b0,4a+b=1,1=4a +b2=4ab,当且仅当4a=b=1 ,即a =1 , b =1时, 等号成立.282ab 1,ab 1.所以ab的最大值为 1.41616解法二:a0,b0,4a+b=1,ab=1 4ab 1 4a + b4 2412=16,当且仅当4a=b=1 ,即a=1, b=1时, 等号成立.282所以ab的最大值为 1.16(2)x 2,x-2 0,x+4x -2=x-2+4x
8、 -2+22= 6,当且仅当x-2=4x -2,即x= 4时, 等号成立.(x - 2)4x - 2+ 2所以x+4x -2的最小值为6.x 0, y(3)0, x +y=1,4 +9= (x +y) 4+9 =13+4y+9x13 + 2xyxyxyx +y =1,x =2 ,4 y9x = 25,xy当且仅当4 y=9x时等号成立,由4y9x得5xyx=y,y =3,5当x =2 , y=3时取等号.55所以4 +9 的最小值为25.xy反思感悟(1)求最值时,要注意“一正,二定,三相等”,一定要明确什么时候等号成立.(2)学好基本不等式,关键是灵活应用, 添常数、配系数、“1”的代换是常
9、用到的方法.在本例(1)中解法二采用了配 系数, (2)中采用了添常数, (3)中利用了“1”的代换.如果(3)中若x+y=2,则如何用“1”的代换?显然 x +y2=1,故x + y 4 + 9 .2 xy 4 +9=xy类型三利用均值不等式解应用题解题准备:均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是:仔细阅读题目,透彻理解题意;分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量, 把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数的最值;还原实际问题,作出解答.【典例3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污
10、水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建 造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解设污水处理池的长为x m,则宽为200 m,再设总造价为xy元,则有(1)y=2x400+2002400+2482200+80200= 800xxx+259200+160002800x259200+16000xx=280018+16000=44800,当且仅当800x
11、 =259200 ,x即x =18 m时, y取得最小值.当污水池的长为18m,宽为100 m时总造价最低,为44800元.9(2)0 x16, 020016,x12.5x16, x 18,不能用基本不等式, 但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间12.5,16上是减函数,从而利用单调性求得最小值.由(1)知, y =j(x)= 800x +324 +16000(12.5x16).x对任意x1、x2 12.5,16,设x1 0.j(x1)j(x2),故y =j(x)在12.5,16上为减函数.从而有j(x)j(16)=45000,当污水池的长度为16 m,宽为12.5 m时有最低总造价
12、, 最低总造价为45000元.反思感悟不等式应用的特点是:(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价税收销售市场信息”等, 题目往往篇幅较长.(2)建立函数模型常见的有“正(反)比例函数一次函数二次函数指数函数对数函数三角函数,以及y =ax+b (a x0,b0)”等形式.解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决.错源一忽视等号成立的条件【典例1】已知两正数x, y满足x + y=1,则z=x+11 x y +y的最小值为.错解错解一:因为对a0, 恒有a+12,a从而z=x+1 xy+1 4,y所以z的最小值是4.错解二: z =2 +x2y2xy- 2xy
13、=2xy+xy-222xyxy - 222=2(-1),所以z的最小值是2(-1).剖析解法一和解法二的错误原因是等号同时成立的条件不具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的.正解z=x+1 y +1 xy=xy +1 +y +xxyxy=xy+1+(x+y)2- 2xy=2+xyxyxyxy -2,x +y21令t = xy,则0 1时, y =x +1=x -1x -1+1x -1+12(x-1)1x -1+1 =3,当且仅当x-1=1x -1,即x= 2时等号成立;当x 0)的特殊情况, 在应用均值不等式求函数最值时,一定要注意ax, b的
14、符号,必要时要进x行分类讨论.技法一 快速解题(三角换元)【典例1】已知a、b、c、dR,x、yR+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求证:xyac+bd.快解联想到圆的参数方程,设a=xcos ,b=xsin ,c=ycos ,d=ysin, 则ac+bd=xycos cos +xysin sin =xycos( - )xy.另解切入点有a2+b2、c2+d2的形式出现,就可以用a2+b22ab.由于a、b、c、dR,故ac+bd可能为正,也可能为负.当ac+bd0的 情况.证明证法一:当ac+bd0时,显然有xyac+bd成立. 当ac+bd0时,x2y2=(a2+b2)(c2+d2
15、)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xyac+bd.证法二:当ac+bd0、-1cos(-)1就行了.得分主要步骤本题证明步骤简单,但需考虑ac+bd或正或负的两种情况.若ac+bd0,则(ac+bd)2与x2y2的大小不能确定,证题时需注意此处.易丢分原因没有考虑到ac+bd0还是ac+bc 0,ab3a-1b 0,可得a 1.31(1)a +b=a+a=a+3+13a-13a-1311=a -1+3+22a-13+2 =4,33a-1333a-1331当且仅当a-1=3,即a =2时取等号,所以a+b的取值33a-13范围是4 , +.故填4 , +.33a2 -1 a +1 a -1 +1(2)ab=aa=33993a-13a-111=1 a +1+9=1 a -1+9+2393a-1393a-191 1 a - 1 399 3a -19+ 22=4,91当且仅当1a-1=9,即a=2时取等号,所以ab的取393a-13值范围是4 , +.故填4 , +.99答案(1)4,+(2)4,+39方法与技巧本题是一道条件下求代数式的最值的问题. 解题思路是利用给出的条件,用a来表示b,从而在所求问题中消去b,利用均值不等式转化成函数的最值求解.